实正定矩阵的判定及其重要结论.doc

(完整word)实正定矩阵的判定及其重要结论实正定矩阵的判定及其重要结论摘 要 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识,给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明,并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词 实对称正定矩阵 等价定理 充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstractThis paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywordsreal symmetry positive definite matrix， equivalence theorem ， sufficient condition 实正定矩阵的判定及其重要结论禄 鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水,741000)摘 要 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论。关键词 实对称正定矩阵 等价定理 充分条件 引言矩阵理论是数学的一个重要分支,它不仅是一门基础学科,也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵,其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知,但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 实正定矩阵的等价定理定义1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有。定义2 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.引理1 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。引理2 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的.引理3 设是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使得 ， 其中为的特征值. 引理 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积其中的主对角元均为正定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是对于任意的维非零列向量即，使。证明 由定义和定义可证 定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切顺序主子式大于。证明 必要性， 因为是实对称正定矩阵,由定义2知,存在二次型 是正定的。对于每个令 。我们来证明是一个元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数有因此是正定的。 由正定矩阵的行列式大于零可知，的行列式 这就证明了矩阵的一切顺序主子式大于.充分性, 对作数学归纳法。 当时 由条件,显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型成立现在来证明元的情形。令 于是矩阵可以分块写成 既然的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式也全大于零。 由归纳法假定 是正定矩阵，换句话说，有可逆的阶矩阵使 这里代表阶单位矩阵 令 于是 再令 有 令 就有 两边取行列式 由条件因此 显然 这就是说，矩阵与单位矩阵合同，所以是正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 由定理可证.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的特征值全大于.证明 必要性，为正定矩阵，若的全部特征值为不全大于,不妨设。由引理3存在正交矩阵使得式成立。令 则，即为的属于特征值的特征向量。 特别的，取单位特征向量，即.于是有 ，这与为正定矩阵相矛盾，故的全部特征值为都大于.充分性 设的特征值为,由引理3知存在正交矩阵，使得 .从而有 . 任取，则，其中 ,于是，即为正定矩阵. 定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是合同与。证明 必要性， 由引理1和引理2知正定二次型可经过一适当的非退化线性替换化为规范形 。其对应的矩阵为单位矩阵。即，故合同与.充分性, 由于合同与，即存在可逆矩阵使得。任取，令，则，于是. 故是正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切主子式都大于.证明 必要性,正定令 其中 为的主子矩阵 。设矩阵与的二次型分别为和 对任意 存在 其中 由正定得是正定的 故存在实可逆矩阵 使 ，其中 从而 。又 故 充分性， 实对称矩阵的一切主子式都大于 所以的一切顺序主子式都大于。 由定理可证为正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切主子矩阵都是正定矩阵。证明 必要性，正定令 其中 为的主子矩阵 。显然 也是实对称矩阵。又因为 的个顺序主子式均为的个主子式由定理知个主子式都大于零 从而为正定矩阵充分性， 实对称矩阵的一切主子矩阵都是正定矩阵 则矩阵的一切主子式都大于零 由定理即证是正定矩阵定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是半正定且.证明 必要性, 因为正定，则显然一定半正定，且.充分性, 设的特征值为由半正定可知，又,故 由定理4可知正定.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是对于任意的实列满秩矩阵 都有为正定矩阵.证明 必要性， 首先对任意的由秩 知 而为正定矩阵 故 即 为正定矩阵。充分性, 正定 则对任意的 由秩 知并且 即为正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是对于任意的实可逆矩阵 都有为正定矩阵。证明 必要性,首先 对任意的由秩 知 而为正定矩阵 故 即 为正定矩阵。充分性,正定 则对任意的 由秩知并且 即为正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在正定矩阵使。证明 必要性， 设的全部特征值为全大于，由引理3得 ，其中 . 因为为实对称矩阵,且特征值 所以为正定矩阵.充分性， 由于为正定矩阵 使,则为实对称可逆矩阵，且有 ,即合同与。再由定理5得为正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵使得证明 必要性，是实对称正定矩阵，则存在实可逆矩阵使得 其中为阶单位矩阵 充分性, 因为存在实可逆矩阵 使得并且 其中为阶单位矩阵 即实对称矩阵合同与,所以为正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵 使。证明 必要性， 因为为正定矩阵 则存在阶实可逆矩阵 使得 。令 则 其中为列满秩矩阵 充分性,为实列满秩矩阵则为阶可逆矩阵故对任意的 由秩 知 并且 即为正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，使得。证明 必要性， 因为是实对称正定矩阵则存在实可逆矩阵使得. 又由引理知存在矩阵和使得 其中为阶正交矩阵为阶主对角元素都大于零的上三角矩阵 从而 充分性, 因为存在阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，使得.则显然矩阵可逆 由定理即可证是正定矩阵定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在阶主对角元素都大于零的下三角矩阵.证明 类似于定理定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是和为正定矩阵.证明 当可逆时，有 必要性, 若正定，那么也正定，存在. 令 ，则可逆，所以也正定。从而 为正定矩阵，因此它的主子矩阵和为正定矩阵。充分性， 由和为正定矩阵。且两个正定矩阵的和也是正定矩阵知 为正定矩阵.再由式得 ，即为正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的正惯性指数等于的维数证明 由引理和定义显然可证定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 使证明必要性，是正定矩阵则由引理3可知存在正定矩阵使 令 ,为正交向量组 即得充分性, （为正交矩阵）显然是正定矩阵3 实正定矩阵的重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外 还有一些很重要的结论下面给出详细内容及其证明 若是阶实对称正定矩阵 则证明 设是一正定矩阵因为与单位矩阵合同所以有实可逆矩阵使 两边取行列式 就有 若是阶实对称正定矩阵则也是实对称正定矩阵 证明 因为是实对称正定矩阵 则 所以可逆又因为 所以也是实对称矩阵 设定特征值为 则由正定有 但的全部特征值为 即为正定矩阵 若是阶实对称正定矩阵 则也是正定矩阵（其中表示的伴随矩阵）证明 已知 且 又是正定矩阵 所以 设的特征值为 则由正定有 于是的个特征值为也都大于零 即也是正定矩阵 若是阶实对称正定矩阵则（是正整数）也是正定矩阵 证明 设的全部特征值为 则由正定有 则对全部特征值为也都大于零 即也是正定矩阵 若是阶实对称正定矩阵则必有都大于零即主对角线上的元素都大于零证明 根据定义和定义可知，对任意的且有故依次令 可得 即证主对角线上的元素都大于零 若是阶实对称正定矩阵则存在实数使得是正定矩阵 证明 设的全部特征值为 则由正定有 则的特征值为 令 则有从而是正定矩阵 即证存在实数使得是正定矩阵 若是阶实对称矩阵为阶单位矩阵 证明存在正数是得为正定矩阵 证明 可证为实对称矩阵 且存在正交矩阵使得 其中为的全部特征值令 不妨设（因为若则结论已证）.再令 那么所以 ，其中 故为正定矩阵 若都是阶实对称矩阵是正定矩阵 证明 存在实可逆矩阵 使得与同时为对角形 证明 由于是正定矩阵则合同与单位矩阵即存在实可逆矩阵使得 而且仍为实对称矩阵 从而存在正交矩阵 使得 其中是对特征值令 则 其中为阶单位矩阵 若都是阶实对称正定矩阵证明 证明 由于是正定矩阵则合同与单位矩阵即存在实可逆矩阵使得 而且仍为实对称正定矩阵 从而存在正交矩阵 使得 其中都大于零是对特征值令 则 其中为阶单位矩阵 有 又知 而其中为正交矩阵 则 且所以 而 即证 若都是阶实对称正定矩阵则也正定证明 都是阶实对称正定矩阵 则 且对任意的有 所以也正定 若是阶实对称正定矩阵证明 其中为的主对角元素 证明 设 其中为的阶顺序主子阵因为正定 所以正定存在于是 两边取行列式得 因为正定 所以正定 则由上式可得 同理 其中为的阶顺序主子阵 这样继续下去可得 若都是阶实对称正定矩阵证明的特征值均大于零 证明 由于是正定矩阵 则合同与单位矩阵 即存在实可逆矩阵 使得 因为为正定矩阵 也正定 从而它的特征值全大于零 再由上式可知与相似 所以它们有相同的特征值 因此的特征值均大于零 若都是阶实对称正定矩阵 且 证明为正定矩阵 证明 见参考文献第页参考文献1 Pullman NP. Matrix Theory and its ApplicationsM，Academic Press，1976。2 COM PA。 Principles and Practice of MathematicsM，SpringerVerlag, Berlin Heidelberg，1998。3 Johnson CR. Positive definite matricesJ，AmerMathMothly ,1970.4 胡跃进 广义正定矩阵的一个不等式J，阜阳师范学院学报（自然科学版），2001.5 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 高等代数（第三版）M，北京高等教 育出版社，2003。6 张禾瑞郝镔新. 高等代数(第三版）M,北京高等教育出版社，1983。7 钱吉林 高等代数解题精粹（修订版）M，北京中央民族大学出版社2002 13