第33讲：稳恒磁场——磁场的基本概念-毕奥-萨伐尔定律.doc

第33讲 稳恒磁场——磁场的基本概念，毕奥－萨伐尔定律
第33讲：稳恒磁场——磁场的基本概念，毕奥－萨伐尔定律

内容：§11－1，§11－2
1．基本磁现象 (15分钟)
2．磁场，磁感应强度 (20分钟)
3．毕一萨定律及其应用 (60分钟)
4．小结 (05分钟)

要求：
1．了解基本磁现象；认识电与磁之间的联系；
2．理解磁场的基本概念，认识磁场的物质性；
3．理解磁感应强度的物理意义；
4．掌握毕一萨定律的物理意义，会用该定律求解简单的磁场分布问题。

重点与难点：
1．磁感应强度的定义；
2．毕一萨定律及其应用。

方法：
结合中学的磁学知识，定性介绍电与磁的联系，重点讲述磁场的物质性及物理意义，着重讲述毕一萨定律的物理意义，并通过例题来说明毕一萨定律的应用，介绍解题方法与思路。

作业：
问题：P172：2，3，4，6
习题：P176：1，3，6，8
预习：§11－3，§11－4

第十一章 稳恒磁场
Chapter 12 Steady Magnetic Field

引言：前面我们研究了静止电荷周围电场的性质与规律，在运动电荷周围，不但存在电场，而且还存在磁场。稳恒电流产生的磁场是不随时间变化的，称为稳恒磁场。稳恒磁场和静电场是两种性质不同的场，但在研究方法上有很多相似的地方。本章我们研究稳恒电流产生的磁场的性质与规律。主要内容有：
1．描述磁场的基本物理量——磁感应强度
2．电流磁场的基本方程——Biot-savart定律
3．反映磁场性质的基本方程——磁场的高斯定理与安培环路定理
4．磁场对电流与运动电荷的作用

本章主要题目类型有：
1．磁感应强度的计算问题；
2．磁场的基本性质问题；
3．磁场对电流与运动电荷的作用问题。

本章共有7节：
§11－1 磁场，磁感应强度
§11－2 毕奥—萨伐尔定律
§11－3 磁通量，磁场的高斯定理
§11－4 安培环路定理
§11－5 带电粒子在磁场和电场中的运动
§11－6 载流导线在磁场中所受的力
§11－7 磁场对载流线圈的作用

绪言
Fundamental Magnetic Phenomena

一、磁现象及其特点

1．基本磁现象：
传说：古希腊牧人玛格内斯（Magnes）在克里特岛的艾达山上，他的皮鞋底上的铁钉与手杖上的铁尖，被脚下石头牢牢吸住，以致很难离开，于是他发现了一种奇妙的石头（磁铁矿石）。
还有一则寓言讲到，一座有很大吸收力的磁山，吸收甚至是距它很远的木船上的铁钉。
另一个关于天然磁石有故事：传说在亚历山大城（埃及，地中海沿岸）亚西诺寺庙里，用磁铁矿建成的拱形屋顶结构，是为了把皇后的铁铸像悬吊在空中。
我国是发现天然磁体（磁石：Fe3O4）最早的国家：
① 春秋战国时期，《吕氏春秋》一书中已有“磁石召铁”的记载；

② 公元前250年《韩非子》；
③ 东汉思想家王充在《论衡》中所描述的“司南勺”被认为是最早的磁性指南器具；
④ 11世纪沈括发明指南针，并发现地磁偏角，比哥伦布的发现早四百年。
⑤ 12世纪，我国已有关于指南针用于航海的记录。
现代磁体是由人工制成的：
① 铁、钴、镍合金永久磁体；
②铁氧体（铁淦氧磁体，是Fe2O3与二价金属氧化物CuO、ZnO、MnO等的一种烧结物，又称为“磁性瓷”。）
2．早期发现磁现象限于磁铁之间，总结如下：
1）磁性——天然磁石成人工磁铁吸收铁(Fe)，钴( Co)，镍(Ni)的性质。
磁体——具有磁性的物体
永久磁体——长期保持磁性的物体
2）磁极——条形磁铁两端磁性最强的部分
一支能够在水平面内自由转动的条形磁铁，在平衡时总是指向南北方向的，分别称为磁铁的两极。
南极 S South Pole ——指向南极
北极 N North Pole ——指向北极
磁力——磁体之间的相互作用，同极相斥，异极相吸，
3）把磁铁任意分割，每一小块都有南北两极，任意磁铁总是南北两极同时存在的，自然界中没有单独存在的N极与S极。
近代理论认为可能存在“磁单极”，但未观察到。Dirac在1931年从理论上提出已知的量子理论允许存在磁单极子，磁单极子的磁荷qm与任意一个粒子的电荷q之间满足

即若存在磁单极子，则电荷一定是量子化的。1975年、1982年分别有实验报道找到磁单极子，但还没有得到科学界的公认。
4）某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁性，称为磁化。

二、磁现象的本性
宋代陈显微：阳阳学说
1600年 Gilbert出版<<磁论>>，对磁体作全面论述；
1820年 Oersted发现了电流的磁效应；
1821年 Anpere提出了分子电流的假设。安培认为一切磁现象都起源于电流。在磁性物质的分子中，存在着小的回路电流，称为分子电流，它相当于最小的基元磁体物质的磁性就是决定于这些分子电流对外磁效应的总和。如果这些分子电流毫无规则地取各种方向，它们对外界引起的磁效应就会互相抵消，整个物质就不会显磁性。当这些分子电流的取向出现某种有规则的排列时，就会对外界产生一定的磁效应，显示出物质的磁化状态。
用近代的观点看，安培假说中的分子电流，可以看成是由分子中电子饶原子核的运动和电子与核本身的自旋运动产生的。

三、磁与电之间联系：
在历史上很长的一段时间内，电学与磁学的研究一直是彼此独立地发展的，直到19世纪20年代，人们才认识到电与磁之间的联系。
1820年7月21日丹麦物理学家Oersted首先发现电流的磁效立。（Oersted在课堂上做的演示实验，原意在于证明电与磁之间没有联系，结果却发现了电流的磁效应）
1820年10月30日法国物理学家Biot与Savart发表了长直导线通有电流时产生磁场的实验，并从数学上找出了电流元产生磁场的公式。
1821年英国物理学家Faraday开始研究把“磁变成电”，经过十年的努力，在1831年发现了电磁感应现象。
1866年，在英国曼彻斯特制成了世界上第一台直流发电机。
此时，人们才逐渐认识到电与磁之间的联系，到20世纪初，由于科学技术的进步和原子结构理论的建立与发展，认识到磁场也是物质存在的一种形式，磁力是运动电荷之间的一种作用力。此时，人们进一步认识到磁场现象起源于电荷的运动，磁力就是运动电荷之间的一种相互作用力。磁现象与电现象之间有密切的联系。

电与磁相互联系的实验：

1、 载流导体附近的磁针，会受引力作用而偏转(Oersted)

2、 放在蹄形铁两极间的载流导线，也会受力运动
3、载流导线之间也有相互作用力——安培发现
4、载流线圈对磁针有作用
5、运动电荷通过磁极之间时会受到力的作用

小结：
l 电荷（不论静止还是运动）在其周围空间激发电场，而运动电荷在其周围空间还要激发磁场；
l 在电磁场中，静止的电荷只受到电场力的作用，而运动的电荷除了受到电场力的作用之外，还将受到磁场力的作用；
l 一切磁现象起源于电荷的运动，磁场力就是运动电荷之间的一种相互作用力。

*由于运动和静止是相对的,同一客观存在的场,在某一坐标系中表现为电场,而在另一坐标系中却表现为磁场。

磁性起源和电、磁本质的统一性
运动电荷既能产生磁效应，也能受磁力的作用。一切磁现象都起源于电荷的运动。它们之间的相互作用力均为运动电荷之间的作用力。例子：
计算机科技与电磁技术
（1）存储器 磁芯、Floppy and Hard disk、MO机等；
（2）微型电机；
（3）CRT显示器；
§11-1 磁场 磁感应强度
Magnetic Field Magnetic Induction

一、磁场 Magnetic Field
运动电荷之间的磁力作用是这样进行的？在历史上曾经有两种观点。一种是超距观点，一种是场的观点。

磁场：运动电荷（或电流）周围空间存在的一种特殊形式的物质。在运动电荷的周围空间，除了产生电场外，还要产生磁场。运动电荷之间的相互作用是通过磁场进行的。
磁场是物质存在的一种形式。磁场物质性：
l 表现之一是磁场对磁体、运动电荷或载流导线有磁力的作用；
l 表现之二是载流导线在磁场中运动时，磁力要作功，从而显示出磁场具有能量。

二、磁感应强度Magnetic Induction
1．引言：小磁针在磁场中受力的大小和方向与小磁针的位置有关，因而需要一个既具有大小又有方向的物理量来定量描述磁场。由于磁场对小磁针的作用本质上是磁场对运动电荷的作用，因而可以根据实验运动电荷在磁场中的受力情况来研究磁场。
2．实验表明：

1）运动电荷所受的磁场力不仅与运动电荷的电量q和速度有关，而且还与运动电荷的运动方向有关，且磁场力总是垂直于速度的；
2）在磁场中的任一点存在一个特殊的方向，当电荷沿此方向或其反方向运动时所受的磁场力为零，与电荷本身的性质无关，而且这个方向就是自由小磁针在该点平衡时北极的指向；
3）在磁场中的任一点，当电荷沿与上述方向垂直的方向运动时，电荷所受到的磁场力最大（计为Fm），并且Fm与电荷q的比值是与q、v无关的确定值，比值Fm/qv是位置的函数。
3．磁感应强度的定义：
由实验结果可知，磁场中任一点都存在一个特殊的方向和确定的比值Fm/qv，与实验运动电荷的性质无关，它们分别客观地反映了磁场在该点的方向特征和强弱特征。为了描述磁场的性质，可据此定义一个矢量函数B，规定它的大小为

即以单位速率运动的单位正电荷所受到的磁力。其方向为放在该点的小磁针平衡时N极的指向。B称为磁感应强度。
4．磁感应强度的单位：
在SI制中
F—— 牛顿N
q —— 库仑C
v —— 米/秒 m·s-1
则 B——特斯拉 T Tesla
1T=1N·A-1·m-1
在工程中，磁感应强度的单位有时还用：高斯（Gauss）G
1G=10-4T，1T=104G
几种常见的磁场的数量级：地球磁场 0.5×10-4T
一般永磁体 1×10-2T
大型磁铁 2T
超导材料 103 (强电流)
赤道 0.3×104T
两极 0.6×10-4T
心脏 0.3×10-9T
脉冲星 1×108T
原子核 1×104T
5．均匀磁场 Uniform Magnetic field：B的大小，方向都一致的磁场
非均匀磁场 Non-Uniform magnetic field：不符合上述条件的磁场。
§11－2 毕奥－萨伐尔定律
Biot-savart law

本节讨论稳恒电流产生磁场的规律。
一、Biot-savart定律
1．引入：
在计算任意带电体在空间某点的电场强度时，可把带电体分成无限多个电荷元，先求出每个电荷元在该点产生的电场强度，再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的电场强度（）。对于稳恒电流产生磁场的计算问题，可把稳恒电流分成无限多个电流元，先求出每个电流元在该点产生的磁感应强度，再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的磁感应强度（）
问题：？
2．Biot―Savart―Laplace定律
1820年10月30日（在距Oersted报道电流磁效应不到三个月），法国的Biot和Savart在法国科学院发表文章，从实验中分析了电流和磁效应之间的关系。如图所示，小磁针转动强弱反应该点磁感应强度的大小。
实验发现：
1.大，小，
2.大，大，
结论：
不久，Laplace假定，电流由电流元组成：
l 产生的磁感应强度与I成正比；
l 磁感应强度的大小与电流元的表观长度成正比；
l 磁感应强度的大小与r的平方成反比。

在实验上基础上经科学抽象得到：在载流导线上取电流元，空间任一点P，该点的磁感应强度为，与矢径的夹角为，实验表明，真空中

在SI制中，k=μ0/4π，其中μ0=4π×10-7N·A-2为真空磁导率。
故
的方向：即的方向(右手螺旋法则确定)
写成矢量形式为

或

其中为矢径方向上的单位矢量。
这就是Biot―Savart―Laplace定律，也称为Biot―Savart―Laplace定律。
3．任意载流导线在P点的磁感应强度为

4．说明：
l 该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接加以证明，但是由该定律出发得出的一些结果，却能很好地与实验符合。
l 电流元的方向即为电流的方向；
l 3.的方向由确定，即用右手螺旋法则确定；
l Biot―Savart―Laplace定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律，原则上可以求解任何稳恒载流导线的磁感应强度。

二、Biot-Savart定律应用举例：
解题步骤：
l 根据已知电流的分布与待求场点的位置，选取合适的电流元；
l 选取合适的坐标系。要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；
l 根据所选择的坐标系，按照Biot―Savart―Laplace定律写出电流元产生的磁感应强度；
l 由叠加原理求出磁感应强度的分布；
l 一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。
由于数学上的困难，下面仅计算几个基本而又典型的稳恒电流产生磁场问题。

典型例题：
两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.（课本P131）载流长直导线的磁场
（1）一段载流直导线的磁场

解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕—萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：

方向为。所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：
（1）
由图得：
,
因此：
此外，
代入（1）可得：

讨论：
（1）无限长直通电导线的磁场：，方向？
（2）半无限长直通电导线的磁场：
（3）其他例子
、、、
（4）解题的关键：确定电流起点的和电流终点的。
例2:（课本P132）圆形载流导线轴线上的磁场）

设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕—萨定律得：

方向如图：
，所有形成锥面。
将进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有：

因为 常量，
所以
因为
所以
方向：沿 x 轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：
（1）圆心处的磁场：，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例1．载流长直导线周围的磁场：
Magnetic Field around a long straight carrying-current wire
问题：设有一载流长直导线CD放在真空中，通过导线的电流为I，试求此长直导线旁任一点P的磁感应强度，已知P点与长直导线间的垂直距离为a。
解：如图所示建立坐标系，在z处取一电流元Idz，则此电流元在P点的磁感应强度的大小为：

方向：，沿X轴负向
因为CD上各电流元在P点的方向相同，所以CD在P点的大小为

下面首先把各变量转化为的函数：

,
因而

即一段直导线电流磁场公式为

说明：
(1)β角的定义：
β1：从PO转到电流起点C时，PO与PC的夹角；
β2：从PO转到电流终点D时，PO与PD的夹角。
(2)β正负的规定
β取正：β的旋转方向与电流的流向相同
β取负：β的旋转方向与电流的流向相反
(3)对于无限长直线：β1=-π/2，β2=π/2
（方向可用右手螺旋法则判定）
这与早期的Biot-savart实验一样，间接地证明Biot-savart定律。
(4)半无限长直导线：β1=0，β2=π/2

（5）若场点在导线的延长线上，则有B=0。
注意：
a——P点与电流的垂直距离
的方向——由确定

例2．圆形载流导线轴线上的磁场：
Magnetic Field of circular current wire
问题：在真空中有一半径为R的载流导线，通过的电流为I，试求通过圆心并垂直圆形导线平面的轴线上任意一点P的磁感应强度。
解：如图所示建立坐标系，取电流，在P点的大小为

由于，所以，因而
的方向垂直于与组成的平面。设与X轴夹角为α。 把分解为平行于X轴的分量和垂直于X轴的分量，即
——平行于X轴的分量
——垂直于X轴的分量
由于电流分布的轴对称性可知垂直于X轴的分量的和为零，因而P点的为

由于
对于给定P点，为常数，故

因为
故 （方向可用右手螺旋法则判定）
方向：沿X轴正向
说明：
(1)圆心处：x=0
(2)一段圆弧：θ，积分可得圆心处的磁感应强度为
(3)另一侧：方向也是相同的。
(4)对于无穷远点：x >> R，

用圆电流的面积S=πR2表示，则为
(5)用圆电流的磁矩（即磁偶极矩）表示
设平面圆电流，其面积为S，电流为I，平面正法矢单位矢量为，与电流成右螺旋关系：

定义圆电流的磁矩定义为：

将磁矩的定义代入前式，则有

x=0时，
注意：只有当圆电流的面积很小时，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫磁偶极子，这时即为磁偶极子的磁短，上式即为磁偶极子在极轴上所产生的磁感应强度。

三、磁偶极矩
1. 定义圆电流的磁矩
，
如果电流回路为N 匝线圈，则载流线圈的总磁矩为：
2. 磁偶极子及磁偶极磁场
当圆电流的半径很小或讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称为磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。
磁偶极子磁矩为：
磁偶极矩磁场为：

分子、原子、电子、质子等都可以等效为圆电流（具有磁矩）。
地球可以等效为大磁偶极子，磁矩大小为：8.0×1022A·m2

例3．载流直螺线管轴线上的磁场
问题：有一长为L，半径为R的载流密绕螺线管，总匝数为N，管中电流为I，设把螺管放在直空中，求管内轴线上一点磁感强度。

解：由于螺线管上线圈是密绕的，每匝线圈可近似当作闭合的圆形电流，于是轴线上任意一点P的磁感应强度可以认为是N个圆电流在该点各自产生的磁感应强度的迭加，现取轴线上点P 为坐标原点O，并以轴线为OX轴，在线管上取长为的一小段，匝数为 ndl，其中n=N/l为单位长度的匝数，这一小段载流线圈相当于通有电流为的圆形电流，它在0x轴上P点的大小为

沿OX轴正向考虑螺线管上各小段载流在OX轴上点P所产生的方向相同，均沿OX轴正向，所以整个载流螺线管在P 的应为各小段载流线圈在该点的迭加。

为了计算方便，用代替x

代入上式：

讨论：
(1)若P点位于管内轴线中点
则：，
代入得
若，即螺线管可视为无限长，则可得管内与轴线上中点处大小为

若螺线管为无限长，则有β1=π，β2=0

的方向：沿OX轴正向
(2)若点P位于半无限长载流螺线管一端β1=π/2，β2=0或β1=π/2，β2=π
则
其值为轴线上中点处的值的一半。
（3）长直螺线管内轴线上磁感应强度分布如图所示。从图中可以看出，长直螺线管内中部的磁场可以看成是均匀的。

直电流、圆电流以及螺线管轴线上的磁场是几种典型的磁场，以它们为基础，只要对磁场的叠加原理灵活运用，就可以进一步求出其它一些载流导线的磁场分布问题。

三、运动电荷的磁场
引言：通电导线中的电流是导线中大量自由电子作定向运动而形成的，因而电流产生磁场的实质，可归结为大量运动电荷所产生的磁场的总和。运动电荷能够产生磁场已为人们所公认，并已得到许多实验验证。本节讨论运动电荷产生的磁场。
1．运动电荷产生的磁场
出发点：Biot-savart定律
电流元产生的磁场：

电流元：
其中——电流密度 ——电荷运动速度
n——电荷数密度 q——电荷(考虑正电荷) S——截面积
因而

式中为电流元体积，为电流元中的电荷数，于是单个电荷产生的磁场为

的方向：垂直于与所确定的平面
当q>0（正电荷），的方向为方向
当q<0（负电荷），的方向为相反方向

说明：
1.成立条件：v<一半径为r的圆盘，其电荷面密度为σ，设圆盘以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘中心的磁感强度。
解法1：设圆盘带正电荷，且绕轴O逆时针旋转，在圆盘上取一半径分别为ρ与ρ+dρ的细环带，此环带的电量为dq=σds=σ2πρdρ，考虑到圆盘以角速度ω绕O轴旋转，周期为T=2π/ω，于是此环带上的圆电流为：

已知圆电流在圆心处的磁感应强度为B=μ0I/2R，其中I为圆电流，R为圆电流半径，因此，圆盘转动时，圆电流在盘心O的磁感应强度为：

于是整个圆盘转动时，在盘心O的磁感应强度为：

如圆盘带上正电，则磁感应强度的方向垂直纸面向外。

解法2：取小微元drdθ，则此小微元所带的电荷为：dq=σrdrdθ
运动速度为v=ωr，方向垂直于矢径，因而此小微元在盘心O点产生在磁场为：

方向垂直于纸面向外，各个小微元在盘心处产生的磁场方向都向外，积分得盘心处的磁感应强度为：

小结：
1．磁场的概念：
2．Biot-Savart定律：
3．载流长直导线：
4．圆形电流轴线：圆心处：
5．载流直螺线管：
无限长
6．运动电荷的磁场：
16