ch1-静电场(3)(ppt文档).ppt

第一章第一章 静电场静电场(Steady Electric Field)基本方程、分界面上的衔接条件基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、惟一性问题边值问题、惟一性问题分离变量法分离变量法有限差分法有限差分法镜像法和电轴法镜像法和电轴法电容和部分电容电容和部分电容静电能量与力静电能量与力静电场的应用静电场的应用环路定律、高斯定律环路定律、高斯定律电场强度和电位电场强度和电位序序第五讲第五讲11.5 分离变量法分离变量法Separation Variable Method 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解于求解一类具有理想边界条件一类具有理想边界条件的典型边值问题的典型边值问题 。一。一般情况下般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或泊松方程的通解，而只有拉斯方程或泊松方程的通解，而只有当场域边界与当场域边界与正交坐标面重合或平行时正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得，才可确定积分常数，得到边值问题的解。到边值问题的解。2分离变量法基本思想分离变量法基本思想 把电位函数用两个或三个仅含把电位函数用两个或三个仅含一个坐标变量一个坐标变量的函数的乘的函数的乘积表示，代入偏微分方程后，借助积表示，代入偏微分方程后，借助“分离分离”常数使原来的偏常数使原来的偏微分方程转化为微分方程转化为几个常微分方程几个常微分方程，然后分别求解这些常微分，然后分别求解这些常微分方程，并以给定的边界条件确定其中积分常数和分离常数，方程，并以给定的边界条件确定其中积分常数和分离常数，最终得到电位函数的解。最终得到电位函数的解。采用的坐标系：采用的坐标系：正交坐标系正交坐标系，常用的有直角坐标系、圆柱坐，常用的有直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。标系和球面坐标系。关键：关键：能否选择出可分离变量的坐标系，使场域的边界面和能否选择出可分离变量的坐标系，使场域的边界面和电介质的分界面与所选坐标系的坐标面重合或平行。电介质的分界面与所选坐标系的坐标面重合或平行。3解题的一般步骤：解题的一般步骤：分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；解常微分方程，并叠加得到通解；利用边界条件确定常数，最终得到电位的解。利用边界条件确定常数，最终得到电位的解。根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；41.5.1 直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）设电位分布只是设电位分布只是 x 和和 y 的函数，而沿的函数，而沿 z 方向没有变化，方向没有变化，则拉普拉斯方程为则拉普拉斯方程为分离变量分离变量代入微分方程代入微分方程同除以同除以 X(x)Y(y)要使方程两边相等，必须使它们分别等于一个常数，将要使方程两边相等，必须使它们分别等于一个常数，将此常数写成此常数写成kn2，因而得到关于因而得到关于X和和Y的两个常微分方程的两个常微分方程只与只与x x有关有关只与只与y y有关有关 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。中的分离变量法。5其中其中kn称为分离常数，取不同的值，方程有不同的解：称为分离常数，取不同的值，方程有不同的解：当当kn=0时，方程的解为时，方程的解为 当当kn0时，则方程的解为时，则方程的解为双曲函数双曲函数6因拉氏方程是线性方程，适用叠加原理。为了适应不同因拉氏方程是线性方程，适用叠加原理。为了适应不同的边界条件，其一般解答应为的边界条件，其一般解答应为kn取所有可能值的解的线取所有可能值的解的线性组合，即性组合，即如果将如果将kn2换成换成kn2，则，则式中的双曲函数也可用指数函数的形式来表示。式中的双曲函数也可用指数函数的形式来表示。A0、B0、C0、D0、An、Bn、Cn和和Dn都是待定常数都是待定常数,由具体的边界条由具体的边界条件来确定。件来确定。例例1.5.1图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为与三壁绝缘且保持电位为100sin(x/a)，金属槽截面，金属槽截面为正方形（边长为为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。），试求金属槽内电位的分布。应用实例应用实例图图1.5.1 接地金属槽的截面接地金属槽的截面y8y解：解：选定直角坐标系。边值问题：选定直角坐标系。边值问题：（D D域内）域内）通解通解利用给定边界条件确定积分常数：利用给定边界条件确定积分常数：图1.5.2 双曲函数d）比较系数法：比较系数法：当 时，（D域内）域内）当 时，通解沿 x方向作正弦变化，满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。根据经验也可定性判断通解中能否舍去根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或或 项。项。所以12若金属槽盖电位若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布，再求槽内电位分布通解通解等式两端同乘以等式两端同乘以 ，然后从，然后从 积分积分左式左式当当 时，时，13右式右式 代入式代入式（1）代入通解代入通解n奇数奇数图图1.5.3 接地金属槽内接地金属槽内的等位线分布的等位线分布14电位分布示意图15为为确确定定常常数数 ，将将 在在区区间间 上上按按 展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数，即即导体槽内电位函数为导体槽内电位函数为【例例1-151-15】用傅立叶展开求积分常数用傅立叶展开求积分常数1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）柱坐标系中的二维拉普拉斯方程为（电位沿柱坐标系中的二维拉普拉斯方程为（电位沿z z方向没有变化）：方向没有变化）：分离变量分离变量 代入微分方程，两边同乘代入微分方程，两边同乘 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。整理，得：整理，得：17它们的解为：它们的解为：当当n=0时：时：当当n0时：时：可分解为关于可分解为关于R和和Q的常微分方程的常微分方程柱坐标系中二维拉普拉斯方程的通解是柱坐标系中二维拉普拉斯方程的通解是各常数的值同样由具体边界情况确定。各常数的值同样由具体边界情况确定。例例1-16 垂直于均匀电场垂直于均匀电场 E 放置放置一根无限长均匀介质圆柱棒一根无限长均匀介质圆柱棒 ，试求试求圆柱内外圆柱内外 和和 E 的分布。的分布。图图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒根据根据得分离常数得分离常数 时，时，解不成立，舍去。解不成立，舍去。19 解：解：取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题图图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒通解通解20根据根据 ，比较系数得到比较系数得到当当 时，时，根据根据 利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常数当当 时，时，通解通解根据根据得到得到（1）（2）21比较系数比较系数当当n=1时，时，当当 时，时，An=Bn=0，则最终解则最终解由分界面由分界面 的衔接条件，得的衔接条件，得（3）解得解得A1、B12223图图1.5.5 均匀外电场中介质圆均匀外电场中介质圆柱内外的电场柱内外的电场 介质柱内电场介质柱内电场E2均匀均匀,并与外并与外 加电场加电场 E 平行。平行。若电介质内部有细长夹杂物，如空气泡，会怎样？若电介质内部有细长夹杂物，如空气泡，会怎样？因因 ，所以，所以 。介质柱外的电场非均匀变化，介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场趋近于均匀电场 。24等位线分布等位线分布（真空中的介质柱）（真空中的介质柱）25 若电介质内部有细长夹杂物，如空气泡，会怎样？若电介质内部有细长夹杂物，如空气泡，会怎样？因因 ，所以，所以 。1-5-4电场强度分布电场强度分布26平行板电容器介质内有气泡时的电场强度分布云图27等位线分布等位线分布（介质中的空气泡）（介质中的空气泡）281.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式（1）二维静电场边值问题二维静电场边值问题Finite Difference Method 基本思想：基本思想：将场域离散为许多小网格将场域离散为许多小网格 ，应用差分，应用差分原理，将求解连续函数原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求的微分方程问题转换为求解网格节点上解网格节点上 的代数方程组的问题。的代数方程组的问题。（基于差分原理的（基于差分原理的一种数值计算法，将连续函数的微分采用差分做近似替代）一种数值计算法，将连续函数的微分采用差分做近似替代）（2）1.6.1 有限差分的网格分割有限差分的网格分割 通常将场域分成足够小的正方形网格，通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为网格线之间的距离为h h，节点，节点0,1,2,3,40,1,2,3,4上上的电位分别用的电位分别用 和和 表示。表示。29令令 h=x-x0，将，将 x=x1 和和 x3 分别代入式分别代入式(3)（4）（5）（3）由式由式（4）+（5）（6）（7）同理同理,沿沿 x方向在方向在 x0 处的泰勒公式展开为处的泰勒公式展开为30将式将式(6)、式、式(7)代入式代入式(1)，得到，得到当场域中当场域中即即即即若场域离散为矩形网格，若场域离散为矩形网格，差分格式为差分格式为注(1)1.6.2 矩形网格剖分矩形网格剖分泊松方程的泊松方程的五点差分格式五点差分格式311.6.2 边界条件离散化边界条件离散化（Discrete Boundary Condition)第二类边界条件差分格式第二类边界条件差分格式第一类边界条件第一类边界条件(给边界离散节点直接赋已知电给边界离散节点直接赋已知电位值。位值。)介质分界面衔接条件差分格式介质分界面衔接条件差分格式其中其中图图1.6.4 介质分界面介质分界面图图1.6.3 对称边界对称边界32若区域中均为媒质若区域中均为媒质a若区域中均为媒质若区域中均为媒质bj ja1 与与j jb3并不存在，需通过分界面并不存在，需通过分界面条件消去条件消去33hhLDxyo01234图1-1401342qhphhh图1-15 对于边界附近的节点，其边界不一定正好落在正方形网格的对于边界附近的节点，其边界不一定正好落在正方形网格的节点上，而可能如图节点上，而可能如图1-141-14中的红色节点。显然，右、上两个边中的红色节点。显然，右、上两个边界点不是网格的节点。放大后如图界点不是网格的节点。放大后如图1-151-15所示。所示。1 1、2 2为边界节点，为边界节点，p p、q q为小于为小于1 1的正数，可推得这些节点的拉普拉斯方程的差分格的正数，可推得这些节点的拉普拉斯方程的差分格式为式为边界不在网格节点处边界不在网格节点处34同理同理代入拉普拉斯方程，即得：代入拉普拉斯方程，即得：01342qhphhh图1-15边界节点的拉普拉斯方程的差分形式推导边界节点的拉普拉斯方程的差分形式推导 对于区域内的每一个节点，都可以列出一个差分方程。例对于区域内的每一个节点，都可以列出一个差分方程。例如对图如对图1-141-14而言，就要列出而言，就要列出2424个联立方程，通过这些方程把各个联立方程，通过这些方程把各个内节点的电位以及边界上的（节点）电位联系起来。只要解个内节点的电位以及边界上的（节点）电位联系起来。只要解这个方程组，便可求得各个节点上的电位值。这个方程组，便可求得各个节点上的电位值。hhLDxyo01234图1-14边界上的电位（1）（2）1.6.3 差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法(Solution Method)1、同步迭代法、同步迭代法 求解方程时，由于实际问题的节点数很多，往往可达几百甚求解方程时，由于实际问题的节点数很多，往往可达几百甚至几千，通常解联立方程组的方法至几千，通常解联立方程组的方法(如行列式法如行列式法消去法等消去法等)便不再便不再适用。好在每一个方程中只包含很少几项，可以采用逐次近似的适用。好在每一个方程中只包含很少几项，可以采用逐次近似的方法求解。方法求解。首先，任意给定在网格区域内各个节点的位值首先，任意给定在网格区域内各个节点的位值 ，作，作为解的零次近似值。把这组数代入差分方程，得一次近似值。为解的零次近似值。把这组数代入差分方程，得一次近似值。再将一次近似值代回原方程，可求得二次近似值，再将一次近似值代回原方程，可求得二次近似值，。式中：式中：节点位置节点位置迭代次数迭代次数37当两次相邻迭代解之间的误差小于某个给定值当两次相邻迭代解之间的误差小于某个给定值W时，即：时，即：就可结束迭代过程，而取就可结束迭代过程，而取 为所求的解。为所求的解。在计算每一次迭代解的新值时，要用到前次迭代解的旧值，在计算每一次迭代解的新值时，要用到前次迭代解的旧值，在用计算机求解时，要有两套存储单元。在用计算机求解时，要有两套存储单元。收敛的速度也较慢。收敛的速度也较慢。缺点：缺点：382、高斯、高斯塞德尔迭代法（又称李普曼法、异步迭代法）塞德尔迭代法（又称李普曼法、异步迭代法）这个方法的特点为：在求第这个方法的特点为：在求第k+1次近似值次近似值时，如果其相邻点的第时，如果其相邻点的第k+1次新值已经求得，次新值已经求得就可用此新值代替第就可用此新值代替第k次旧值代入差分方程求次旧值代入差分方程求解。所以相应的迭代公式为解。所以相应的迭代公式为76458321oyx图1-16ij迭代一般按迭代一般按“自然顺序自然顺序”：先从左到右，再从下到上。：先从左到右，再从下到上。在用计算机求解时，只要用一在用计算机求解时，只要用一套存储单元来存储网格节点的位套存储单元来存储网格节点的位值。值。在迭代时有一半是用了新值，在迭代时有一半是用了新值，所以，收敛速度要快一倍左右。所以，收敛速度要快一倍左右。39 这是在上述高这是在上述高塞迭代法的基础上，再加上超松弛的塞迭代法的基础上，再加上超松弛的措施，即把措施，即把每次迭代的变化量加权代入每次迭代的变化量加权代入，以加快收敛速度。，以加快收敛速度。相应的迭代格式为相应的迭代格式为选择不同的选择不同的，可以有不同的收敛速度。，可以有不同的收敛速度。通常：通常：1 1000 269 174 143 122 133 171 发散发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）最佳收敛因子的经验公式（不唯一）（正方形场域、正方形网格）（正方形场域、正方形网格）p+1每边的节点数每边的节点数（矩形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；迭代次数与工程精度迭代次数与工程精度 有关。有关。41给每个节点赋初值给每个节点赋初值 按迭代公式进行迭代；按迭代公式进行迭代；迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。一迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。一般按般按“自然顺序自然顺序”：先从左到右，再从下到上。：先从左到右，再从下到上。迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式。差分格式。直到所有节点电位满足直到所有节点电位满足 为止。为止。迭代步骤：迭代步骤：76458321oyxij42边界节点赋已知电位值边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值赋节点电位初始值累计迭代次数累计迭代次数 N=0N=N+1按迭代公式进行一次迭代，求按迭代公式进行一次迭代，求 打印打印 NY程序框图程序框图43作作 业业P.35 1-5-2P.40 1-6-2P.68 1-10 46