数值计算标准答案-石瑞民.doc

习题一
1、取3.14,3.15，，作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：

所以，有三位有效数字
绝对误差：，相对误差：
绝对误差限：，相对误差限：

所以，有两位有效数字
绝对误差：，相对误差：
绝对误差限：，相对误差限：

所以，有三位有效数字
绝对误差：，相对误差：
绝对误差限：，相对误差限：

所以，有七位有效数字
绝对误差：，相对误差：
绝对误差限：，相对误差限：

3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

解： m=-1

所以，n=3，有三位有效数字
绝对误差限：，相对误差：
m=0

所以，n=4，有四位有效数字
绝对误差限：，相对误差：
m=2

所以，n=4，有四位有效数字
绝对误差限：，相对误差：
m=4

所以，n=4，有四位有效数字
绝对误差限：，
相对误差：
4、计算的近似值，使其相对误差不超过。
解：设取位有效数字，由定理1.1知，
由…，所以，
由题意，应使，即
所以，n=4，
即的近似值取4位有效数字
近似值
6、在机器数系下中取三个数，，，试按和两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。
解：

所以，比精确，且与相同；
因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
8、对于有效数，，，估计下列算式的相对误差限。，，
解：，m=1;

所以
同理
或
或
或
所以，

所以，

所以，
综合得：，，
9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中表示x充分接近0，表示充分大）。
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），
答案：（1）；（3），
（4）法一：用得出结果为：
法二：

或
12、试给出一种计算积分近似值的稳定性递推算法
解：显然， In>0,n=1,2,…
当n=1时，得，
当n≥2时，由分部积分可得：
，n=2,3,…
另外，还有：
由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{}的两种算法：
① n=2,3…
②，
下面比较两种算法的稳定性
①若已知的一个近似值，则实际算得的的近似值为

所以，

由此可以看出的误差放大n倍传到了，误差传播速度逐步放大
②由计算
若已知的一个近似值是，则实际计算的的近似值为

所以，

由此可以看出的误差将缩小n倍传到了，误差传播速度逐步衰减。
综上可看出，计算积分的一种稳定性算法为

习题二
1、利用二分法求方程[3，4]内的根，精确到，即误差不超过。
解：令
，，说明在[3，4]内有根，
利用二分法计算步骤
得出，
满足精度要求
所以，，共用二分法迭代11次。
2、证明在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根。
证明：令
，
所以，
由零点定理知，在[0,1]内有一根
根据计算得出：，此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，精确到。
解：令
令=0，得到两种迭代格式

①，不满足收敛定理。
②
，满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为
取初值为 ，得出近似根为：
5、为方程在附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式；
（2），迭代公式
（3），迭代公式
解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值附近的局部收敛
（2）局部收敛
（3）不满足局部收敛条件
但由于，所以比收敛的慢
取第二种迭代格式
取初值，迭代9次得
7、用牛顿法求解在初始值临近的一个正根，要求。
解：令
由牛顿迭代法知：
迭代结果为：

0
1
2
3

2
1.88889
1.87945
1.87939
满足了精度要求，
8、用牛顿法解方程，导出计算C的倒数而不用除法的一种简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算结果有5位有效数字。
解：
，由牛顿迭代公式
迭代结果为：

0
1
2
3

3
3.084
3.086418
3.086420
满足精度要求

所以，0.324的倒数为3.0864
11、用快速弦截法求方程在附近的实根，（取=1.9，要求精度到）。
解：，
迭代结果：

0
1
2
3
4

2
1.9
1.881094
1.87941160
1.87939
满足精度要求

12、分别用下列方式求方程在附近的根，要求有三位有效数字
（1）用牛顿法，取
（2）用弦截法，取
（3）用快速弦截法，取
解：求出的解分别为：
习题三
1、用高斯消元法解下列方程组
（1） （2）
解：（1）等价的三角形方程组为
，回代求解为
（2）等价的三角形方程组为
，回代求解为
2、将矩阵作分解。
解：,
3、用紧凑格式分解法解方程组
解：，
,.
4、用列主元的三角分解法求解方程组
解：
,,,
5、用追赶法解三角方程组，其中,.
解：，
，
6．用改进的Cholesky分解法解方程组
解：，，，
7、用改进的cholesky分解法解方程组
解：，，
8、设,求。
解：

9、设,求
解：，，
10、设，，计算，及，并比较和 的大小。
解：，=10，=9

11、给定方程
（1）写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；
（2）证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；
（3）给定，用迭代法求出该方程的解，精确到。
解：
（1）Jacobi迭代公式
Gauss-Seidel迭代公式
（3）用Jacobi迭代得，
13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。
14、方程组，其中
，
利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值范围。
解:Jacobi迭代矩阵为
当得，
Gauss-Seidel迭代矩阵为：
当得，

15、设方程组分别用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程，准确到4位有效数字（取）
解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此时近似解为

SOR法w=1.25时，迭代11次，此时的近似解为

16、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子w=1.03，w=1， w=1.1）精确解，要求当时，终止迭代，并且对每一个w值确定迭代次数。
解：当w=1.03时，迭代5次，
当w=1时，迭代6次，
当w=1.1时，迭代6次，
习题四
1、设，写出的一次插值多项式，并估计插值误差。
解：
，其中

2、给定函数表

-0.1
0.3
0.7
1.1

0.995
0.995
0.765
0.454
选用合适的三次插值多项式来近似计算。
解：
⑴、求，选用插值节点为，，，用 lagrange插值多项式为：

解得
⑵、求，选用插值节点，，，，

解得：
4、给定数据（）

2.0
2.1
2.2
2.4

1.14214
1.449138
1.48320
1.54917
（1）试用线性插值计算的近似值，并估计误差。
（2）试用二次Newton插值多项式计算的近似值，并估计误差。
解：（1）取，

，

（2）写出二次Newton插值差商表

一阶差商
二阶差商
2.0
1.14214

2.1
1.449138
0.34924

2.2
1.48320
0.34062
-0.0431

5、给出函数值
x
0
1
2
3
4
y
0
16
46
88
0
试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。
解：

y
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0
0

1
16
16

2
46
30
7

3
88
21
-3
-5/2

4
0
-88
-109/3
-25/2
-7/6

6、给定数据表

0.125
0.25
0.375
0.500
0.625
0.750

0.79618
0.77334
0.74371
0.70413
0.65632
0.60228
试用三次牛顿差分插值公式计算和。
解：
⑴、求，取，，，h=0.125
差分表为

一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.125
0.79618

0.25
0.77334
-0.02284

0.375
0.74371
-0.02963
-0.00679

0.5
0.70413
-0.03958
-0.00995
-0.00316
由公式
由牛顿插值公式有

⑵、求，取，，，h=0.125

一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.375
0.74371

0.5
0.70413
-0.03958

0.625
0.65632
-0.04781
-0.00823

0.75
0.60228
-0.05404
-0.00623
0.002
求解得
9、给出sinx在[0,pi]的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为，问该函数表的步长h应取多少才能满足要求？
解：设插值节点为，（i=0,1……h）,
由
F(x)=sinx，，所以，即
所以
步长h应取为0.02才能满足要求。
14、已知实验数据如下

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方差。
解：设拟合多项式为，则正规方程组为

即：

所以，经验公式为：
均方误差为0.003019
15、观测物体的直线运动，得出以下数据
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离S(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：设拟合多项式为，则正规方程组为

即：
a=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488
所以拟合多项式为。
习题五
1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。
（1）（n=8）
解：用复合梯形公式

用辛普森公式

精确值：
由上可看出复合辛普森公式更精确。
（4）（n=4）
解：用复合辛普森公式
用辛普森公式 ，
精确解为：
所以辛普森公式的精度较高。

3、用复合梯形公式求积分，问将积分区间[a，b]分成多少等分，才能保证误差不超过？
解：由复合梯形公式的余项知
，取
求得

6、分别用下列计算方法积分，并比较计算结果的精度（积分准确值I=1.098612……）。
（1）复合梯形法，N=16 （2）复合抛物线法，n=8
解：(1)

(2)

精确值：I=2.079441，所以，复合抛物线精度更高。

7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。
（1）
解：令f(x)=1,x,得

所以，
令，左=0=右
，左右
所以，该求积公式的代数精度为m=3.
（2）
解：令f(x)=1,x,得
或
经计算可知
两组参数所对应的求积公式的代数精度均为m=2.
9、利用表5.7求x=0.6处的一阶导数。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
F(x)
1.5836494
1.7974426
2.0442376
2.3275054
2.6510818
解：选
选用三点式得
即
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