1、
椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明
（一）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
证明：延长F2H至M，交PF1于M
∵PT平分∠MPF2 ，又F2H⊥PT，∴
又，
∴.
∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.
（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，
圆心为O1，
由椭圆定义知
∴
∴⊙O、⊙O1相内切
（三）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边
2、PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.
证明：设旁切圆切轴于，切于M，F1P于N，
则 ，， ，
∴
∴与A2重合.
（四）椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，
与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，
A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
证明：设交点，，
∵ ，
∴
又
∴，即轨迹方程为
（五）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
证明：对求导可得： ∴，
∴切线方程为
即，
即，
∴
（六）若在椭圆外 ，则过P0作椭圆的两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
证明：设，，则过点切
3、线分别为
∵在上 ∴，
∴过P1，P2方程
（七）AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则.
证明：设 则
又
∴
（八）若在椭圆内，则被P0所平分的中点弦的方程是.
证法1：由上题的结论得：，
∴弦AB方程为
若在椭圆内，则过P0的弦中点的轨迹方程是.
证法2：设弦交椭圆于，中点.
∴
即.
（九）过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
证明：设两直线与椭圆交于点.
由题意得①＝②
∴，
展开
③－④得：（定值
4、
（十）椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为；。
证明：设，，则.
由余弦定理
，
.
（十一） 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，
则.
证明：设 ，，， ①
又
②
由①、②得：
（十二）椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.
分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线，斜率为，其中垂线为 则。
证明：设方程为 即，中点为
得
代入，
又△＞0，∴
注：还可以用点差法.
（十三
5、已知椭圆（ a>b>0）和（ ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.
证明：设直线方程为,
视作的特殊情况.
弦中点坐标 与无关.
而 ∴与无关.
∴线段中点重合.
（十四）已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
证明：设A为B为
∴
（十五）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点△，则椭圆的离心率。
证明： 由正弦定理得：
由等比定理得：
而，
∴。
（十六）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点△中则
证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
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