镜像法在特殊角域中的应用.doc

数
学
物
理
方
程

学院名称：理学院
班级：数学101
学号：201000134102
姓名：李真真
2013年12月12日镜像法在特殊角域中的应用
摘要
镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的静电场边值问题较容易地得到解决。
镜像法是在待求场域的区域之外,在适当的位置上人为地设置一些点电荷来等效原边界面上复杂分布的实际电荷对待求域的作用,从而在保持原边界条件不变的情况下，将原边界面移去，这样就把求解有限区域的边值问题转换为无边界的无限大均匀媒质中的求解问题,这些人为设置的等效电荷称为镜像电荷。镜像法的关键是寻找合适的镜像电荷，确定镜像电荷的理论根据是唯一性定理,即：一是场的解在原区域满足的方程（泊松方程或拉普拉斯方程）不变,亦即要保持待求场区域原有电荷分布不变,故镜像电荷只能设置在待求场域之外,二是镜像电荷个数、位置、大小和符号的确定应以使问题简化，并保持原问题边界条件不变为依据。
关键词:镜像法 角域 边值问题 唯一性定理 镜像电荷

我们知道，在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace’s equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，且用Poisson's equation 求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面,这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。解决这类问题的一种特殊方法--称为镜象法。
1、镜象法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？当我们把点电荷作为物,把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象,然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果.
2、镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用.在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变,而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson's equation or Laplace's equation 和边界条件决定。这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson’s equation or Laplace’s equation。因此,在所研究的场域内不可放置象的电荷，也就是说，象电荷必须放在研究的场域外。

b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。
c)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用.而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中,它们却恰好相等.
d）镜象法所适应的范围是:①场区域的电荷是点电荷,无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。
 3、镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行 :
1）正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件;
2)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；
3)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；
4） 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等
下面我们举例说明镜像法在特殊角域中的应用：
(1）导体平面的镜像
例:在无限大的接地导电平面上方处有一个点电荷,如图1所示,求导电平板上方空间的电位分布。
解：建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为;场区的源是电量为位于点的点电荷,边界为面,由于导电面延伸到无限远，其边界条件为面上电位为零。
图1　导电平面上方的点电荷
图2　点电荷的镜像电荷

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的,但感应电荷是未知的,因此，无法直接利用感应电荷进行计算.
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷和,分别位于和点，使得面的电位为零,如图2。这种情况，对于的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同,根据唯一性定理,这两种情况区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况,对区域的场来说，后一种情况位于点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷,这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效,镜像电荷一定是位于有效的场区之外。
现在回到本例中来,所求场区的电位应满足以下方程：
（3。2）
边界条件为：
　　　　　　 （3。3)
　　　　　 (3.4）
图3　点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷
在处放一镜像电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，并将区域换成真空。判断能否代替的标准是看代替后在区域内所产生的场是否仍满足方程（3。2)和边界条件（3。3)、(3.4）。
与在的区域内产生的电位为
（3.5）
时，式（3.5），因此新系统对边界条件(3.3)自然满足.同时，式（3.5）也满足式(3.4）的边界条件。
在的区域内的电位为

　　（3。6）
式（3。6）既满足方程（3.2）,又满足边界条件式(3。3）、（3.4)，由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。
为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3。6）可求出上半空间的电场为

在的平面上，，只有即法向电场分量存在，亦即

根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为
　　　　　　　　（3.7）
上式表明，在导体表面上并不是均匀分布的,但它的总感应电荷为
　　　　　（3。8）
感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的,因为点电荷所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。
讨论：
1)镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。
2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。
3）既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了,把整个空间看成是无界的均匀空间.所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。
镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面的情况所有相交成（为正整数)的两个接地导体平面间的场（），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为。
（2）导体球面的镜像
例2　有一点电荷置于半径为的接地导体球外,距球心距离为处,计算导电球外的电位分布。
解　设想有一镜像电荷位于球面内点电荷与球心的连线上距球心为处，如图4所示，球外任意点处的电位为
　　　　　(3.9）
为满足边界条件，应有
　　　 　（3。10）
即　　　
（3。11）
图4　点电荷与接地导体球面的镜像　　
A
B
取球面上两个特殊点和,将两点的坐标分别代入3.9）式。
在点,有　
在点，有　
则有　　　
　　　　 　（3.12）
　　　　　 　　　　　 　　（3.13)
由(3.12）、（3.13）两式可解得

　　　　　　　　　　　（3。14）
这里，是因为所发出的电力线并不全部终止在导体球上，有一部分将终止在无限远处。
将（3.14）式代入（3。9）式，即得到球外任意点的电位为
　　（3.15）
电场强度为,所以

因为对球面上的点有，所以在的球面上,而

球面上的感应电荷面密度为
球面上感应电荷总量为

感应电荷总和与镜像电荷相等，这与预期的结果一致。点电荷所受到的导体球的作用力为
　　　　　　（3.16）
负号表示为吸力。
讨论：
1) 导体球不接地，则此时的边界条件是：导体球的电位不为零,
导体球面为一等位面,而球面上的净电荷为零。为满足导体球面的边界条件，如图5所示，需在球心处再加上一个像电荷,以保持球面仍为等位面。
此时，球外任意点的电位为
图5　点电荷与不接地导体球面的镜像

　　　　　 　　　　　　（3。17）
由前可知，上式中的第一、二项共同作用在球面上，使球面的,则球的电位为

即导体球不存在时，点电荷在O点产生的电位。
导体球不接地，带有总电荷为，则边界条件为：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，球面上的净电荷为零，球面的总电荷量为.
在球内处放一像电荷,和球外的使球面上的电位为零，把电荷量放在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为了。根据叠加原理,应均匀分布上球面上,对于球外点，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，即
　　　　　(3.18）
3）点电荷位于电位为的导体球附近时,有，此时相当于在球心放置了电荷量为的点电荷，即　

故　　 　　　
　 　 （319)
（3)点电荷对无限大介质平面的镜像
图6　点电荷与两种介质分界面
例3　在无限空间中有两种介质，介电常数分别为和，其分界面为平面,在上半空间的处放一点电荷，如图6所示，求两种介质中的电位分布。
解　空间中任意一点的电场是由点电荷与介质分界面上的极化电荷共同产生的，在这种情况下，镜像电荷的作用就等效于介质分界面上的极化电荷对电场的贡献。取分界面为的平面,且点电荷在轴上。设上半空间电位为，下半空间电位为。和应满足下列定解条件:

在计算介质1中的电位时，用介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷,并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质,如图7所示。在计算介质2中的电位时,用介质1中的镜像电荷来代替点电荷与分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质,如图8所示。在介质1、2中任一点的电位分别为
图7介质1中的镜像电荷
　　 （3.37）
　　　　　 （3.38）
图8　介质2中的镜像电荷
显然，、均满足定解条件1）、2），再利用边界条件3）可确定和的值，其中

在界面上，,利用边界条件3）得到

上两式联立求解，可得

式中，，称为介质2对介质1的反射系数，称为透射系数.介质中的电位分别为
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　（3.39
　 　　　　 　　　　　 （3。40）
在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布.如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时,这时我们就采用镜象法来求解这类问题.
注:
唯一性定理：在边值问题的求解中,对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。在讨论这些方法之前，需要解决这样一个问题:满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解,这就是唯一性定理.此定理的表述十分简单:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的.
也就是说，若要保证为问题的唯一正确解,必须满足两个条件。
第一， 要满足方程或,这是必要条件；
第二， 在整个边界上满足所给定的边界条件。所谓边界条件包含了边值问题给出的三种情况.