五-数系扩充与复数引入.doc

第五节数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复数的概念：形如bi(，bR)的数叫复数，其中，b分别是它的实部和虚部若b0，则bi为实数，若b0，则bi为虚数，若0且b0，则bi为纯虚数(2)复数相等：bicdic，bd(，b，c，dR)(3)共轭复数：bi与cdi共轭c，bd(，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zbi的模，即|z|bi|2复数的几何意义复数zbi一一对应复平面内的点Z(，b)一一对应平面向量(，b)3复数的运算(1)运算法则：设z1bi，z2cdi，b，c，dRz1z2(bi)(cdi)(c)(bd)iz1z2(bi)(cdi)(cbd)(bcd)ii(cdi0)(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数z1i的虚部为i.()(2)若zbi(，bR)，当0时，z是纯虚数()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()答案：(1)(2)(3)(4)3实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(2，1)，所以该点位于复平面的第二象限答案：B4(2016课标全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3 B2 C2 D3解析：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.答案：A5(2015北京卷)复数i(1i)的实部为_解析：因为i(1i)ii21i，所以实部为1.答案：1一个关键复数分类的关键是抓住zbi(，bR)的虚部：当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；当0，且b0时，z为纯虚数一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁两点注意1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2利用复数相等bicdi列方程时，注意，b，c，dR的前提条件一、选择题1(2015湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()AiBiC1D1解析：因为i607i41513i3i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A4(2017郑州一检)设i是虚数单位，若复数m(mR)是纯虚数，则m的值为()A3 B1 C1 D3解析：由mm3i为纯虚数，则m30，所以m3.答案：A5(2017广州一模)复数的虚部是()A2 B1 C1 D2解析：本题主要考查复数的概念与几何意义复数1i，所以它的虚数为1.答案：B6设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20解析：设zbi(，bR)，则z22b22bi，由z20，得则b0，或，b都为0，即z为实数，故选项A为真同理选项B为真；选项C为假，选项D为真答案：C二、填空题7若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是_解析：由于iz24i，所以z42i，故z对应点的坐标为(4，2)答案：(4，2)8若复数z1i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2z2_解析：z1i，z1i，则z2z2(1i)2(1i)22i2i0.答案：09(2015重庆卷)设复数bi(，bR)的模为，则(bi)(bi)_解：|bi|，(bi)(bi)2b23.答案：3三、解答题10在复平面内，复数54i，12i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，求点C对应复数的模解：由题意知点A(5，4)，B(1，2)，所以点C的坐标为(2，3)，所以点C对应的复数为z23i，它的模为.11已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解：(z12)(1i)1i，z1222i，设z22i(R)，则z1z2(2i)(2i)(22)(4)i，又z1z2是实数，4，从而z242i.三角函数与平面向量的高考热点题型三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专题的热点题型有：一是三角恒等变换的综合应用；二是三角函数与解三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形使用公式，充分发挥平面向量的工具作用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就为利用数形结合思想创造了条件. 热点1三角恒等变换的综合应用要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换 (2017潍坊质检)已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解：f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x，(1)由f()得sin .又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，则sin xcos x1，于是sin，从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x|2kx2k，kZ1将f(x)化简为sin x，将g(x)化简为1cos x，从而沟通了g()与f()之间的关系2进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用3把形如ysin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性【变式训练】(2015天津卷)已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.热点2三角函数与解三角形的综合问题从近几年课标全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，b，c.已知bsin A3csin B，3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin的值解：(1)由，可得bsin Asin B.又由bsin A3csin B，可得3c.由于3，则c1.依据余弦定理，且cos B，b22c22ccos B321266.于是b.(2)由cos B，0B，得sin B，cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin Bcos B，所以sinsin 2Bcoscos 2Bsin.1以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化【变式训练】在ABC中，b分别是锐角A，B的对边，向量m(b，sin B)，n，且mn.(1)求角A的大小；(2)若B，BC边上的中线AM，求ABC的面积解：(1)由mn，得bcossin B0.由正弦定理，得sin Bsin Asin B，由于sin B0，且A为锐角，sin A，所以A.(2)由(1)知AB，ACb，且C.又AM是ABC中BC边上的中线，MCBC.在AMC中，AM，由余弦定理得AM2AC2MC22ACMCcos C，722cos，解得2.从而b2.故SABCbsin C22sin.热点3三角函数与平面向量的综合应用(满分现场)平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点，主要涉及三种情形：(1)以向量为载体，考查三角变换与求值；(2)向量与解三角形交汇求边与角；(3)以三角函数表示向量的坐标，研究向量运算及函数的有关性质 (经典母题)(本小题满分12分)(2014山东卷)已知向量(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)b，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间规范解答：(1)由题意知f(x)bmsin 2xncos 2x.1分因为yf(x)的图象过点和，所以即4分解得5分(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由题意知g(x)f(x)2sin.7分设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得sin1，因为0，所以，因为g(x)2sin2cos 2x.10分由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数g(x)的单调递增区间为，kZ.12分【满分规则】(1)本题的易失分点是：记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差，求错m，n的值弄错图象平移变换的方向与长度信息提取能力差，不能根据条件准确求出值(2)满分规则：熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式，平时加强基本训练，提高方程求解能力函数图象变换的关键是看x轴上是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，对于后者可利用x(x)确定平移长度，二者均是针对自变量x而言的善于捕捉条件信息，准确进行文字语言与符号语言的转化【构建模板】第一步：利用数量积与三角变换求f(x)；第二步：构建关于m，n的方程组，求m，n的值；第三步：利用图象的平移变换确定出函数g(x)；第四步：根据最值条件求值；第五步：利用三角函数的性质求出函数g(x)的递增区间三角函数与向量相结合的综合问题此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决1已知函数f(x)sin xbcos的图象经过点，.(1)求实数，b的值；(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间解：(1)函数f(x)sin xbcos的图象经过点，b，且b0.解得：1，b1.(2)由(1)知：f(2x)sin 2xcossin 2xcos 2xsin，函数f(2x)的周期T.由2k2x2k，解得2k2x2k，kZ，即kxk，kZ.函数的增区间为，kZ.2已知函数f(x)sin(x)cos(x2)，其中R，.(1)当，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求，的值解：(1)f(x)sincos(sin xcos x)sin xcos xsin xsin.因为x0，所以x.故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得由，知cos 0，解得.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，且c.已知2，cos B，b3.求：(1)和c的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由2，得ccos B2.又cos B，所以c6.由余弦定理，得2c2b22ccos B.又b3，所以2c292613.解得2，c3或3，c2.因为c，所以3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B.因为bc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.5已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时，cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.6已知向量(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若与b的夹角为，且c，求tan 2的值解：(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t1，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)与b的夹角为，coscos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.c，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.