计数原理一.doc

完整word)计数原理一
计数原理

【例1】 少先队员外出旅游，途经一个小卖部,有人要喝可乐，有人要喝雪碧，有人既要可乐，又要雪碧，没有人不喝饮料。问有多少少先队员参加这次旅游？
【分析】 只喝可乐的人有人，只喝雪碧的有人,两者都喝的有人，没有人都不喝，所以总人数应该是人。或者直接依据容斥原理解决:人.

【例2】 有种食品.其中含钙的有种，含铁的有种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？
【分析】 根据容斥原理最小值是种,最大值就是含铁的种数,即有种。

【例3】 图书室有100本书,借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的有29本,同时有甲、丙签名的有25本，同时有乙、丙签名的有36本。问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
【分析】 设没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的分别为本,本，则根据容斥原理公式得：
，化简得,要使取值最少，那么值应该尽量大,表示三人都借阅过的，最大为,此时，所以，至少本没被三人中的任何一人借阅过。
【例4】 某年级的课外学科小组分语、数、外三个小组，参加语数外三个小组的人数分别为人,人和人，同时参加语数、数外、语外小组的人数分别是人、人、人，三个小组都参加的有人。问这个年级参加课外小组的共有多少人？
分析】 由容斥原理可以得到人数是人。

【例5】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数五年级三班学生参加课外
【分析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．有=46，=24，=20，=3。5，=7，=2，=10．
因为，
所以46=2420+7x—10—2x-2x+x,解得x=3，
即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．

【例6】 新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
【分析】 设只参加合唱的有人,那么只参加跳舞的人数为，由人没有参加演奏、人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为人，即，得，所以只参加合唱的有人，那么只参加跳舞的人数为人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少人",得到同时参加三项的有人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：人．

【例1】 在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（ )个.
【分析】 不管0是否属于自然数，由于它可以被3、5、7中任何一个整除，所以它不应该包含在最后的结论中。能被3整除的有10003=333(个）;能被(35）整除的有1000(35）=66（个）；能被（37）整除的有1000（37）=47（个）；能被（57）整除的有1000(57）=28（个）；能被(357）整除的有1000（357）=9（个）。所以能被3、5、7中某一个整除的有（333+200+142）(66+47+28)+9=543(个),不能被3、5、7中任何一个整除的有1000543=457（个）

【例2】 求分母为的最简真分数的个数。
【分析】 因为，所以分子必定是这个范围内既不是的倍数，又不是的倍数的数,因为的倍数有个，的倍数有个，同时是和的倍数的数只有一个,所以既不是的倍数，又不是的倍数的数有个。也就是说分母为的最简真分数的个数是个。

【例3】 求分母为的最简真分数的个数。
【分析】 因为，分母为的最简真分数，其分子不可能是的倍数。
在～这个自然数中：
的倍数有（个）
的倍数有（个）
的倍数有（个）
既是的倍数,又是的倍数有（个)
既是的倍数，又是的倍数有（个)
既是的倍数，又是的倍数有（个）
同时是，,的倍数只有这个。
所以是，，的倍数的有(个）,
所以分母为的最简真分数有（个)

【例4】 、、三个小朋友互相传球,先从开始发球（作为第一次传球)，这样经过了次传球后，球恰巧又回到手中，那么不同的传球方式共多少种．

【分析】 第一次传给,到第五次传回有种不同方式．同理，第一次传给,也有种不同方式．所以，不同的传球方式共有种．

【例5】 妈妈要外地出差，临走前交给小李粒糖，并告诉他每天吃粒或者粒，吃完为止.那么,小李有( ）种不同的方法把糖吃完.
【分析】 小李每天可能吃粒或粒,由此导致吃的方法不同，吃的糖的总数一定是粒。
若小李每天吃粒，则只有种方法吃完；
若其中一天吃粒，则一共吃了天,他可以选择在任意一天吃粒，所以有种方法；
若其中两天每天吃粒，则一共吃了天,其中两天每天吃粒，有种方法。
若其中三天每天吃粒,则一共吃了天，他可以选择其中任意三天每天吃粒,有种方法；
若其中四天每天吃粒，则一共吃了天,其中两天每天一粒，有种方法；
若五天每天吃粒，则正好吃完，只有一种方法，
综上，共有种方法。
【例6】 三位数中各位数之和为的数共有（ )个。
当百位数为时,，总共有种，
当百位数为时,，，，，,总共有种，
当百位数为,，,，,,时，分别有，,，，,，种，
总共有.

【例7】 用五个数字组成四位数，每个四位数中的数字都不相同,（如：
）,求全体这样的四位数之和。
【分析】 千位上的数字确定以后，剩下的三个数位上的数字有种可能性，所以千位上的数字之和是；
百位上的数字确定以后，剩下的三个数位上的数字有种可能性，所以百位上的数字之和是；
十位和个位与百位的情况相同。所以这所有的符合要求的四位数的和是：
。

【例8】 由这五个数组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于的数?
【分析】 万位上是或的数有各个,所以共有个；
万位上是，千位上是的数有个；
万位上是，千位上是,百位上是或的各有个，所以共个.
综上所述，符合要求的数一共有个。
如下图所示,要从点沿线段走到点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方.问有多少种不同的走法？

【例9】
【分析】 如图所示，每一种走法只可能经过中的一个点，并且必定要经过其中的一个点,所以可以将所以的走法分成四类:
第一类,经过点的走法，从到点有种走法，从点到点也是种走法,所以这一类是种走法;
第二类,经过点的走法，从从到点有种走法,从点到点也是种走法，所以这一类是种走法；
第三类，经过点的走法,从从到点有种走法，从点到点也是种走法，所以这一类是种走法;
第四类，经过点的走法，从从到点有种走法，从点到点也是种走法，所以这一类是种走法;
综上所述，运用加法原理，走法数共有种。
另解：标数法解决,如图所示，到达每一个点的方法数等于它左边点的方法数加上下边的点的方法数加上左下方那个点的方法数.所以我们由图中标数，可以知道从点到达点的方法数是种.

【例10】 从6名运动员中选出4人参加接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：
⑴甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒
【分析】 ⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒，有种,由乘法原理，共有：种参赛方案
⑵先不考虑甲乙的特殊要求,从6名队员中随意选择4人参赛，有种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应种选择，考虑若乙跑第二棒,也对应种选择,但是从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况,这种情况下,对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的种方案，所以，一共有种不同参赛方案.

【例11】 学号为的四名同学计划吃掉个馒头,每个同学都必须吃馒头，并且吃掉的都是整数个馒头，任何一位同学吃的馒头个数都不可以和自己的学号数相同。问有多少种不同的吃法？
【分析】 如果学号为的人吃了个馒头，那么其余三人每人吃一个馒头,也就是种吃法；
如果学号为的人吃了个馒头,那么其余三人共吃了四个馒头,必定有一人吃了两个，这个人可以是学号为之一的某个人，也就是有种吃法;
如果学号为的人吃了个馒头,那么其余三人共个馒头,对于只有种吃法，对于有种吃法，所以共计种吃法；
如果学号为的人吃了个馒头，那么其余三人吃了个馒头，对于有种吃法，对于有种吃法,对于没有符合要求的,所以共计种吃法;
如果学号为的人吃了个馒头，那么其余三人吃了个，对于有种吃法,对于
有种吃法，对于有种吃法，对于有种吃法，所以共计有种吃法；
如果学号为的人吃了个馒头，那么其余三人吃了个，对于有种吃法，对于
有种吃法,对于有种吃法，对于有种吃法，对于
有种吃法，所以共计有种吃法.
综上所述,吃法种数有种。

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