圆中最定值(1).doc

(完整版)圆中最定值(1)圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、如图，AB是O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点,连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_1、已知圆O的面积为3,AB为直径，弧AC的度数为80度,弧BD的度数为20度,点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为_2、如图,菱形ABCD中,A=60，AB=3,A、B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是_ 类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心)点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2，最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中,A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC,请求出AC长度的最小值 A在以M为圆心，AM为半径的圆上。 A在MC上时, AC最小。1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A（11，0），点B（0,6）,点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB的最小值为_B在以O为圆心,OB为半径的圆上. B在OC上时, CB最小。2、四边形ABCD中，ADBC，A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将ABP沿BP所在直线翻折得到QBP，则CQD的面积最小值为_类型三、 随动位似隐圆例、在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6点D是边AC上一点D且AD=2，将线段AD绕点A旋转得线段AD，点F始终为BD的中点，则将线段CF最大值为_分析：易知D轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD为定值2，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=AD=，故F点轨迹为以G为圆心,为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。思路2：倍长BC到B，则CF为BDB的中位线，CF= BD，当BD最大时，CF也取最大值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大. 【方法归纳】、如图，点A和点O1为定点,圆O1半径为定值,P为圆O1上动点，M为AP中点点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1中点。、构造中位线1、如图，在RtABC中，ACB = 90，D是AC的中点，M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是_ 2、如图，ABC是边长为2的等边三角形,以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为_类型四、定性分析-垂线段最短例、如图，半圆O的半径为1，ACAB，BDAB,且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积的最大值是_【分析】：思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC面积取最大值,则使CPD面积取最小即可，CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时,面积有最小值,故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点P到CD距离最小。C、D、O为定点，则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长,由勾逆知OCCD，设点P到CD距离为h，则h+rOC,hOC-r，即当O、P、M三点共线时,h有最小值，此时M与点C重合，故OC与圆O交点即为所求点P。思路2：P点的确定也可以这样想，平移CD，设平移后的直线为m，则直线m与CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线m与圆O相切时，高h有最小值。 1、如图，P为圆O内一个定点，A为圆O上一个动点,射线AP,AO分别与圆O交于B,C两点，若圆O的半径为3，OP= ，则弦BC的最大值为_2、如图，AB为O的直径，C为半圆的中点，C的半径为2,AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与C切于点M,则PM的取值范围为_ 类型五、定弦定角【基本原理】如图1O中,A、B为定点，则AB为定弦,点C为优弧上任一点,在C点运动过程中则ACB的度数不变逆运用如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且ACB=（为固定值）点C在以AB为弦的圆上运动(不与A、B重合） 图1 图2例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹,简要说明作图步骤步骤1、_步骤2、_练习、1、如图，AB为定长,点C为线段AB外一点，且满足ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角AOB=_2、如图,AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹， 【实战应用】例、如图，O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的最大面积是_1、如图，ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点,BEAD于E，则CE的最小值为_2、如图,RtABC中，ABBC,AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为_类型六、定弦定角反客为主例、如图，XOY = 45,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10,那么点O到顶点A的距离最大值为_点O到AB的距离的最大值为_【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化,点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将ABC固定，将XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变.问题则变为当点O在圆上运动至何处时，点O到AB距离最大.1、如图，D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点,且DE=2 ，以DE为边向外作正方形DEFG，则AF的最大值为_2、如图，ABC中,ABC= 45，AC=2，半径为的圆O始终过A、C两点，连接OB，则线段OB长的的最大值为_ 类型七、定弦定角条件的确定例、如图，扇形AOD中，AOD=90，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合)，PQOD于点Q,点I为OPQ的内心，则当点P在弧AD上运动时,求I点运动路径长。分析:由内心的基本结论知 PIO=90o+PHO=135o为定角，但其所对的边OP并非定弦，连ID，易证 AIOOID,OID=PIO=135O，且其所对的边为OD，符合定弦定角条件，故I点轨迹为圆弧，问题易解.1、如图，边长为3的等边ABC，D、E分别为边BC、AC上的点,且BDCE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_2、如图，AC3，BC5，且BAC90，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）类型八、隐切线例、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当 ACB最大时，则点C的坐标为_分析：将 ACB看作以AB为弦的圆上的角，则圆心在AB的垂直平分线上,当圆心运动时, ACB的大小也随之改变，又因为点C为为y轴上的点,所以可将点C理解为圆O与y轴交点。Y轴与圆o的位置关系有两种：相交或相切，当圆O与y轴相交时，记交点为C1，当圆O与y轴相切时,记交点为C，如图所示， AC1B= AC2B，由圆上的角大于圆外的角可知， ACB AC2B,故当圆O于y轴相切时， ACB有最大值.考虑对称性可知，点C的位置有两个,y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点. 1、已知点A、B的坐标分别是（0,1)、（0，3）,点C是x轴正半轴上一动点，当 ACB最大时,点C的坐标为_在RtABC中,BAC=30,斜边AB=，动点P在AB边上,动点Q在AC边上,且CPQ=90，则线段CQ长的最小值=_类型九、捆绑旋转例、已知A（2，0），B（5，0），点P为圆A上一动点，圆A半径为2，以PB为边作等边PMB,求线段AM的取值范围. 分析：思路1:要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和PBM共顶点B的等边ABH，则APBHBMHM=PA=2,所以点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点。AM过圆心时取得相应最大和最小值。思路2：线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到，当点P在圆A上运动时,作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，则其应点的集合就是点M运动轨迹。显然其轨迹为圆.因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到，所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时针旋转60度得到.想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度 1、如图,已知A（2，0），圆O半径为1，点B为圆O上一动点，点C在第一象限，且ABC为等腰直角三角形，BAC=90度,求线段OC的最大值_2、如图，AB为O的直径，AB=4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在O外作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD当点C运动时，则线段OD的最大值为_ 类型十、半径不确定的处理策略例、在ABC中，AB=4,BC=6，ACB=30，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1。点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_，最小值为_分析：显然BP=BP1，P1点轨迹为以B为圆心，BP为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定,因为点P为AC上动点，则BP长度有最小值和最大值.如图当BP垂直AC时,半径最小，当P与C重合时,半径最大，由图可知P1点轨迹为以B为圆心的无数个同心圆。不难确定其最小值和最大值1、在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180）,得ABCE为AC的中点，AB中点为P，AC=4cm，则EP的最大值为_2、在ABC中，AB=AC=5，BC=6,将ABC绕点C顺时针方向旋转，得到A1B1C, 点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差12