随机事件及其运算.doc

完整版)(完整word)随机事件及其运算
第一章　随机事件与概率
一、教材说明
本章内容包括:样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法）,概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化.
1．教学目的与教学要求
本章的教学目的是：
（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；
（2)使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；
(3)使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。
本章的教学要求是：
(１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；
（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；
（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导.
２．本章的重点与难点
本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。
二、教学内容
本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容

1.1　　随机事件及其运算
本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算.
自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象,在一定条件下必然发生：如自由落体,100C时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象.另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象.
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。
概率统计的理论和方法应用十分广泛,目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。
1.1。1 随机现象
１．定义 在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.
例(１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上;
（２）掷一颗骰子，出现的点数；
（３）一天内进入某超市的顾客数；
（４）某种型号电视机的寿命；
(５)测量某物理量(长度、直径等)的误差.
随机现象到处可见。
２．特点:结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道.
３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象.对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的
1.1.2 样本空间
１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为

其中，表示基本结果,称为样本点。　
(１）执一枚硬币的样本空间为：;
两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成，
=（正,正），=(正，反），=（反，正)，=(反,反），则
A=“至少出现一个正面”={｝;B=“最多出现一个正面”=｛}；C=“恰好出现一个正面”={｝；D=“出现两面相同”={}.
（２)执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：；两颗呢？
这时基本结果可以用一个数对(x,y）表示,其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子的点数,则其基本空间是
Ω={x,y）:x，y=1,2，3,4，5,6｝，共有36个结果.则事件
A=“点数之和等于2”={（1，1）｝,
B=“点数之和等于5"={（1，4),（2，3)，（3,2),(4，1)｝
C=“点数之和超过9”=｛(4,6），（5,5），（5,6),（6,4）,（6，5），（6,6)}
D=“点数之和不小于4也不超过6”={（1,3),（1，4），（1，5），（2，2)，（2，3）,（2，4），（3,1），（3，2）,（3,3)，（4，1）,（4,2)，（5,1）}。
（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为:
；为什么这样处理？
(４）某种型号电视机的寿命样本空间为：；
（５)测量误差的样本空间为:。
２．离散样本空间和连续样本空间。
样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列
有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类-—连续样本空间。
1.1.3 随机事件
1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。
随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C…来表示事件。A=“出现奇数点"，A={1,3,5}等。
事件具有以下特征:
（1）任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集。
（2）事件A发生当且仅当A中某一结果发生，或者说，当ω(∈A）发生，则说世事件A发生,当ω（A） 发生，则说A不发生
（3)事件A的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白.
2．维恩图 事件的集合表示。
基本事件
复合事件
必然事件
不可能事件
3．例 掷一颗骰子的样本空间为：。
事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成.
事件B=“出现偶数点”,它由三个样本点“2,4,6”组成.
事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不
可能事件.
事件D=“出现的点数不超过7”，中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件。
样本空间与集合的关系,对应关系
1.1。4 随机变量
1．定义 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母等表示,也有的用希腊字母等表示。很多随机事件都可以用随机变量来表达。
2．例 （1）掷一颗骰子,出现的点数是一个随机变量；
（2）掷两颗骰子,出现的点数之和也是是一个随机变量；
（3）检查10件产品，其中不合格产品数是一个随机变量,表示
(4）电视机的寿命是一个随机变量。此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。
取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；
剩下的——非离散型随机变量(主要研究连续型随机变量)
有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件,才可以用数学方法(分析方法)来研究随机性问题。
随机事件的三种表达形式：集合,语言描述，随机变量。
11.5 事件之间的关系
为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。
事件之间的关系有：
一、包含关系
（1）事件的包含 设在同一个试验里有两个事件A，B，若事件A中任一基本结果必在B中，则称A包含于事件B或B包含A，记为AB,BA。
此时若A发生则必导致B发生。如A=“出现4点”，B=“出现偶数点”
显然对于任意一个事件A有 ΩA
二、相等关系
事件的相等 设在同一个试验里有两个事件A 与B,，若AB且BA,则称事件A与B是相等的，记为A=B.这时A与B必然包含相同的基本事件。
A = B Û A Ì B 而且 B Ì A。
如掷两颗色子,观察它们出现的点数（x，y)，设A=“x+y=奇数”，B=“x与y的奇偶性不同”，则A=B。
三、互不相容关系
（3）事件的互不相容（互斥） 设在同一个试验里,若两个事件A与B没有相同的基本结果，则称事件A与B互不相容，这时事件A与B不可能同时发生.
如A=“出现点数为偶数"，B=“出现3点或5点”，则A与B互不相容。
同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件A，A,…，A ，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n个事件是互不相容的。
各种关系的维恩图表示.
1。1.6 事件运算
1．事件运算：
一、事件与的并（和），记为：
“由事件与中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“ 事件与中至少有一个发生”“ 或”
举例
且：，；当时，
,；
表示中至少有一个发生。
称为有限并，称为可列并
二、事件与的交，记为：或
“由事件与中公共样本点组成的新事件"“ 事件与中同时发生”“ 且"

举例
且：,;当时，
,;
表示全部发生.
若与互不相容（互斥），则；反之，亦然。
称为有限交，称为可列交。
三、事件与的差，记为：
“由事件中但不在中的样本点组成的新事件”“ 事件发生而中不发生”“ 非”
举例：如A=｛1，3，5},B={1，2，3｝,则A－B=｛５}，而B－A＝｛２｝。一般情况下这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。
将表示为互不相容事件的和：等。

若为随机变量，则有：

四、对立事件
设A为试验里的事件,则由不在A中的一切结果组成的事件称为A的对立事件，记为,就是“A不发生”。
如 A=“出现偶数点"，则=“出现奇数点”。
对立事件是相互的，=A，=Ω,=Φ。
举例：
对立与互不相容的区别与联系，比较
举例：
设A，B，C是某个试验中的三个事件，则
（1）事件“A与B发生，C 不发生”可以表示为。
(2）事件“A，B，C中至少有一个发生"可以表示为
(3)事件“A，B，C中至少有两个发生” 可以表示为

（4）事件“A，B,C中恰好有两个发生" 可以表示为。
（5) 事件“A，B，C中有不多于一个事件发生”可以表示为
（6）事件“A,B，C中至少有一个发生的对立事件”是。
2．事件的运算性质:
（1)交换律:
，；
(2）结合律:
，；
（3）分配律：
，;
（4）对偶律（德莫根公式）：
。
证明:
或者、
或者、
完备事件组（或者称为样本空间的一个分割）
把样本空间分成n个事件，，… ，，假如
（1）P()〉0，i=1，2， …,n ； （2） ，，… ,互不相容，；（3）。
则称事件组，，… ，为上的一个完备事件组。(最简单的分割是B和）
比较：
记号
概率论
集合论
Ω
样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集
w
样本点
元素
AÌB
A发生必然导致B发生
A是B的子集
AB=φ
A与B互不相容
A与B无相同元素
AÈB
A与B至少有一发生
A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
A-B
A发生且B不发生
A与B的差集
A不发生
对立事件
A的余集
七、事件域
给出事件域的概念,目的是为下一节定义事件的概率作准备。
“事件域"-- 样本空间中某些子集组成的集合类,记为：
可测集合才能定义概率,为此有以下的准备
应该包括：以及相关事件的各种运算（并，交，差、对立)，在运算之下应该具有封闭性
交的运算可以通过并与对立来实现(狄摩根对偶律）
差的运算可以通过对立事件与交来实现（）
所以，对立事件与并的运算就可以解决任何问题
1．定义 设为一样本空间， 为的某些子集组成的集合，如果满足：
（1）
（2)若，则;
（3）若，则.
则称为一事件域或代数。
在概率论中，又称为可测空间。
2．常见事件域
例 常见事件域：

；
;
，取基本集合类
为全体半直线组成的类
利用事件类的要求，首先把左闭右开的扩展近来

然后再把闭区间、单点集、左开右闭、开区间扩展近来
，
,
最后用（有限或可列个）并运算和交运算把实数中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展近来。这就是人们希望得到的：
3．波雷尔事件域： 。

第10页