复变标准答案习题2.doc

习题二
1. 求映射下圆周的像.
解：设则

因为,所以
所以 ,

所以即，表示椭圆.
2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.
（1）； （2）;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
解：设
所以
(1) 记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

(2) 记，则映成了w平面上扇形域，即

(3) 记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了
即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.

3. 求下列极限.
(1)
解：令,则.
于是.
(2) ;
解：设z=x+yi，则有

显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在.
（3） ；
解：=.
（4） .
解：因为
所以.
4. 讨论下列函数的连续性：
(1)
解：因为,
若令y=kx,则,
因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.
(2)
解：因为,
所以
所以f(z)在整个z平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
(1) (n为正整数)；
解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导
.
(2) .
解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.
从而f(z)除外可导.

(3) .
解：f(z)除外处处可导，且.
(4) .
解：因为.
所以f(z)除z=0外处处可导，且.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) ;
解：在全平面上可微.

所以要使得， ,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) .
解：在全平面上可微.

只有当z=0时,即(0,0)处有,.
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) ;
解：在全平面上可微.

所以只有当时，才满足CR方程.
从而f(z)在处可导，在全平面不解析.
(4) .
解：设，则

所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.
(1) ;
证明：因为，所以,.
所以u,v为常数，于是f(z)为常数.
(2) 解析.
证明：设在D内解析,则

而f(z)为解析函数，所以
所以即
从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,
因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2
从而f(z)为常数.
(4) Imf(z)=常数.
证明：与（3）类似，由v=C1得
因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2
所以f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.
若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数，有

利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有

所以 所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6) argf(z)=常数.
证明：argf(z)=常数，即,
于是
得 C-R条件→
解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.
8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.
解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.

所以.
9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.
(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.
.
(2) .
证明：处处可微，且

所以,
所以f(z)处处可导，处处解析.

10. 设
求证：(1) f(z)在z=0处连续．
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程．
(3)f′(0)不存在．
证明.(1)∵
而
∵
∴
∴
同理
∴
∴f(z)在z=0处连续．
(2)考察极限
当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有
．
当z沿实轴趋向于零时，z=x，有

它们分别为
∴
∴满足C-R条件．
(3)当z沿y=x趋向于零时，有

∴不存在．即f(z)在z=0处不可导．
11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．
，得

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件
从而在D1内解析
13. 计算下列各值
(1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14. 设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．
解：令z=reiθ，
对于θ，z→∞时，r→∞．
故．
所以．
15. 计算下列各值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．
设z=x+iy，
在复平面内可微．

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导．
f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．
17. 计算下列各值．
(1)
(2)
(3)

18. 计算下列各值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
19. 求解下列方程
(1) sinz=2．
解：
(2)
解：　即
(3)
解：　即
(4)
解：．
20. 若z=x+iy，求证
(1) sinz=sinxchy+icosx∙shy
证明：
(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy
证明：
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y
证明：

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明：

21. 证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大．
证明：
∴
而
当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．
当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．
同理得
所以当y→∞时有|cosz|→∞．

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