1、微分中值定理的证明题
1. 若在上连续，在上可导，，证明：，使得：.
证：构造函数，则在上连续，在内可导，
且，由罗尔中值定理知：，使
即：，而，故.
2. 设，证明：，使得.
证：将上等式变形得：
作辅助函数，则在上连续，在内可导，
由拉格朗日定理得：
，
即 ，
即： .
3. 设在内有二阶导数，且，有证明：在 内至少存在一点，使得：.
证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得
又，故， 于是在上满足罗尔定理条件，故存在， 使得：，
2、而，即证
4. 设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：
(1)在(0,1)内存在，使得．
(2) 在(0,1)内存在两个不同的点，
【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【证明】 （I） 令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.
（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点，使得，
于是，由问题（1）的结论有
5. 设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上
3、存在使得
.
【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明.辅助函数可如下得到
【证明】令，．在[0,a]上连续，且
当时，取，即有；
当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．
6. 若在上可导，且当时有，且，证明：在 内有且仅有一个点使得
证明：存在性
构造辅助函数
则在上连续，且有，，
由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：
唯一性：（反证法）
假设有两个点，且，使得
在上连续且可导，且
在上满足Rolle定理条件
必存在一点，使得：
即：，这与已知中矛盾
4、 假设不成立，即：在内仅有一个根，
综上所述：在内有且仅有一个点，使得
7. 设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1.试证至少存在一个(0，1)，使=1.
分析：=1=1=x=0 令 ()=
证明： 令 F()=
()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，
(1)=
()=
由介值定理可知，一个(，1)，使
()=0 又 (0)=0=0
对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使
=0 即 =1
8. 设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使.
证
5、 由拉格朗日中值定理知，
9. 设在上连续,内可导
证明: 使得
(1)
证: (用乘于(1)式两端,知)(1)式等价于
(2)
为证此式,只要取取和在上分别应用Cauchy中值定理,则知
其中.
10. 已知函数在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，，证明存在，使
解：
6、利用柯西中值定理
而 则
（后面略）
11. 设在时连续，，当时，，则在内有唯一的实根
解：因为，则在上单调增加
（中值定理）
而故在内有唯一的实根
12. 试问如下推论过程是否正确.对函数在上应用拉格朗日中值定理得：
即：
因，故当时，，由
得：，即
解：我们已经知道，不存在，故以上推理过程错误.
首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由和区间的
端点而定的，具体地说，与有关系，是依赖于的，当时，不
一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使成
7、
立，而中要求是连续地趋于零.故由推不出
13. 证明：成立.
证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，
由拉格朗日定理知： 即：，因在内单调递减，故在内单调递增，故即：
即：.
注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适的函数及相应的区间，然后验证条件，利用定理得
，再根据在内符号或单调
证明不等式.
14. 证明：当时，.
证明：作辅助函数
则
故在上单调递减，又因，在上连续，
故 =0，即：，即：.
注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当时，
常用辅助函数，则将问题转化证，然后在上
讨论的单调性，进而完成证明.
15. 证明：若二阶可导，且，，则在
内单调递增.
证明：因，要证单调递增，只需证，
即证.
设，则，因为
，，故是单调递增函数，而，因此，即：，
即：，即当时单调递增.
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