勾股定理专题(附答案-全面、).doc

初中数学 第9页
勾股定理
一、探索勾股定理
【知识点1】勾股定理
定理内容：在RT△中，
勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角
典型题型
1、对勾股定理的理解
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ）
A、c²- a²=b² B、c²- b²=a²
C、a²- c²=b² D、 a²+b²= c²
（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足α2-6α+9+b-4=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
3、利用勾股定理求面积
（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为　　　　 。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=　 　 　 ,y=　 　　 。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
（9）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证
推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）
拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。
（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。
问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：

3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？

（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？

【基础检测】
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）
A.5 B.12 C.13 D.18
2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则Rt△ABC的面积为（　　）
A . 24cm2　B. 36cm2　C. 48cm2　D. 60cm2
3、若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a = 5，b=12，则c = ；
（2）若a =6，c =10，则b = ；
（3）若a∶b=3∶4，c =10，则a= ，b= 。
4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　。（不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。

6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？

【培优突破】
1折叠问题
（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）
A、4cm B、5cm
C、6cm D、10cm
（2） 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求线段EC的值

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题
（3）如图，为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m，BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）
（4）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为（ ）
A、25 B、7 C、25或7 D、不能确定
（5）已知3, 4，a是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则的值是多少？

（6）在直角△ABC中，AB=15， AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为多少？

4、利用方程解题
（7）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC的长.

（8）如图，已知△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

【培优训练】
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A、365 B、1225 C、94 D、334
2．若三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中，成立的是（　　）

A．
a2+b2=c2
B．
a2=2c2
C．
c2=2a2
D．
c2=2b2
3． 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（　　）
A、 5 B、6
C、 7 D、8

4．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　）
A、 1 B、
C、 D、2

6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（　　）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（　　）
A、 10 B、5
C、 D、
8．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（　　）
A、
B、
C、 D、
9．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（　　）m

A．
30
B．
40
C．
50
D．
70
10．如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为（　　）
A、18 B、32
C、28 D、24
11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（　　）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=　_____　cm．

13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是　_________　．

14、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．
求线段EF的长。

二、勾股定理的逆定理
【知识点3】勾股定理的逆定理
（1）如果△的三边α，b, c 满足关系满足 ，则该△为直角三角形 。
（2）△的三边α，b, c，假设c为最长边
①a2+b2>c2，则该△为 三角形
②a2+b2
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（4）若三角形的三边之比为 22：12：1，则这个三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形
（5） 已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2-b2）（a2+b2-c2）=0则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
（6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A． 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
（7）若△ABC的三边长分别长a,b,c，且满足 a2+b2+c2+200=12α+16b+20c , 试判断△ABC的形状。

（8）△ABC的两边分别为5, 12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。

（9）求：
①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角形的最大内角是 度。
②已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为 。

【知识点4】勾股数
（1）勾股数是正整数
（2）满足的关系条件a2+b2=c2
（3）勾股数的n倍（n≠0），仍然满足a2+b2=c2
（4）常见勾股数

三、勾股定理的应用
1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）
（1）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        ．

（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

（3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

2、航海问题
（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里

（2）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

（3）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km.
①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？
②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

3、网格问题
（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）如图2，正方形网格中的 △ABC， 若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.、直角三角形 B、锐角三角形
C、钝角三角形 D、以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
A． 25
B. 12.5
C. 9
D. 8.5

（4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

4、折叠问题
（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）
A. B.
C. D.

（2）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

（3）如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

（4）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F。
①试说明：AF=FC；
②如果AB=3，BC=4，求AF的长

（5）如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

（6）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，
求证：DE：DM：EM=3：4：5

勾股定理 参考答案
一、探索勾股定理
（1）C （2）D
（3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6或
（4）根据非负数的性质，b=4和，解得a=3，根据勾股定理，斜边=5
（5）这类型题目（分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）S1=S2+S3，S3=9π
（6）25 （7）10， 12 （8）C，斜边AB=10
（9）4，根据全等三角形和勾股定理，S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=1+3=4
（10）s=（a+b）2=4×12ab+c2，
结论： a2+b2=c2
（11）S=12a+ba+b=2×12ab+c2
结论： a2+b2=c2
（12）h=9+92+122=9+15=24 m
（13）10 m
【基础检测】
1、B
2、A,解：(a+b)2=a2+b2+2ab,解得：12ab=24
3、（1）13， （2）8， （3）6, 8
4、72π
5、12,16解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5，三边分别为3x, 4x, 5x，5x=20
6、作如下辅助图：BD=CE=10，AB=8，
BC=2，AC=6
根据勾股定理：AD=6,
AE=8
DE=AE-AD=8-6=2 m

【培优突破】
（1）B
（2）3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理
（3）12 m
（4）C，如右图

（5）25或7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。
（6）25 ，AB一定是直角边，想想：BC是否一定是斜边呢？BC边上的高为12，不是15，所以BC一定是斜边
（7）12, 解：设DC=y，根据勾股定理有：
AC2=AB2-(BD+y)2=AD2-y2 ,即
202-(7+y)2=152-y2 解得：y=9
AC=12
（8）7, 解：作AE⊥BC与E，设BD=X
则AE=12
DE=16-x
DC=32-x
如图，根据勾股定理有：

AD2=AE2+DE2=DC2-AC2 即
AD2=122+（16-x）2=(32-x)2-202
解得：x = 7

【培优训练】
1、A，三角形的面积计算
2、B
3、B,
4、A，
5、C
6、D，如右图，BC的长21或9
7、C 8、A 9、C 10、C
11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明
12、4 13、5
14、连接AD， 则△BDE≌△ADF， 则△ADE≌△CDF，则AE=CF=5，AF=BE=12，∴EF=13

二、勾股定理的逆定理
典型题答案
（1）D （2）C （3） D （4）C
（5）C （6）C
（7）直角三角形
解：a2+b2+c2+200=12α+16b+20c
（a2-12α+36）+（b2-16b+64）+c2-20c+100=0
（α-6）2+（b-8）2+(c-10)2=0
所以：a=6, b=8, c=10
（8）直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有a+b+c=5+12+c=17+c，根据条件有：
17+c是3的倍数c为奇数12-5＜c＜12+5（三边关系）
解得：c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为Rt△
（9） ①90°，②30°

三、勾股定理的应用
1、与图形有关的计算
（1） 2+23 （2） 5 （3）5
（4）设：正方形的边长为a
方案一：S=3a
方案二：S=3a
方案三：S=22a
方案四：S=(1+3)a ,分析： FH=36a ， BF=33，EF=a-33 ,
所以：方案四最节省电线

2、航海问题
（1）30 （2）CD=63 ，无暗礁风险
（3）①台风中心经过16h从B点移动到D点
②14h内撤离才可脱离危险

3、网格问题
（1）D（2）A （3）B （4）如图：不唯一
4、折叠问题
（1）C （2）8
（3）DE=X,则在直角△EFC中：FG=1，EF=X, EC=5-X，
有：x2=12+(5-x)c2
解得：x=135, S△AED=16.9

（4）①提示：角平分线+平行线，构造等腰模型
②设AF=X，则x2=(4-x)2+32,解得：x=25/8
（5）30
（6）证明提示： 设：DM=X, DE=y，则：正方形边长为2x，AE=2x—y，满足：x2+y2=(2x-y)2,解得：3x=4y.， 则可设：y=3k，x=4x，则正方形变成为8k，则AE=5k，所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,
即：DE:DM:EM=3:4:5