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第2103讲 根式的恒等变形
一、知识和方法要点
l 表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。
l 二次根式具有以下基本性质
1）（）；
2）；
3）（）；
4）（，）；
5）（，）；
6）（）。
l 根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。
l 化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：
1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质；
2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数；
3）被开方数（式）不含有分母。

二、典型题例选讲
例1 化简：。
（复合根式化简；配方法）
【分析】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。
【解答】 化简如下
。
【评注】 配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。
例2 化简：。
（复合根式化简；平方法）
【分析】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。
【解答】 因为
，
。
两式相加得 。
所以，。
【评注】 为了书写简洁，平方运算在根号下进行。
例3 化简：。
（复合根式化简；方程法）
【分析】 如果设，两边平方可得关于x的方程，解这个方程就可能求出x的值。
【解答】 设，两边平方，得
，
于是 ，
即x满足方程 ，
解方程得 。
所以，。
【评注】 本题还涉及到是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。
例4 设y是偶数，最简根式是同次根式，求y的值。
（根式概念；分类讨论）
【分析】 首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得y的范围，然后讨论求得满足要求的y的值。
【解答】 由同次根式的意义，得，知，于是给定根式为，它们为偶次根式，于是，推得。
1）当时，两个根式为，其中不是最简根式；
2）当时，两个根式为，其中不是最简根式；
3）当时，两个根式为，其中不是最简根式；
4）当时，两个根式为，它们是最简根式，符合题意；
所以，所求的。
【评注】 本题考察同次根式、最简根式等基本概念。
例5 已知，化简：。
根式化简；配方法）
【分析】 这是一个字母根式的化简问题。观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号等于这个数绝对值，然后根据已知给出的x的范围打开绝对值解决问题。
【解答】 化简如下
。
【评注】 永远要记住平方再开根号等于绝对值。
例6 设a，x，y是两两不同的实数，且，求的值。
（根式求值；隐含条件）
【分析】 考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出x，y的值，就可以代入欲求值代数式进行简单求值。
【解答】 因为 知，
知，
由此得 。
于是 。
所以，。
【评注】 从偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。
例7 设，且，化简：。
（根式化简；分式性质）
【分析】 观察欲化简根式的特点，注意到都是正数，且互为倒数，采用将此根式的分子、分母同乘上即可一次性去掉根号解决问题。
【解答】 化简如下

【评注】 采用分母有理化解题将比较烦琐。
例8 已知，且，化简：。
（根式化简；分式性质）
【分析】 观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简，这时问题就简单化了。
解：由得，即，所以

【评注】 要对对a，b进行讨论。
例9 设a，b，c，x，y，z是非零实数，且，求的值。
（根式求值；配方法）
【分析】 观察所给条件式的特点，可以通过配方法，得到，即，由此简单求值。
【解答】 由，得
，
配方得 ，
于是 ，
即 。
所以，。
【评注】 巧妙利用条件式进行配方，妙！
例10 设，且，求的值。
（根式求值；因式分解）
【分析】 观察欲求值式的特点，只须从条件式中求出即可，由此将条件式分解因式，得到解决问题。
【解答】 由条件式得 ，
分解因式得 ，
因为，故 ，
即 。
所以，。
例11 化简：。
（根式化简；配方法）
【分析】 观察欲化简的根式，可以分解因式，这样就可以写成两个根式的乘积，再采用配方法进行化简。
【解答】 因为
，
所以

【评注】 由于的判别式都小于零，有。
例12 设，且，化简：。
（根式化简；提高题）
【分析】 本题欲化简根式比较复杂，根据欲化简根式的特点，可以围绕着两个简单根式进行恒等变形达到化简的目的。
【解答】 化简如下

【评注】 一边化简一边观察，寻找下一步的最佳运算方向。
例13 已知，求的值。
（根式求值；提高题）
【分析】 由第一个条件式，连比设k，则，下面只须解决求的值，将x，y，z表示为k的表达式，代入第二个条件式即可解决问题。
【解答】 令，则 。
又 ，

代入得 ，
解之得 。
所以，。
【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。
例14 已知，求的值。
（根式求值；提高题）
【分析】 两边同乘以共轭根式，将已知式化简，从中可解出，再将欲求值式因式分解，采用整体代入法解决问题。
【解答】 将条件式两边乘，得
，
同理，将条件式两边乘，得
，
两式相加得 。
所以，。
【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。

三、同步练习题
1. 已知，那么化简的结果是（ ）。
A. 0 B. 2a C. -2a D. 不能确定
2. 已知a，b，x，y都是实数，且满足等式，那么 。
（2005年上海市初中数学竞赛试题）
3. 当时，求代数式的值。

4. 计算：。
。
5. 设，计算：。

6. 设，且，求的值。
（根式求值）
7. 设，且
。
求的值。
（根式求值）
6