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完整版)导体棒在磁场中运动问题(精)
导体棒在磁场中运动问题
【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。往往一道试题包含多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。
1．通电导体棒在磁场中运动：通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断,大小可运用公式F = BILsinθ来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和.由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡.
〖例1〗如图所示在倾角为300的光滑斜面上垂直放置一根长为L,质量为m，的通电直导体棒,棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I，以水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xoy平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B。
⑴ 若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。
y

θ
o x
⑵ 若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度B的最小值。
⑶ 试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。

b c

a
d
〖拓展1〗物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。如图所示的就是著名的电磁旋转实验。它的现象是:如果载流导线附近只有磁铁的一个极，磁铁就会围绕导线旋转;反之，载流导线也会围绕单独的某一磁极旋转，这一装置实际上就是最早的电动机。图中的a是可动磁铁（上端为N极)，b是固定导线，c是可动导线，d是固定磁铁（上端为N极），图中黑色部分表示汞,下部接在电源上，则从上向下俯视时a、c的旋转情况是（ ）
A．a顺时针，c顺时针 B．a逆时针，c逆时针
C．a逆时针，c顺时针 D．a顺时针，c逆时针
I F B

I E
〖例2〗电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如右图所示，利用这种装置可以把质量为2。0g的弹体（包括金属杆EF的质量)加速到6km/s，若这种装置的轨道宽为2m，长为100m，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？

〖拓展2〗质量为m，长为L的金属棒MN，通过柔软金属丝挂于a、b两点，ab点间电压为U，电容为C的电容器与a、b相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场B中，接通S,电容器瞬间放电后又断开S,试求MN能摆起的最大高度是多少？

2．导体棒在磁场中运动产生感应电动势：导体棒在磁场中运动时,通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律E = Blvsinθ,方向满足右手定则.由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况。
【平动切割】处在磁场中的导体棒由于受到外力的作用而沿某一方向运动，外力必然要克服安培力做功，将其它形式的能转化成电能。
〖例3〗如图所示两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l = 0。2m，在导轨的一端接有阻值为R = 0。5Ω的电阻，在x ≥ 0处有一与水平面垂直的均匀磁场,磁感应强度为B = 0。5T。一质量为m = 0。1kg的金属直杆垂直放在导轨上，并以v0 = 2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一个垂直于杆的水平外力F的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为a = 2m/s2，方向与初速度方向相反.设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求:
⑴ 电流为零时金属棒所处的位置?
⑵ 电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向？
⑶ 保持其它条件不变,而初速v0取不同的值,求开始时F的方向与初速v0取值的关系？

〖拓展3〗近期《科学》中文版的文章介绍了一种新技术——航天飞缆，航天飞缆是用柔性缆索将两个物体连接起来在太空飞行的系统。飞缆系统在太空飞行中能为自身提供电能和拖曳力，它还能清理“太空垃圾"等。从1967年至1999年的17次试验中，飞缆系统试验已获得部分成功。该系统的工作原理可用物理学的基本定律来解释。图为飞缆系统的简化模型示意图，图中两个物体P、Q的质量分别为 mp、mQ，柔性金属缆索长为 l,外有绝缘层,系统在近地轨道作圆周运动，运动过程中 Q 距地面高为 h。设缆索总保持指向地心,P 的速度为 vp。已知地球半径为 R，地面的重力加速度为 g.
⑴ 飞缆系统在地磁场中运动,地磁场在缆索所在处的磁感应强度大小为 B,方向垂直于纸面向外。设缆索中无电流，问缆索 P、Q 哪端电势高？此问中可认为缆索各处的速度均近似等于 vp，求 P、Q 两端的电势差?
⑵ 设缆索的电阻为 R1，如果缆索两端物体P、Q通过周围的电离层放电形成电流，相应的电阻为R2,求缆索所受的安培力多大？
⑶ 求缆索对Q的拉力FQ？

【导体棒的渐变运动】导体棒在切割磁感线运动时，由于有能量的转化,其运动速度可能会发生相应的变化,致使其切割时产生的感应电动势也随之而变，此时由于安培力发生变化使物体处于一种渐变运动状态。
〖例4〗如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为l,磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直,一质量为m阻值为r的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个定值电阻R,不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况?

〖拓展4〗如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为l，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为m的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个电容为C的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为h处无初速释放,求棒落地的时间t是多少？

【双导体棒的切割运动】对于双导体棒运动的问题,通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中的一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线在该闭合电路中形成一定的感应电流，另一根导体棒在磁场中通电时就在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势,对原来电流的变化起阻碍作用。
〖例5〗两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R,回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B,设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度υ0，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
⑴ 在运动中产生的焦耳热量是多少。
⑵ 当ab棒的速度变为初速度的 3/4时，cd棒的加速度是多少？

〖拓展5〗图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨,处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面)向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2.x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆,质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力.已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动,求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

【导体棒转动切割】导体棒在磁场中转动切割磁感线时,由于各点切割的线速度不同，不能直接用E = Blvsinθ来计算，然导体棒绕定轴转动时依v = rω可知各点的线速度随半径按线性规律变化，因此通常用中点的线速度来替代，即v = ωl/2，则E = ________。
〖例6〗如图所示，半径为l粗细均匀的金属圆环，其阻值为R处在磁感应强度为B的匀强磁场中，另有一长度为l，电阻为 R/4的金属棒OA可绕O轴在磁场中以角速度ω逆时针匀速转动，转动过程中金属棒的A端与金属圆环接触良好,一阻值为 R/2的定值电阻分别与杆的O端和金属圆环边缘C连接，求电路中总电流的变化范围?

〖拓展2〗金属导轨MN和PQ平行，间距为l,导轨左端接有一定值电阻R，整个装置处在方向垂直于纸面向上的匀强磁场B中，另有一长为2l的金属AC垂直于导轨，A端始终与PQ导轨接触，棒以A为轴紧靠着MN导轨沿顺时针方向转动900,若除R以外的其余电阻均不计,试求此过程中通过电阻R的电量是多少？

3．练习与训练
1．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为l.导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路,如图所示.两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触,求:
⑴ 在运动中产生的焦耳热最多是多少?
⑵ 当ab棒的速度变为初速度的 3/4时，cd棒的加速度是多少？

2．如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：
⑴ ab、cd棒的最终速度;
⑵ 全过程中感应电流产生的焦耳热。

3．两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B = 0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 l = 0。20 m，两根质量均为m = 0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R = 0.50Ω。在 t = 0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0。20N的恒力 F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过 t = 5。0 s，金属杆甲的加速度为 a = 1。37 m/s2，求此时两金属杆的速度各为多少？

4．如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s.求：
⑴ 此时b的速度大小是多少？
⑵ 若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。

5．
类型
水平导轨,无水平外力
不等间距导轨，无水平外力
水平导轨，受水平外力
竖直导轨
终态分析
两导体棒以相同的速度做匀速运动
两导体棒以不同的速度做匀速运动
两导体棒以不同的速度做加速度相同的匀加速运动
两导体棒以相同的速度做加速度相同的匀加速运动
速度图象

解题策略
动量守恒定律，能量守恒定律及电磁学、运动学知识
动量定理，能量守恒定律及电磁学、运动学知识
动量定理，能量守恒定律及电磁学、运动学知识

动量定理，能量守恒定律及电磁学、运动学知识

参考答案：
〖例1〗⑴欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用下平衡。即：tan300 = BIL/mg，故磁场方向竖直向上，大小为
y N

G θ
o x
⑵ 磁感应强度B最小时，安培力和重力的一个分力相平衡,满足mgsin300=B1IL,故磁场方向垂直斜面向上，大小为B1 = mg/（2IL)
⑶ 棒在重力、安培力和支持力作用下平衡,而重力G和弹力N的方向如图所示，欲使导体棒在斜面上保持静止，所施磁场力的方向应在图中两虚线所夹区域才能使其所受合外力为零,即B与x轴正方间的夹角为00 ≤ α 〈1500。
〖拓展1〗由电源的正负极可知对b而言电流竖直向上，对c是向下的,于是a在b的磁场中受安培力作用逆时针转,c在d的磁场中受安培力的作用而顺时针转，故应选C答案.
〖例2〗通电导体棒在磁场中受安培力的作用而对弹体加速,依功能关系原理可得BILS = mv2/2,又功率满足P=FV，当速度最大时其功率也最大,即Pm=BILVm，代入数值可得B=18T和Pm=2。16×106W。
〖拓展2〗电容器C对导体棒MN放电，由于MN处在磁场中必然在安培力的作用下开始摆动。设放电时间为t，导体棒能摆起的最大高度为h，则有:BILt = mv和mv2/2 = mgh，又电容器所容纳的电荷量为Q = CU = It，联立解得h = B2C2U2L2/(2m2g)。
〖例3〗①导体棒在外力作用下切割磁感应线，产生电动势E =Blv，由闭合电路欧姆定律得 I = E/R，故当I = 0时v = 0,又棒做匀变速直线运动因此满足 x = v02/2a，于是可解得x = 1m。
② 因棒匀减速运动，故初速最大，此时电流在最大Im = Blvm/R，因此安培力为F安= BIml/2，代入数据得F安 = 0.02N。又根据运动的对称性可知，电流为最大值的一半时棒可能向左运动，也有可能向右运动。当棒向右运动时F + F安 = ma，得F = 0。18N,方向与x轴相反；当棒向左运动时F – F安 = ma，得F = 0。22N，方向与x轴相反。
③ 开始时F安 = BIml = B2l2v0/R，且F+ F安=ma，故F = ma – B2l2v0/R，因此当 v0 < maR/B2l2 = 10m/s时,F > 0方向与x轴相反；当v0 〉 10m/s时,F < 0方向与x轴相同；当v0 = 10m/s时，F = 0。
〖拓展3〗①飞缆系统在地磁场中运动切割磁感应线时产生的电动势E = Blv0，由右手定则可知P点电势高，于是P、Q两点电势差为UPQ = BlvP。
② 又缆索通过周围的电离层放电形成电流，依闭合电路欧姆定律得I = E/(R1 + R2) = BlvP/（R1 + R2)；安培力大小为FA = BIl = B2l2vp/ （R1 + R2），且它所受安培力的方向与缆索垂直与其速度方向相反。
③ 设Q的速度设为vQ，由P、Q绕地做圆周运动角速度相同得vp/vQ = (R+h+l)/(R+h)，
又Q受地球引力和缆索拉力FQ作用提供其圆周运动的向心力，故满足GMmQ/(R+h）2 – FQ = mQvQ2/ (R+h)，联立黄金代换式解得
〖例4〗松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动,而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在U型框架中将形成逆时针方向的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用,因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直面内做变加速运动。
设经t时间导体棒达到速度v,此时导体棒的加速度为a，则由法拉第电磁感应定律得E=Blv，依闭合电路欧姆定律得I = E/（R+r），于是导体棒所受的安培力为F=BIl，依牛顿第二定律可得mg – BIl = ma联立诸式可得a = g – B2l2v/m。观察a随v变化的关系式不难发现：导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速度为0时，棒的加速度达最大值g,当棒的加速度为0时，棒有最大速度vm = mg/B2l2，整个运动过程中导体棒的v – t曲线如图所示。
〖拓展4〗棒在磁场中下落时,必然要切割磁感应线产生一定的感应电动势，又由于电容器可以容纳电荷，因此在回路中就要形成一个充电电流,使棒受到一个竖直向上的安培力的作用。设在时间Δt内，棒的速度增加了Δv，棒的平均加速度为a，则ΔE=BlΔv，ΔQ=CΔE，依电流强度的定义可得i =ΔQ/Δt = CBlΔv/Δt = CBla，于是导体棒所受的安培力为F = Bil = B2l2Ca,由牛顿第二定律可得mg – F = ma,整理上述各式得a = mg/(m + B2l2C），由a的表达式不难发现棒的下落过程是一种匀加速直线运动,于是
〖例5〗（1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒mv0＝2 mv，而且系统损失的动能全部用于生热,依能的转化和守恒律得该过程中产生的总热量q = mv02/2 – （2mv2）/2，即 Q = mv02/4。
（2）设ab速度3v0/4时,cd棒的速度为v′,则由动量守恒可知m v0 = m(v0/4）＋m v′，此时回路中的感应电动势为E = Bl（3v0/4 - v′ )，感应电流为I = E/2R，此时cd棒所受的安培力 F = BIl 于是cd棒的加速度为a = F/m 联立可得a = B2l2v0/4mR。
〖拓展5〗设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少.由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小为E = B(l2–l1)v，回路中的电流 I = E/R且电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为F1 = Bl1I方向向上，作用于杆x2y2的安培力F1 = Bl2I 方向向下。当杆匀速运动时由牛顿第二定律得F – m1g – m2g + F1 – F2 = 0，解得和,于是重力的功率的大小为P = (m1 + m2)gv,电阻上的热功率为Q=I2R.联立解得 和。

M C D N
B
R
P A Q
〖例6〗导体棒OA在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势E = Bl(ωl/2）通过金属圆环对外电阻供电，且电流在外电路中顺时针循环。当棒转到C点时，金属圆环被短路，外电阻最小Rmin = R/2，此时加路中的电流最大;当棒转到CO的线长线上时,金属圆环被一分为二，外电阻最大Rmax = 3R/4，此时外电路中的电流最小，依全电路欧姆定律可得电路中总电流的变化范围是。
〖拓展6〗导体棒在磁场中绕点A沿顺时针方向转动900的过程中,其有效切割长度l在不断的变化，将产生一个变化的电流对电阻R供电。由法拉第电磁感应定律得电动势为E=BlV，在闭路形成的电流为。当导线转到图中的D点时将使电路断开，虽切割磁感应线但不对R供电。
设棒由AC转到AB所用的时间为t通过R的电量为Q ，则有一般关系式，代入解得
【练习与训练】
1．ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。ab棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，cd棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要ab棒的速度大于cd棒的速度，回路总有感应电流，ab棒继续减速,cd棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变,不产生感应电流,两棒以相同的速度v做匀速运动。
（1）从开始到两棒达到相同速度v的过程中，两棒的总动量守恒，有mv0 = 2mv，根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热Q = mv02/2 – （2m)v2/2 = mv02/4。
（2）设ab棒的速度变为3v0/4时,cd棒的速度为v′，则由动量守恒可知mv0 = m（3v0/4） + m v′ 得v′= v0/4,此时cd棒所受的安培力F = BIl = B2l2v0/4R。由牛顿第二定律可得：cd棒的加速度a = F/m = B2l2v0/4mR。
2．ab下滑进入磁场后切割磁感线，在abcd电路中产生感应电流，ab、cd各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动,电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，ab、cd不再受磁场力作用,各自以不同的速度匀速滑动.
（1)ab自由下滑，机械能守恒：mgh = mv2/2 ① 由于ab、cd串联在同一电路中,任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度lab = 3lcd，故磁场力为：Fab = 3Fcd ②
在磁场力作用下，ab、cd各作变速运动，产生的感应电动势方向相反,当Eab = Ecd时，电路中感应电流为零（I= 0），安培力为零，ab、cd运动趋于稳定，此时有：Blabvab = Blcdvcd 所以 vab = vcd/3  ③ ab、cd受安培力作用,动量均发生变化，由动量定理得：FabΔt = mv - mvab  ④ FcdΔt = mvcd   ⑤联立以上各式解得：
,
（2）根据系统的总能量守恒可得：

3．设任一时刻 t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短时间Δt,杆甲移动距离v1Δt，杆乙移动距离v2Δt，回路面积改变ΔS = [（x – v2Δt)+ v1Δt] – lx = (v1 – v2)lΔt；由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势：E = BΔS /Δt；回路中的电流：i = E/2R ；杆甲的运动方程：F – Bil = ma，由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以两杆的动量变化(t = 0时为0）等于外力F的冲量： Ft = mv1 + mv2 联立以上各式解得

代入数据得v1 = 8.15m/s、v2 = 1.85m/s.
4．（1） 当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放a棒后，经过时间t,分别以a和b为研究对象，根据动量定理，则有：(mg + F)t = mva、(mg — F)t = mvb – mv0 代入数据可解得：vb = 18m/s.
（2）在a、b棒向下运动的过程中,a棒产生的加速度a1 = g + F/m，b棒产生的加速度a2 = g – F/m。当a棒的速度与b棒接近时，闭合回路中的Δφ逐渐减小，感应电流也逐渐减小,则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。
5．