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完整版)四面体的性质
四面体的性质
不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱,四个面.
研究四面体的有关性质可以加深对四面体,空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力。
性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线。如图1中AB和CD，BC和AD，AC和BD都是异面直线。
性质2：四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直.
证明：如图2的四面体中，设顶点A在面BCD内的射影H是的垂心。。连结BH，CH，DH,则，,.根据三垂线定理得，，.
性质3：四面体中，若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也互相垂直。
证明：设四面体中,，，过A作，H为垂足（如图2）.连结BH，CH，则BH为AB在平面BCD内的射影，根据三垂线定理的逆定理,；同理，所以H是的垂心。由性质2知.
根据性质2，3立即可以得到：
性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心。
利用全等三角形的判定和性质,可以证明下面两条性质：
性质5：四面体中，若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等。反之也真。
特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点。
性质6：四面体中，若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心,则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等.
性质7:四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形。
证明:如图3,设，，，，不妨设,则，，。显然BC是的最大边，是中最大内角。根据余弦定理,有

。
所以，是锐角三角形。
性质8:四面体中,若交于同一顶点的三条棱分别两两垂直,则这顶点所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和.
证明：设四面体中，，，,且，,（如图4），则，，。
在中作，则。
∵，，∴。
∴。
在中，
。
∴

.
例题：如图5，平面和四面体的对棱AC，BD都平行,且分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G,H,问四边形EFGH在什么位置时面积最大。
解:∵,
∴
同理 ，.
∴四边形EFGH是平行四边形.
不妨设是小于或等于的角，则是异面直线BD，AC所成的角。
是已知四面体，，，BD和AC成角(这里，，均为定值）.设，则。
∴，，
。
当时，最大，这时E，F，G，H分别是所在棱的中点.
练习
1、在四面体中,如果，，.求证：。
2、在四面体中，,，。求证：。
3、在四面体中,，，求二面角的大小.
4、在四面体中，交于P点的三条棱两两垂直,P在的射影是H.求证：的面积是的面积和的面积的比例中项。
5、上题中,设，，，。求证:.
6、中，,，,，且，动点K在线段AB上移动。问K 在什么位置时，面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少?
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