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第五节　合情推理与演绎推理

1．合情推理
(1)归纳推理.
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理.
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
(3)“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”这是三段论推理．(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)
A．归纳推理　　　　　　　B．类比推理
C．演绎推理 D．以上都不是
解析：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中正方体的体积最大”是类比推理．选B.
答案：B
3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
解析：“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．
答案：A
4．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
答案：4n－1
5．(2015·课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B城市，因此甲一定去过A城市和C城市．又乙没去过C城市，所以三人共同去过的城市必为A，故乙去过的城市就是A.
答案：A城市

一个过程
合情推理的过程概括为
→→
→
一种模式
演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提．如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．
三个防范
1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．

一、选择题
1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)
A．28　　　　B．32　　　　C．33　　　　D．27
解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9.归纳推理则x－20＝12，因此x＝32.
答案：B
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　)
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
答案：B
3．(2016·开封模拟)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案：C
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由向量的数量积的定义及运算律知，①②正确，③④⑤⑥错误．故选B.
答案：B
5．(2014·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
解析：用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．
答案：B
二、填空题
6．(2016·长春模拟)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝______．
解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
答案：nn
7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
8．观察等式：＝，＝1，＝.
照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．
解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan＝，
tan＝1，tan＝，
故对于一般的角α，β的等式为＝tan.
答案：＝tan
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.