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圆与相似的综合运用
一、 考标要求：

（1）灵活掌握与圆有关的概念，定理，性质和判定。
(2）充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。
（3）综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．
（4）考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力,以及创新意识和实践的能力．

二、典例精析

例1．如图，点在上，，与相交于点，，延长到点，使,连结．
（1）证明；
（2）试判断直线与的位置关系,并给出证明．

y
B
T
O
x
A
C
F
M
N
P
例2．如图，已知直线y = －m (x－4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆,圆心为C. 过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合)，过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P。连结CN、CM。
(1）证明：∠MCN=90°;
（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；
（3)若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积.

【反馈练习】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E。
（1)求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.

2．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点，连结．
C
A
O
B
E
D

（1）求证:;
（2）若，求的长．

3． （本题满分12分）如图,AB是⊙O的直径,∠BAC = 60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

4、如图，在平面直角坐标系中,是轴正半轴上一点，与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是的切线，为切点，在第四象限．
（1）求的直径．
(2)求直线的解析式．

图1

5．如图12－1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．
（1）点的移动过程中,是否能成为的等腰三角形?若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．
（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时,若以为圆心的圆与相切（如图12－2)，试探究直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
图12-2

图12-1

6．如图，是以为直径的⊙O上一点，于点，过点作⊙O的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：;
（2）求证：是⊙O的切线；
（3）若，且⊙O的半径长为，求和的长度．
O
D
G
C
A
E
F
B
P

1、解：（1）在和中，
，，．
又, ．
（2）直线与相切．
证明：连结．
，．
．所以是等腰三角形顶角的平分线．
．由，得．．
由知,．直线与相切．
【点评】．这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论.再次巩固了全等三角形，相似三角形，平行线的知识,得出直线与圆的位置关系．同时同学们在做题的过程中，要注意思维的逻辑性和书写的规范性．

2、解（1)证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径,
　　∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P
y
B
T
O
x
A
C
F
M
N
P

1
2
G
3
∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM 　　 ∵OM∥AN
∴∠ANM＋∠OMN =180°∴∠CMN＋∠CNM =∠OMN＋∠ANM
=（∠OMN＋∠ANM ）=90°， ∴∠CMN=90°　
（2)由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3 = 90 0，∴∠1 =∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN　　∴ = 　　　　
∵直线y=－m（x – 4)交x轴于点A，交y轴于点B,
∴A（4，0)， ∴AC =CO = 2∵ OM= x,AN = y, ∵ = ∴y = 　　　　
(3)∵ OM = 1,∴ AN =y = 4，此时S四边形ANMO = 10 ∵直线AB平分梯形ANMO的面积,
∴ △ANF的面积为5 过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN=5,∴FG=
∴点F的横坐标为4－ = ∵M（0,1），N(4，4） ∴直线MN的解析式为y= x＋1　∵F点在直线MN上, ∴ F点的纵坐标为y= ∴ F（,)　 ∵点F又在直线y=－m（x－4)上 ∴ =－m（－4) ∴m=
【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题．包含了相似的判定和性质，切线的性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、坐标与线段之间的巧妙转化．的确是一道覆盖面广，综合性强的妙题．
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