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解读07考纲 展谈基础能力
苏州市教育科学研究院 陈兆华

一、认识命题的指导思想
高考命题的指导思想，可用以下八个字概括：三基四能，一新二高．
（1)三基：即基础知识、基本技能和基本数学思想方法
对基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面又突出重点，试题中每种题型的起始部分均设有一定量的基础题，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例．
加强对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的考查，具体要求主要体现在通性通法的运用上．
分析2006年高考江苏卷，基础知识题占有较大比例，分值近100分：
选择题中的基础知识题有：第1题函数奇偶性、第2题圆的切线、第3题统计中的平均数与方差、第4题三角函数图象的伸缩与平移、第5题二项式定理的展开、第6题向量运算求轨迹、第7题集合、第8题不等式．（40分)
填空题中的基础知识题有:第11题三角函数中的正弦定理、第12题解几的线性规划、第13题排列(相同元素问题）、第14题三角恒等变形、第15题导数中的切线与数列、第16题解不等式．（30分)
解答题中的基础知识题有:第17题解析几何用其他有关问题等．(30分)
以上这些问题，主要就是考查了考生的三基．
（2)四能：思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力．
思维能力是数学能力的核心，其考查要求是:会观察、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会用简明准确的数学语言阐述自己的思想与观点．
运算能力是思维能力与运算技能的结合，其考查的要求是：对数字的计算、估算和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解以及分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等．
空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其考查要求是：会根据题设条件想象和画出图形，会将复杂图形分解为简单图形，能对图形进行组合、变形，能在基本图形中确定基本元素及相互位置关系．
分析问题和解决问题的能力是对数学能力的综合考查,要求考生对试题所提供的问题,通过阅读、理解，运用已有的知识和方法,尝试解决新问题．
06年高考卷在四大能力上都体现了较高要求．
思维能力要求以最后两题尤为突出；
运算能力体现在对整卷的运算量上，它是近几年高考中最大的一次，包括以上的部分基础知识题,很多题都有较大的运算量，如:小题中的第3、5、6、8、11、14、15、16题，大题中的所有解答题，都对考生的运算能力提出了前所未有的要求．尤其是第14、15、16题,有些题目已相当于上世纪八、九十年代高考卷中的解答题．如14小题，运算环节较多，要想得到正确答案，并非易事，若平时的训练不足,就会使学生产生心理准备不够，从而产生紧张情绪，因此扎实加强运算能力的培养是非常重要的，而这项工作是贯穿在平时的教与学的各个微小细节中的．
由于有2道解答题中有立体几何问题,加上图形的非常规性,给考生空间想象能力作出了非常高的要求．
而第9题、第10题具有较强的生活背景,又因为有些问题的综合性较强，因此，06高考在分析问题和解决问题的考查上也体现了较高要求．
（3）一新:即一个创新．注重创新,加强试题的开放性、探究性．
以所学数学知识为基础，对某些数学问题进行深入探讨，或从数学角度对某些实际问题进行探究，以体现研究性学习的要求．
每年一般在小题中的排列组合问题上“出新”，在大题上的概率问题上“出新”或其他应用问题上“出新”．
(4）二高：即两个高度．整体的高度和思维价值的高度
注重从整体的高度和思维价值的高度设计问题．注重学科的内在联系和知识的综合性，使考查达到必要的深度．
二、研究考试的内容要求
对知识的考查要求分三个层次:A级：了解；B级:理解和掌握；C级：灵活和综合运用．
（1）A级要求有13个．
（2)B级要求有71个．
（3）C级要求有14个：
“不等式”中有两个：“基本不等式”和“不等式的综合运用”；
“函数”中有两个：“函数的基本性质"和“函数的综合运用”；
“平面向量”中有一个：“平面向量的数量积”；
“三角函数”中有两个：“同角三角函数的关系式”和“两角和与差的正弦、余弦、正切”；
“数列"中有三个：“等差数列”、“等比数列”和“数列的综合运用”;
“解析几何"中有三个：“椭圆的标准方程和几何性质”、“双曲线的标准方程和几何性质”和“抛物线的标准方程和几何性质”；
“立体几何”中有一个：“直线和平面垂直的判定与性质”．
由于容易题、中等题、难题在试题中所占的比例大致为3︰5︰2,又上述三个层次中B级要求的知识点有71个，占总数的72%，因此重视中等题的复习与研究尤为重要．
三、基础问题的有效训练
高三下学期，各学校的高三数学复习逐步进入第二轮与第三轮（综合练习为主），其中第二轮的复习要定位成“高瞻远瞩巩固基础、立足思想注重方法"．
在第二轮复习中,建议用知识板块为主线，贯穿数学思想方法，并以部分数学思想方法为专题，再对一些重点基础问题作回顾与训练．
基础问题的再认识，要在高一、高二已学习、高三一轮已复习的基础上有更大的提高，即要站在一定的高度再次认识基础问题，而不是简单的、机械的重复练习，要有目的、有方向、有重点的回顾一些基础问题．使学生能从根本上认清问题的本质，能在轻松愉快、眼明心知的心境中得以解决．
1．画龙点睛,用“心”解题
对于第一轮复习中的重要基础问题，要抓住问题的要点,使学生“心领神会”．
例1 已知sin=，cos=，∈(，)，则m的取值范围是_________．
例2 (2005年)在△ABC中,O为中线AM上的一个动点，若AM = 2,则的最小值是___________ ．
例3 关于x的方程x2 - x + a = 0和x2 - x + b = 0 （a≠b）的四个根组成首项为的等差数列，则a + b的值是 （ )
A． B． C． D．
例4 等差数列｛an}，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的自然数n，都有，则=______．
例5 求下列函数的值域：
① y = 3sinα + 4cosα，αÎ［0，]；② y = 3sinα - 4cosα,αÎ［0,]．
例6 求下列函数的值域：
①y = 2x +；② y = 2x -．
例7 已知实数a，b,c满足：a + b + c = 3，a2 + b2 + c2 = ,则a的取值范围是_______ ．
例8 设sinα + sinβ =，则sinα - cos2β 的最大值为
A． B． C． D．
例9 正方形ABCD的所有顶点在平面α的同侧，点A，B，C到平面α的距离分别为3cm,4cm，7cm,则点D到平面α的距离为 　．
例10 有四张卡片，正反面分别为0和1，2和3,4和5,6和7，用它们拼成一个三位数，可拼成______个三位数．
2．抓住核心，注重算理
例11 已知a，b 〉 0，且ab - 2a - b = 1,求a + b的最小值．
例12 已知A（1，3)，B（-3,4),直线AB交直线l：2x - 5y + 6 = 0于点P，则P分的比为_____．
例13 已知O为△ABC所在平面内的一点，且满足OA2 + BC2 = OB2 + CA2 = OC2 + AB2 ，则O一定是△ABC的 ( ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
例14 （2000全国理）椭圆的焦点F1,F2,点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_________．
例15 已知平面α，β，γ两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为O，过O引一条射线OP，若OP与三条交线中的两条所成的角都是60°，则OP与第三条交线所成的角为 ( ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
例16 已知数列{ an ｝满足：a1 =1,2an+1an + 3an+1 + an + 2 = 0,(Ⅰ)求证：｛}是等差数列；（Ⅱ）求an．
例17 n2 （n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数都成等差数列，每一列的数都成等比数列，且所有公比相等．已知a24 = 1,a42 =，a43 =，求a11 + a22 + a33 + … + ann 的值．
3．利用特殊，化繁为简
例18 已知定义域、值域均为R的函数为奇函数，且函数y = f（x）存在反函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称,则= ．
例19 （2006年全国卷Ⅱ）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和,若，则= （ ）
A． B． C． D．
例20 将y = sin（2x+)的图象向右平移_________单位可得y = sin（2x-）的图象．
例21 已知A，B，C三点不共线，，，∈R，则++ = 0成立的充要条件是（ ）
A．|｜ = || = |｜ B．== C．++= 0 D．=== 0

例22 在△ABC中，化简a2（cos2B - cos2C） + b2 （cos2C - cos2A） + c2 (cos2A - cos2B） =________．

四、思想方法的宏观串联
由于数学思维是数学教育的核心，因此高考把数学思维的考查放在一个十分重要的位置．“多考点想的，少考点算的”，“全卷充满思辨性"，“证中有算,算中有证”，“加大对代数推理论证的考查”等命题指导思想足以说明高考对数学思维考查的重视程度(2007年教育部考试中心《高考数学测量理论与实践》）．
数学思想和方法可划分为三大类，它们是：数学思想方法，数学思维方法和数学方法．
其中数学思想方法：（1)函数与方程的思想；（2)数形结合的思想；（3）分类与整合的思想；（4）化归与转化的思想;（5)特殊与一般的思想；(6)有限与无限的思想;(7）或然与必然的思想．
数学思维方法，是指数学思维过程中运用的基本方法，主要包括：观察与实验的方法；比较与分类的方法,归纳与演绎的方法;分析与综合的方法，抽象与概括的方法，一般化与特殊化的方法等．
数学方法主要指配方法，换元法，待定系数法等一些具体方法．
1．小题不能大做
“在高考命题时，以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查，而选择题与填空题则鼓励考生积极思维，选择最佳思维方法,优化解答过程，减少解答时间，并以此指导中学数学加强思维方法的教学，提高考生的思维水平．” （2007年教育部考试中心《高考数学测量理论与实践》）．
例23 函数的值域是__．
例24 函数的值域为_________．
例25 两个等差数列：2,5，8,…,197和2，7，12,…，197中，相同的项共有__________ 项．
例26 已知数列{ an ｝满足：a1 = 1,a2 = 2,an+2 = an+1 - an (nÎN*），则=________．
例27 已知向量=（3,-2），∥，且｜| = 5,则向量=______．
例28 (2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴AB分成等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则｜ P1F ｜ + ｜ P2F | ｜ P3F ｜ + | P4F | + ｜ P5F ｜ + ｜ P6F ｜ +｜ P7F ｜ = _____．
2．大题先得小做
关于解答题，一般第一问难度并不大，要正确理解问题，作出初步分析,设计解题方案．
例29 (2000年全国）设函数 (a 〉 0)．
（Ⅰ）解不等式f （x）≤1；(Ⅱ)求a的取值范围，使函数f （x)在区间［0，+∞)上是单调函数．

例30 在△ABC中，AC = 4,BC = 2,∠C = 60°，CD为∠C的平分线，将图形沿CD折起，使二面角B-CD-A的大小为 120°．求:
（Ⅰ)折起后AD与BC所成的角；
（Ⅱ）折起后所得的线段AB的长度．

3．加强分析，寻找数学思想方法
平时的复习过程中，若善于加强解题前的分析，揭示可能用到的数学思想方法，解后再反思,是什么数学思想起到了关键作用，必会使复习工作成效更大．
例31 已知数列{ an ｝与数列｛ bn ｝满足：bn =(nÎN＊),
求证：数列｛ an }成等差数列的充要条件是数列{ bn}成等差数列．

例32 设数列{ an ｝的前n项和为Sn，已知 a1 = 1，a2 = 6，a3 = 11,
且= An + B，n = 1，2，3，…，其中A、B为常数．
（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ)证明数列｛ an }为等差数列；
（Ⅲ)证明不等式对任何正整数m、n都成立．
例33 (2006安徽）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
f（ax） = af(x）．
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时,设，讨论在内的单调性并求极值．
五、对07年高考的展望
1．关于函数问题
小题仍要以函数基本性质为重点,尤其是函数的值域、单调性及函数的对称性．难点为抽象函数的对称性问题．如
例34 （1）y = f （1+x) 与y = f （1-x）的图象关于_________对称．
(2）f (1+x) = f (1-x），则y = f (x）的图象关于_________对称．
（3)y = f 2+3x) 有对称轴为x =,则y = f （x） 有对称轴为_________．
大题要注意函数与数列、不等式的综合问题．如
例35 已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a,bÎR，都满足
．（Ⅰ)求f(0)，f（1）的值;（Ⅱ）判断f(x）的奇偶性,并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2） = 2，un = （nÎN*），求数列｛ un }的前n项和．
例36 已知函数．
(Ⅰ）当a＝4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
(Ⅱ）求a的取值范围，使得函数在R上恒为增函数;
（Ⅲ)已知a＝4，数列{ an ｝满足（n∈N*)．试探求的值，使得数列 { an }（n∈N*）成等差数列．

2．关于数列问题
数列问题的核心是等差数列与等比数列，尤以等差数列为重点，主要考查方向为：（1）数列的“单调性”；（2）等差数列;(3)等比数列；(4）“项”与“和”之间的关系；(5)递推关系式与通项公式．
主要数学思想有“函数与方程的思想"，主要思维方法有“特殊化与一般化的方法”．
小题以函数的对称思想、数列的“单调性”问题及等差、等比数列的基础知识为重点，如
例37 在数列{}中,最大的项的序号为___________．
例38 若数列{ an }满足则= ___________．
大题要关注“和”及递推关系式"的问题,要学会用“分类与整合的思想”，如
例39 已知正数数列{ an }的前n项的和Sn满足Sn = （n∈N*),求an．
例40 已知数列{ an }满足:a1 = 1，an+1 + an + 2n + 3 = 0,（Ⅰ）求an；（Ⅱ)求Sn．
3．关于三角函数问题
三角函数主要还是应用“两角和与差的三角函数"作出一些计算问题；三角函数的图象与性质问题；以及三角形中的有关问题．仍以中等题为主．
例41 （2006年天津卷）已知函数（a、b为常数，a≠0，xÎR）在处取得最小值,则函数是 (　　）
A．偶函数且它的图象关于点(π，0）对称 　 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点（π，0)对称
例42 已知x∈［0，]，则y = cos(- x) - cos(+ x） 的值域______________．
例43 在△ABC中，sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC，若AB = 3cm，AC = 4cm，求△ABC的面积．
例44 已知向量，，．
(Ⅰ)求的解析式和它的单调递增区间;
(Ⅱ）若函数在处取得最大值，且,求的值．
4．有关向量问题
注意它与三角函数、解析几何结合的问题，主要是数量积的运算，向量的坐标运算,向量的几何意义等．
例45 已知点为所在平面内一定点，点满足,当在变化时，动点的轨迹一定通过的
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
5．有关不等式问题
小题中常有基本不等式的有关问题，大题中若在最后两题中有不等式证明问题，常用放缩法，要求较高．
例46 已知a 〉 0,b 〉 0，且= 1，则y = a 的最大值为_____．
例47 已知x，y > 0，且，则x + y的最小值为_________ ．
解不等式中注意含绝对值不等式的分类求解问题，如解 | 2x - 1 ｜ > x + 1等小题．
关于与数列相关的不等式问题，常用以下放缩法求和:
(1） < < ；(2） 〈 <

6．关于圆锥曲线
大题常利用向量等条件得曲线方程，进一步研究直线与曲线的关系．
由于椭圆多了一个B级要求的参数方程问题，所以也要适当训练一些含参问题，如
例48 已知P为上的一个动点，A（a，0），(0 〈 a 〈 3)，A到P距离的最小值为1,求a的值．
注意抛物线中与导数有关的问题
例49 已知点P（m，0） （m>0，m为常数)，在线段OP上取一动点Q作倾斜角为45° 的抛物线y2 =4x的一条弦MN，若S△PMN的最大值为32，求m的值．

7．关于立体几何
仍以直线与平面垂直为核心，考查直线与平面成角，求证直线与平面垂直,求二面角大小等，由于近两年考生对非常规图解答困难，估计要适当降一点难度,回到常态图形可能性较大．
例50 （2006福建）如图,四面体ABCD中，O,E分别是BD，BC的中点，CA = CB = CD = BD = 2,AB = AD =．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离．

8．关于排列组合与二项式定理
排列组合问题常常是命题中“出彩”的问题，它便于借用问题情景，是应用题的一个小窗口，若有重复与易遗漏的情况“隐藏其中”,则得分率更不高．后期练习中注意构造一些新情景问题，使学生能从问题的外衣中揭示出本质．
例51 直线Ax + By = 0的系数A，B∈{0，1，2，3，4}，则这些方程所表示的不同直线有______条．
例52 从1到18这18个自然数中任取3个数，使它们的和是3的倍数，共有______种选法．
9．关于概率问题
例53 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.8，今各投3次，求甲比乙投中次数多的概率．
10．关于导数
导数的应用，主要是关于三次函数的有关问题，否则也仅是关于xn的问题．
例54 已知f（x） = xn (n>1）,g(x） = nx0n-1 (x-x0) + x0n（x0为已知正实数)．
（Ⅰ）当x〉0时，求证：f（x）≥g（x)；
（Ⅱ）当n 〉 1，正实数x1≠x2时，求证： ；
（Ⅲ)当m 〉 n > 0，正实数x1≠x2时,求证：．
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