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完整版)一种转化思想----算两次
一种转化思想 ————算两次

湖北省武汉市蔡甸区第二中学 朱本韬

算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。它体现了数学的转化思想，方程思想。波利亚在《数学的发现》一文中就曾经说过：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法.

一 “算两次”在教材中
例１ 《必修４》（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明
证明：如图1,

在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角αβ ，其终边分别与单位圆交于P1(cos α，sin α),P2(cos β，sin β），则∠P1OP2＝α－β,由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以只需证明0≤α－β＜π的情况,设向量α＝＝（cos α，sin α），b=＝（cos β，sin β），则一方面有a·b＝｜α|·｜β｜ cos （α－β)＝cos (α－β）,另一方面,用向量数量积的坐标表示，又有a·b＝cos α　cos β＋sin α　sin β.
综上可得cos （α－β)＝cos α　cos β＋sin α sin β，证毕
在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法,把α·β分别表示为α·β＝|α｜·|β｜ cos θ与α·β＝x1x2＋y1y2，建立方程关系，从而证明了该公式,这里用到的数学方法就是算两次原理.

例２ 《必修５》(人教版）第二章“等差数列前n项和的公式"的推导。
解:
一方面,Ｓn＝α1+α2+α3+…＋αn＝α１＋（α１＋d)＋（α２＋２d）＋…＋［α１＋（n－１）d] ①
另一方面，Ｓn＝αn＋αn-1＋αn-2＋…＋α１＝αn＋(αn－d）＋( αn－2d）＋…＋［αn－(n－1)d］　　②
①＋②得：２Ｓn＝（α１＋αn）＋(α１＋αn）＋…＋(α１＋αn）＝n(α１＋αn)
由此得到等差数列{αn｝的前n项和公式：Ｓn＝
在该公式推导中结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn进行两种不同的表示,然后倒序相加.
人教版高中数学新教材中多次出现用算两次的方法解决问题，如《必修2》中用等积法证明了点到直线的距离公式等。

二 “算两次”在高考压轴题中
1 “算两次”与函数
例3 （2008年高考江苏卷第14题）
设函数f（x)＝αx－３x+1（x∈R)，若对于任意x∈［—1，１］,都有f(x)≥０成立，求实数α的值。
解：若x＝０，则不论α为何值,f(x）≥０显然成立
一方面，当x∈（０，１]时，f(x)＝αx3－3x＋１≥０，可化为α≥－，
设g(x)＝－，则g （x）＝，所以g（x）在区间[０，]上单调递增，在区间[，１]上单调递减，因此，g（x)＝g（)＝４，从而α≥４；
另一方面，当x∈[-１，０)时，f（x）＝αx－３x+1≥０　可化为α≤－，
f（x）在区间[－１，０）上单调递增，因此g(x）＝g（—1）＝４,从而α≤４
综上，　α＝４.
该题针对x＝０，x∈（０，１]与x∈［－１，０）三种情况，后两种情况是“算两次”,分别求得α∈Ｒ，α≥４及α≤４,结合两边夹求得结果。

２ 算两次与数列
例４（2008年重庆高考文科卷第22题）
设各项均为正数的数列｛α｝满足α＝２,α＝αα（n∈N）
（1) 略
(2） 若２≤αα…α＜４对于n≥２，求α的值

解：令＝logαn,则α＝２，故需求的值。
设Ｓ表示的前n项和，则αα…α＝２。
由２≤αα…α＜４得:≤Ｓ＝＋＋…＋＜２（n≥２)
因为上式对n＝２成立，可得≤＋
一方面,由α＝２，得＝１,故≥　（１）
另一方面,由α＝２，α＝αα（n∈N）
得：＝＋（n∈N）
即：＋２＝（＋）＋＝（＋２）
故数列｛＋２｝是首项为＋２，公比为的等比数列
即：＋２＝（＋２)·（）(n∈N）
将上式对n求和得：
Ｓ－＋２Ｓ＝(＋２)（１＋＋…＋）
　　　　　　　　　＝（＋２)·(２－）（n≥2）
因此，2-1＜（n≥2）
下证≤
若不然，假设＞，则由上式得,不等式２＜时n≥2成立
但这是不可能的，因此≤ ⑵
由⑴⑵得，＝
∴α＝２＝
该题同样用“算两次”并结合“两边夹”求得结果，尤其是第二种算法中，充分运用构造新数列思想，求得的取值范围。

3 “算两次与解析几何”
例5（2009年高考数学江苏卷文科第22题)
如下图示，

已知圆G:(-2）＋y=r 是椭圆＋y＝１的内接△ＡＢＣ的内切圆,其中A为椭圆的左顶点，求圆Ｇ的半径。
解：由题意可设Ｂ（２＋r,y),过圆心G
作GD⊥AB,垂足为D，BC交长轴于Ｈ。
一方面，由＝得
＝，
即：y＝。　　　　①
另一方面，由点Ｂ（２＋r,y）在椭圆上，得
y＝１－
＝
＝－。　　　　　②
综合①②式，得15r+8r-12=0
解得 r=　或r＝－（舍去）。
题中分别利用三角形相似和点在椭圆上得到Ｂ点的纵坐标y的两种算法，建立方程使问题得以解决。

３ 结语：
“算两次"的基本模式是“一方面……,另一方面……,结合起来可得……”，一个数学研究对象若既满足条件Ａ又满足条件Ｂ时，我们就可以考虑使用这种方法。
日常课堂教学中，教师应不断挖掘教材潜能,积极提炼各类思想方法，从更高层次培养学生“算两次”的解题意识，也是对一题多解发散思维的有力补充。