1、第十一章 矩阵与变换
第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法
姓名 日期
考点梳理
一、二阶矩阵的定义
1．由4个数排成的正方形数表 称为二阶矩阵．
2．元素全为0的二阶矩阵 称为零矩阵，简记为 ．矩阵称为二阶单位矩阵，记为 ．
二、矩阵与向量的乘法
1．行矩阵与列阵的乘法规则为＝ ．
2．二阶矩阵与列向量的乘法规则为＝ ．
三、几种特殊线性变换
1．恒等变换
把任何一点（向量）
2、或图形变换为自身的变换，叫做恒等变换，对应的二阶矩阵为 ．
2．伸压变换
像矩阵，这种将平面图形作沿轴方向伸长或压缩，或作沿轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称作沿轴或轴的 变换矩阵，对应的变换称为伸压变换．
3．反射变换
像，，这种将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为 矩阵，对应的变换叫做反射变换．
4．旋转变换
直角坐标系内的每个点绕原点按逆时针方向旋转角的旋转变换的坐标变换公式是，对应的二阶矩阵为 ．
5．投影变换
像,这类将平面内图形投影到某条直线（或某一个点）上的矩阵称为投影变换矩阵，对应的变换叫做投影
3、变换．
6．切变变换
保持图形的面积,大小不变而点面距离和线间夹角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换．
平行于轴的切变变换对应的二阶矩阵为 ,平行于轴的切变变换对应的二阶矩阵为 ．
四、线性变换的基本性质
性质1．设是一个二阶矩阵,，是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则
（1） ;
（2） ．
性质2．设是一个二阶矩阵，,是平面上的任意两个向量，是任意两个实数，则 ．
五、二阶矩的乘法
1．设，则．
2．对直角坐标系内的任意向量，有．
3．二阶矩阵的乘法满足结合律，即 ．
基础自测
4、1．已知矩阵和,求先A后B的变换所对应的矩阵。
2．已知变换，在此变换下，求直线变换后所得直线 的方程.
3．试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
（1），方程为；
（2），点；
（3），曲线方程.
4．若某种线性变换把向量，分别变为向量.
求:（1）该变换对应的矩阵.
（2）线段在该变换下所得曲线方程。
典型例题
例1．已知经过矩阵M的变换变成了，且
.
（1）试求出矩阵M，并说明它的变换类型；
（2)试求出点的坐标.
例2．求出曲线依次经过矩阵
5、作用下变换得到的曲线方程。
例3．已知直线过点，其方向向量是，给定矩阵和矩阵。
（1）试写出直线方程的向量表示;
（2）试分别求出点A和向量在矩阵M和矩阵N变换下的象;
（3）分别求出直线在矩阵M和矩阵N变换下的象。
例4．已知矩阵所对应的线性变换把点变成点，试求M的逆矩阵及点A的坐标.
例5．已知，若所对应的变换把直线变换为自身，试求实数、的值。
第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量
姓名 日期
6、
考点梳理
一、逆变换与逆矩阵
1．对于二阶矩阵,若有 ，则称是可逆的，称为的逆矩阵．
2．逆矩阵的性质
性质1．设是一个二阶矩阵，如果是可逆的，则的逆矩阵是 的．
性质2．设是二阶矩阵，如果都可逆,则也可逆，且 ．
3．定理：二阶矩阵可逆，当且仅当 时，它的逆矩阵为．
二、二阶矩阵与二元一次方程组
定理：如果关于变量的二元一次方程组（线性方程组)的系数矩阵可逆，即，那么该方程组有唯一解
．
三、特征向量定义
设矩阵，如果存在数以及非零向量,使得 ，则称是矩阵的一个特征值，是矩阵的属于特征值的一个特
7、征向量．
四、特征多项式
设是一个二阶矩阵，，我们把行列式 称为的特征多项式．
五、特征向量的性质
设是二阶矩阵的两个不同特征值,是矩阵的分别属于特征值的特征向量，对于任意的非零平面向量,设实数），则对任意的正整数，有 ．
基础自测
1．已知可逆矩阵的逆矩阵为，求值．
2．已知矩阵,求．
3．求矩阵的特征值．
4．求矩阵的特征值与特征向量．
典型例题
例1 已知以原点为中心旋转60°的变换对应于矩阵，切变变换,对应于矩阵．
（1)写出矩阵和矩阵;
（2)从逆变换的角度求解矩阵和矩阵的逆矩阵；
（3）计算，和．
例2 用矩阵方法求解二元一次方程组
例3 已知矩阵，向量．
（1）求的特征值和对应的一个特征向量;
（2)计算的值．
例4 给定矩阵，及向量．
（1）证明：和互为逆矩阵;
（2）证明：和都是的特征向量．
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