CH2习题及答案.pdf

12.12.12.22.22.32.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：掷一枚硬币定义一个随机过程：cos()2tX tt出现正面出现反面设设“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”的概率相的概率相等。试求：等。试求：（1）的一维分布函数的一维分布函数，()X t(,1 2)XFx；(,1)XFx（2）的二维分布函数的二维分布函数；()X t12(,;1 2,1)XFx x（3）画出上述分布函数的图形。）画出上述分布函数的图形。2.3 解：解：（1）一维分布为一维分布为:(;0.5)0.50.51XFxu xu x(;1)0.510.52XFxu xu x2(2)二维分布函数为二维分布函数为121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x xu x xu xx2.42.4 假定二进制数据序列假定二进制数据序列B(n),B(n),n=1,n=1,2,2,3,.3,.是伯努利随机序列，其每一位数据是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量对应随机变量 B(n)，并有概率，并有概率 PB(n)=0=0.2和和 PB(n)=1=0.8。试问，。试问，（1）连续）连续 4 位构成的串为位构成的串为1011的概率的概率3是多少？是多少？（2）连续）连续 4 位构成的串的平均串是什么？位构成的串的平均串是什么？（3）连续）连续 4 位构成的串中，概率最大的位构成的串中，概率最大的是什么？是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到）该序列是可预测的吗？如果见到10111 后，下一位可能是什么？后，下一位可能是什么？2.4 解：解：解：（解：（1）101111021310.8 0.2 0.8 0.80.1024PP B nP B nP B nP B n（2）设连续）设连续 4 位数据构成的串为位数据构成的串为 B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,.其中其中 B(n)为离散随机变量，由题意可为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：所以有：串（串（4bit 数据）为数据）为：，其矩特性为：，其矩特性为：30)(2)(kkknBnX4因为随机变量因为随机变量的矩为：的矩为：)(nB均值：均值：8.08.012.00)(nBE 方差：方差：222222()00.2 10.80.80.80.80.16Var B nB nB n 所以随机变量所以随机变量的矩为：的矩为：)(nX均值：均值：303300()2()2()20.812kkkkkkE X nEB nkE B nk 方差：方差：3033200()2()2()40.1613.6kkkkkkD X nDB nkD B nk如果将如果将 4bit 串看作是一个随机向量串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：则随机向量的均值和方差为：串平均串平均：,1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B nB nB nB n5 串方差串方差：,1,2,30.16,0.16,0.16,0.16VarB nB nB nB n（3）概率达到最大的串为概率达到最大的串为1,1,1,1（4）该序列是不可预测的该序列是不可预测的,因为此数据序因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数列各个数据之间相互独立，下一位数据是据是 0 或或 1，与前面的序列没有任何，与前面的序列没有任何关系。所以如果关系。所以如果见到见到 10111 后，下一后，下一位仍为位仍为 0 或或 1，而且仍然有概率，而且仍然有概率PB(n)=0=0.2 和和 PB(n)=1=0.8。2.5 正弦随机信号X(t,s)=Acos(200t),t0,其中振幅随机变量 A 取值为 1 和 0，概率分别为 0.1 和 0.9，试问，（1）一维概率分布 F(x,5)；（2）二维概率分布 F(x,y,0,0.0025)；（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？（4）如果开启后 t=1 时刻测得输出电压为 1 伏特，问 t=2 时刻可能的输出电压是6什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？解：（1）;5cos 2005F xP AxP Ax 0.110.9AFxu xu x（2）,;0,0.0025cos 2000;cos 2000.0025F x yP AxAy;0P Axy ,00,0AFxifyify 0.110.9=0.110.9,AFx u yu xu xu yu xyu x y，（3）因为，所以开启该设00.9P A 备后 90%的情况会见到无电压(A=0)。（4）t=1 时刻，有，可得 A=1；,cos 20011X t sAA t=2 时刻，有；,cos 20021X t sAA因为在 A=1 的前提下，t=2 时刻输出电压7为确定值 1，所以。它 21111PXX是可预测的随机信号。解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量 A，而它的值只在初始时是不确定的，一旦 A 的值确定了，信号变成了确定信号。2.6 若正弦信号，其中振幅()cos()X tAt与频率 取常数，相位 是一个随机变量，A它均匀分布于间，即,1,()20f其他求在 时刻信号的概率密度。t()X t()X tfx解：注意到是 的函数，并且，()X t。对于任意给定的，arccosxtAt随 可能有多个单调段。但在每()cos()X tAt个单调段上都有，()2211()()()2X tfxfxxAx因此，22()1()20X txAfxAx其他82.72.7 设质点运动的位置如直线过程设质点运动的位置如直线过程 ，其中，其中与与，0()X tVtX(1,1)VN:0(0,2)XN:并彼此独立。试问：并彼此独立。试问：（1）t 时刻随机变量的一维概率密度函时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？数、均值与方差？（2）它是可预测的随机信号吗？它是可预测的随机信号吗？2.7 解：解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布分布00()E X tE VtXtE VE Xt2200()2D X tD VtXt D VD Xt所以它的一维概率密度函数为所以它的一维概率密度函数为:2221()()exp2(2)2(2)Xxtfxtt(2)此信号是可预测随机信号此信号是可预测随机信号2.82.8 假定（假定（-1,+1-1,+1）的伯努利序列）的伯努利序列 的取值具有等概特性。试问：的取值具有等概特性。试问：,1,2,.nIn（1）它的一维概率密度函数、均值与协它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？方差函数？9（2）它是可预测的随机信号吗？它是可预测的随机信号吗？2.8 解：解：(1)()0.5(1)0.5(1)If iii0.5(1 1)0nE I12121121212212(,)(,)0,1nnnnnC n nR n nE I IE IE InnnnE I(2)该随机信号不可预测该随机信号不可预测2.92.92.102.10给定随机过程给定随机过程和常数和常数，试以，试以()X ta的自相关函数来表示差信号的自相关函数来表示差信号()X t的自相关函数。的自相关函数。()()()Y tX taX t2.10 解：解：由题意可得：由题意可得：121211221212121212121212(,)()()()()()()()()()()()()()()(,)(,)(,)(,)YXXXXR t tE Y t Y tEX taX tX taX tE X ta X taE X ta X tE X t X taE X t X tRta taRta tRt taRt t102.112.11两个随机信号两个随机信号 X(t)=Asin(t+)与与Y(t)=Bcos(t+)，其中，其中 A 与与 B 为未知分布为未知分布随机变量，随机变量，为为 02 均匀分布随机变量，均匀分布随机变量，A、B 与与 两两统计独立，两两统计独立，为常数，试为常数，试问，问，（1）两个随机信号的互相关函数）两个随机信号的互相关函数；),(21ttRXY（2）讨论两个随机信号的正交性、互不）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；相关（无关）性与统计独立性；解：（解：（1）sinsin0X tAtE At，cos0Y tBt 121212121121212122,sincos1sinsin1sinsin221sin222XYXYRt tCt tX t Y tAtBtABABttttABtttttt 11 （2）如果如果 EA或或 EB为为 0，则，则，随机信号，随机信号 X(t)与与1212,0XYXYRt tCt tY(t)正交正交 且互不相关；且互不相关；如果如果 EA与与 EB均不为均不为 0，则，则，X(t)与与 Y(t)不正交，不正交，1212,0XYXYRt tCt t相关；相关；因为随机信号因为随机信号 X(t)与与 Y(t)中都有随中都有随机变量机变量，所以，所以 X(t)与与 Y(t)一般不会相互一般不会相互独立。独立。且且 221X tY tAB2.122.122.132.13假定正弦电压信号假定正弦电压信号，()cosX tAt其中，其中，服从均匀分布服从均匀分布，服从均服从均A(1,1)U 匀分布匀分布，它们彼此独立。如果信，它们彼此独立。如果信(,)U号施加到号施加到 RCRC 并联电路上，求总的电流信号并联电路上，求总的电流信号及其均方值。及其均方值。12题题 2.13 解：由电路原理的相关知识可知：解：由电路原理的相关知识可知：()cosX tAt，则，则 cos()sin()Ai ttACtR 22222222222122221cos()sin()cos()sin(22)sin()1661123E itAEtACtRAA CEttRRA CtE Aa daCR 2.142.142.152.15零均值零均值高斯信号高斯信号的自相关函数的自相关函数()X t为为，求，求的一维和二维的一维和二维1212(,)0.5ettXRt t()X t概率密度。概率密度。解：解：(1)因为因为 ，()0Xmt 13121212(,)(,)0.5ettXXRt tCt t()(0)(0)0.5XXXDtCR所以一维概率密度函数为：所以一维概率密度函数为：22()1,exp2()2()1expXXXXxmtfx tDtDtx(2)(2)高斯信号高斯信号 X(t)X(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数为：为：12()0()0X tX t X，111221221212(,)(,)(,)(,)0.50.5exp0.5exp0.5C t tC t tC t tC t tttttC，则，则1212(,)expt ttt121222121222,;,21exp2 10.52 0.5 1fx x t txxx xX2.162.16142.172.172.182.18 某高斯信号的均值某高斯信号的均值，()2Xmt 协方差协方差，写出当，写出当、1212(,)8cos()XCt ttt10t 和和时的三维概率密度。时的三维概率密度。20.5t 31t 解：由定义得：解：由定义得：111213212223313233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(0,0)(0,0.5)(0,1)(0.5,0)(0.5,0.5)(0.5,1)(1,0)(1,0.5)(1,1)C t tC t tC t tC t tC t tC t tC t tC t tC t tCCCCCCCCCC又因为又因为(0,0)(0.5,0.5)(1,1)8cos(0)8CCC(0,0.5)(0.5,1)(0.5,0)(1,0.5)8cos(0.5)CCCC(0,1)(1,0)8cos(1)CC设设112233()2(),2()2X ttX ttX tt Xt1588cos(1/2)8cos18cos(1/2)88cos(1/2)8cos18cos(1/2)8C则则11/23/21,exp22TfXxCxx tC2.192.19设随机变量设随机变量，其中，其中,X YN C，求，求的概率密度和的概率密度和22 2335C,X Y特征函数特征函数。,XYu v题题 2.19解：因为解：因为与与，()2E X()2E Y，而，而2,5XYDD。(,)332 510XYCov X YD D于是，于是，。则则(,)2,2;2,5;3/10X YN(X(X，Y)Y)的概率密度函数为的概率密度函数为16 222322211,exp25255XYxxyyfx y其特征函数为：其特征函数为：222211221,exp22XYxyu vj m um vuuvv 221,exp 22652XYu vj uvuuvv