数值分析实验报告(1).doc

数值分析实验报告(1)(免费)

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2

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《数值分析》
实 验 报 告 册

姓名:
学号：
专业：
年级:

计算机科学学院
计算机应用教研室
2009 年 春季 学期

目 录

实验一 3
实验二 5
实验三 7
实验四 10
实验五 12
实验六 15
实验七……………………………………………………………………18

实验一
一、课题名称
非线性方程数值解法
二、目的和意义
学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
三、计算公式
Lagrange插值公式：

牛顿插值公式：

四、结构程序设计

程序设计:
＃include”math.h"
float f(float x）
｛
return（（x*x＊x—1)/3)； /＊牛顿迭代函数*/
｝
main(）
{
float x1,x2,eps,d;int k=0；
clrscr（）；
printf(”\n input x1=")； /＊输入迭代初值＊/
scanf（"%f"，＆x1）；
printf("\n input eps=”）; /＊输入求解精度eps＊/
scanf(”%f”,＆eps)；
do{
k++;
x1=x2;
x2=f(x1)；
printf(”\n ％d ％f\n”，k，x2)；
｝while(fabs（x2—x1）>=eps)；
printf(”the root of f(x)=0 is x=%f，k=％d\n”,x2，k)； /＊输出x和迭代次数k*/
getch()；
}

五、结果讨论和分析
计算结果分析：

将六种迭代格式分别代入程序试验：
（1） 第一种格式：无论何值都无法求出，即发散
（2） 第二种格式：初值为任意的x(x2〈=1）,精度为0。00001
X=—0.347296，k=6
其他值为发散.
（3） 第三种格式:初值为任意的x（x>0），精度为0。0001
X=1。879372，k=10
其他值为发散。
（4） 第四种格式：初值为任意值，精度为0。00001
X=—0。347296,k=5
（5第五种格式：初值为任意值,精度为0。00001
X=—0。347296，k=4
（6） 第六种格式：初值为任意值，精度为0.00001
X=-0。347296，k=4

由此可知不同的初值对公式的计算有影响，当初值不满足函数的收敛条件时,无法计算结果，函数发散。
精度的大小不同也使迭代函数迭代的次数不同,从而影响xn的近似程度。

实验二
一、课题名称
解线性方程组的直接方法
二、目的和意义
掌握线性方程组直接接法的基本思想；了解不同数值方法解线性方程组的原理、实现条件、使用范围、计算公式；培养编程与上机调试能力。
三、计算公式
消去法
设a(k)kk=0,对k=1，2,……，n-1计算
mik=a(k）ik/a（k)kk
a（k+1）ij=a（k)ij-mika（k)kj i,j=k+1，k+2，……,n
b（k+1)i=b(k）i-mikb（k）k
n
xn=b（n）n/a（n)nn
j=i+1
xi=(b（i)i—Σa（i）ijxj）/a(i）ii i=n—1,n-2，……,1

平方根法 追赶法
lij=（aii-Σl2ik）1/2 Ly=f
lji=（aji-Σljklik）/lii j=i+1，i+2,……,n Ux=y
y1=f1/l1
y2=(fi—aiyi—1)/li i=2,3，……n
四、结构程序设计
用追赶法求解线性方程组
＃include"stdio。h”
main(）
｛
FILE＊f；
double a［15］,b［15],c[15］,d[15];
double t；
int i，n;

f=fopen(”zgf。dat”，"r"）；
fscanf（f，”％d”,＆n）；
fscanf(f,”%lf％lf％lf"，&b[1］,&c[1],&d［1]）;
for(i=2；i<=n—1;i++）
｛
fscanf(f，”%lf%lf％lf％lf”，&a[i]＆b［i],＆c［i］，＆d［i］）；
}
fscanf（f,"％lf％lf％lf"，＆a［n],&b［n］,＆d［n］);
fclose（f);
c[1]=c［1]/b［1］;
d［1]=d[1］/b［1]；

for（i=2;i<=n—1;i++）
｛
t=b[i]—c［i-1]*a［i］；
c［i]=c[i]/t;
d[i］=(d[i]—d［i—1］*a［i］）/t；
}
d[n］=(d[n]-d［n—1］*a[n］)/（b［n]—c［n—1]＊a[n]）；
for(i==n—1;i〉=1;i--）d［i］=d［i］-c［i］*d[i+1］;
printf（"\n＊***＊＊＊**＊＊＊＊＊＊\n”)；
for(i=1；i〈=n;i++）
printf("d［%2d］=％lf\n”，i，d［i］）；
}
五、结果讨论和分析

此方法通过有限步算术运算求出 精确解，但实际计算由于舍入误差的影响,只能求出近似解。
实验三
一、课题名称
解线性方程组的迭代法
二、目的和意义
了解各迭代法的基本原理和特点，判断雅克比迭代、高斯-塞德尔迭代对任意初始向量的收敛性，完成雅克比迭代、高斯—塞德尔迭代算法的程序实现
三、计算公式
l 雅可比
xi（k+1）=1/aii(bi—Σaijxj（k）)
l 高斯-塞德尔
xi(k+1)=1/aii(bi-Σaijxj（k+1）—Σaijxj(k))
l 超松弛迭代
xi（k+1）=（1-w）xi（k)+w*（bi—Σaijxj(k+1）—Σaijxj(k）） /aii

四、结构程序设计
高斯-塞德尔法：
＃include"math。h”
#define M 8
＃define N 9
main（)
｛
double a［M］[N］={｛4,2,—4,0，2,4，0，0,0｝,
｛2，2,-1,-2，1,3,2，0，—6｝,
{-4，—1，14,1,—8,—3,5，6,20}，
｛0，—2，1,6,—1，—4，—3，3,23｝，
｛2,1，—8,-1,22，4，—10,-3,9}，
｛4,3,-3，—4,4，11,1,-4,—22｝，
{0，2,5，-3，-10,1,14，2,-15}，
｛0，0，6，3,—3,—4，2，19，45｝｝;
double x［M］=｛0,0,0，0,0,0，0,0｝;
double r，t，q，eps=0.0001；
int k，i，j，T=100;
for（i=0;ix［i]；
q=0;
for(j=0；j〈M；j++）
if（j!=i）q=q+a[i][j]*x［j];
x[i]=(a［i]［N-1]-q）/a[i]［i]；
if(fabs(x[i]-t)>r）r=fabs（x[i]—t);
｝
if（r printf（”x(%d）=％15.7f\n”,i+1,x［i]）；
}

五、结果讨论和分析

与直接法相比，迭代法适用于稀疏矩阵的线性方程组

实验四
一、课题名称
函数插值方法
二、目的和意义
了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导，了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点,牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。
三、计算公式
=，i=0，1，2…n
P（X）=p(x)+(p（x)的初值是0）。
四、结构程序设计
＃include"stdio。h”
#include"math。h”
#include”string.h"
＃include"conio。h”
#include"stdlib.h”
#define n 5
double x1[]=｛0。4，0.55,0.65,0.80,0.95,1.05｝；
double y1［]={0。41075,0。57815,0.69675，0.90，1.00,1.25382｝;
main（）
｛
double Lag(double x1[],double y1[]，float t);
int m,kfloat x,y；float X;double z；
printf("\nthe number of the interpolation points is m：”）；
scanf（”％d”,&m）；
for（k=1；k〈=m；k++)
{
printf（"\ninputX％d=”，k）；
scanf（"%f"，&X);
z=Lag（x1，y1,X);
printf("P(%f）=％f\n”，X,z）；
｝
getch（）;
return(0）;
}
double Lag(double x[］,double y[］,float X）
｛
int i，j；
double L,P；
P=0。0；
for(i=0;i〈=n；i++）
｛
L=1。0;
for(j=0；j〈=n;j++）
if(j！=i）
L=L*(X-x［j])/(x[i]-x[j］）；
P=P+y[i］*L；
}

return （P)；
｝

五、结果讨论和分析

实验五
一、课题名称
曲线拟合的最小二乘法
二、的和意义
掌握曲线拟合的最小二乘法；了解最小二乘法亦可以用于解超定线性方程组；探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
三、计算公式
e 22=Σε2i=Σ［φ（xi）-f(xi)］2
四、结构程序设计
#include ”stdio。h"
＃include "math.h"
#define num 10
float neiji（float b［num]，float c[num］)
｛ int p；
float nj=0;
for(p=1；pbeida［num］，a[num],xfai[num]，yd［num],max,pcpfh；
void main(）
{ int i，j，k，n，index,flag;
char conti；
conti=' ’;
printf("请输入已知点的个数n=\n");
scanf（”%d”,&n);
printf（"请输入x和y："）；
for（i=1；i〈=n；i++)
{ printf("x[%d]=",i）;
scanf("%f",&x[i])；
printf(”y［%d]=”，i）;
scanf("％f”，”＆y[i］");
｝
while（conti==’ ’)
{ printf（"请输入拟和次数=")；
scanf（”％d”,＆index)；
pcpfh=0;
afa［1］=0;
a[0]=0;
for(i=1；i〈=n；i++）
｛ afa[1］+=x［i］；
a［0］+=yd[i］;
fai［0][i］=1;
｝
afa［1]=afa[1]/n;
a[0]=a[0］/n；
for(i=1;i〈=n;i++）
｛
fai［1]［i］=x［i]-afa[1]；
｝
a[1]=neiji(fai[1]，yd)/neiji(fai[1］，fai[1]）;
for(k=1;k〈index；k++）
{ for（i=1；i〈=n;i++)
xfai[i]=x[i］＊fai[k][i］；
afa[k+1]=neiji（fai[k]，xfai）/neiji(fai[k］,fai[k］)；
beida［k]=neiji（fai［k]，fai[k])/neiji（fai[k—1］,fai[k-1]）;
for(j=1；j<=n；j++)
fai[k+1］[j］=(x[j]—afa[k+1]）＊fai［k][j］—beida[k]＊fai[k—1]［j]；
a[k+1]=neiji（fai[k+1］,yd）/neiji（fai［k+1］,fai[k+1］）;
}
printf("%d次拟和结果为\n",index）;
for(i=0；i<=index;i++)
printf（"a[％d]=％f\n"，i,a[i］)；
for（i=1；i〈=index;i++)
printf（"afa［％d］=%f\n”，i，afa［i］);
for（i=1；i
｝
max=0;
for(i=1;i〈=n；i++)
if（yd[i］>max)
｛max=yd[i];
flag=i;
}
printf（"当x=％f时,偏差最大=%f,偏差平方和为%f\n"，x［flag],max,pcpfh)；
printf（"继续拟和请按space,按其他键退出”)；
conti=getchar(）;
conti=getchar（）；
}
}
五、结果讨论和分析
请输入已知点的个数n=10
请输入x和y：
x[1］=0
y［1］=0
……
请输入拟合次数=5
5次拟合结果为

当x=0。000000时，偏差最大=6706185.000000,偏差平方和为449729146126336.000000。

实验六
一、课题名称
数值积分与数值微分
二、目的和意义
深刻认识数值积分法的意义；明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题.
三、计算公式
Ｓｎ=1/6*［f（a)+4Σf(xk+1/2）+2Σf（xk）+f（b）]

Rn=64/63*c2n—1/63*cn

四、结构程序设计
Romberg算法:
#include"stdio.h”
#include”math.h”
#include”conio.h”
float f（float x)
｛return（exp(x)/(4+x＊x)）；}
main(）
{
float a=0，b=1；
float h=b-a，T1，T2，s,x；
int i;T1=h/2＊（f(a）+f(b）)；
for（i=0;i<3；i++）
{
printf(”h=%f，T=%f\n”,h，T1);
s=0;
x=a+h/2；
while(x〈b)
｛
s+=f(x）；
x+=h；
｝
T2=T1/2+h/2*s；
h/=2；T1=T2;
}
printf("h=%f，T=％f\n"，h，T1）;
return；
}

Simpson算法：
#include"stdio.h”
#include”math。h"
＃include"conio。h"
#define Max_M 20
float f(float x)
{return（sin(x）/x）；｝
float Simpson(float a，float b，int n)
{
int k;float x,s1，s2，h=(b-a)/n;
x=a+h/2；
s1=f(x）；s2=0；
for（k=1;k〈n；k++）
{
s1=s1+fa+k*h+h/a）；
s2=s2+f（a+k*h);
}
s2=h＊（f(a）+4*s1+2*s2+f（b)）/6；
return(s2）;
}
main(）
｛
int i，n；float a1，b1，s=0；
printf（"\n Input the begin:"）；
scanf("%f”,&a1）;
printf("\n Input the end:”)；
scanf（”%f",＆b1）；
do ｛
printf("\n input n divde value[divide（%f，%f)]：”，a1,b1）;
scanf（"％d"，&b1)；
｝
while（n〈=1&&n>Max_M）;
s=Simpson(a1，b1，n）;
printf(”solve is:％f”，s）;
getch（）；
return(s）；
｝



五、结果讨论和分析
用Romberg法得出结果为:

用Simpson法得出结果为：

可见复化公式要先估计出步长，步长的大小将影响计算结果和精度

实验七
一、课题名称
常微分方程的数值解法
二、目的和意义
熟悉各种初值的问题的算法，编出算法程序；

明确各种算法的精度寓所选步长有密切关系；
通过计算更加了解各种算法的优越性；
三、计算公式
　　　k1=f(xi,yi)
　　　k2=f（xi+1/2+1/2,yi+h/2*k1）
　　　k3=f(xi+1/2,yi+h/2*k2）
　　　k4=f（xi+1，yi+h＊k3)
　　　Yi+1=yi+h*（k1,2＊k2+2*k3+k4）/6

四、 结构程序设计
Rung-kutta法：
＃include”math.h”
#include"string。h”
#include”stdio.h"
＃include”conio。h"
float f（float x,float y)
{
float y1;
y1=y—2＊x/y;
return y1；
}
float Runge_Kutta(float x,float y，float h）
{
float k1,k2,k3,k4;
k1=f（x，y）;k2=f（x+h/2,y+h＊k1/2);
k3=f(x+h/2,y+h＊k2/2）；k4=f(x+h，y+h＊k3)；
return(y+h*（k1+2＊k2+2＊k3+k4)/6）;
｝
main（)
｛
int i=0;
float x，y，h,b;
clrscr(）;
printf（”\n Input begin x0:”)；
scanf（”%f”,&x）;
printf（”\n Input begin y0:”）;
scanf（”%f”，＆y);
printf("\n Input step h:"）;
scanf（”%f",＆h)；
printf（"\n Input end b："）;
scanf（"％f”,&b）；
printf（”\n x0=％10f y0=％10f\n”，x，y)；
do
{
y=Runge_Kutta（x,y,h）；
x=x+h;i++;
printf（"x％d=％10f y%d=%10f\n"，i,x，i，y)；
}
while(x