数值分析实验报告(1).doc

数值分析实验报告(1)(免费) 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途数值分析实 验 报 告 册姓名: 学号： 专业： 年级: 计算机科学学院计算机应用教研室 2009 年 春季 学期目 录实验一3实验二5实验三7实验四10实验五12实验六15实验七18 实验一一、课题名称非线性方程数值解法二、目的和意义学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。三、计算公式Lagrange插值公式： 牛顿插值公式：四、结构程序设计 程序设计:include”math.hfloat f(float x）return（x*xx1)/3)； /牛顿迭代函数*/main(）float x1,x2,eps,d;int k=0；clrscr（）；printf(”n input x1=)； /输入迭代初值/scanf（%f，x1）；printf(n input eps=”）; /输入求解精度eps/scanf(”%f”,eps)；do k+; x1=x2; x2=f(x1)； printf(”n d fn”，k，x2)； while(fabs（x2x1）=eps)； printf(”the root of f(x)=0 is x=%f，k=dn”,x2，k)； /输出x和迭代次数k*/ getch()； 五、结果讨论和分析 计算结果分析：将六种迭代格式分别代入程序试验：（1） 第一种格式：无论何值都无法求出，即发散（2） 第二种格式：初值为任意的x(x2=1）,精度为0。00001 X=0.347296，k=6 其他值为发散.（3） 第三种格式:初值为任意的x（x0），精度为0。0001 X=1。879372，k=10 其他值为发散。（4） 第四种格式：初值为任意值，精度为0。00001 X=0。347296,k=5（5）第五种格式：初值为任意值,精度为0。00001 X=0。347296，k=4（6） 第六种格式：初值为任意值，精度为0.00001 X=-0。347296，k=4 由此可知不同的初值对公式的计算有影响，当初值不满足函数的收敛条件时,无法计算结果，函数发散。 精度的大小不同也使迭代函数迭代的次数不同,从而影响xn的近似程度。实验二一、课题名称解线性方程组的直接方法二、目的和意义 掌握线性方程组直接接法的基本思想；了解不同数值方法解线性方程组的原理、实现条件、使用范围、计算公式；培养编程与上机调试能力。三、计算公式 消去法 设a(k)kk=0,对k=1，2,，n-1计算 mik=a(k）ik/a（k)kk a（k+1）ij=a（k)ij-mika（k)kj i,j=k+1，k+2，,n b（k+1)i=b(k）i-mikb（k）kn xn=b（n）n/a（n)nnj=i+1 xi=(b（i)ia（i）ijxj）/a(i）ii i=n1,n-2，,1 平方根法 追赶法 lij=（aii-l2ik）1/2 Ly=f lji=（aji-ljklik）/lii j=i+1，i+2,n Ux=y y1=f1/l1 y2=(fiaiyi1)/li i=2,3，n 四、结构程序设计用追赶法求解线性方程组includestdio。h”main(） FILEf； double a15,b15,c15,d15; double t； int i，n; f=fopen(”zgf。dat”，r）； fscanf（f，”d”,n）； fscanf(f,”%lflflf，&b1,&c1,&d1）; for(i=2；i=n1;i+） fscanf(f，”%lf%lflflf”，&ai，bi,ci，di）； fscanf（f,lflflf，an,&bn,dn); fclose（f); c1=c1/b1; d1=d1/b1； for（i=2;i=n1;i+） t=bici-1*ai； ci=ci/t; di=(didi1*ai）/t； dn=(dn-dn1*an)/（bncn1an）； for(i=n1;i=1;i-）di=di-ci*di+1; printf（n*n”)； for(i=1；i=n;i+） printf(d%2d=lfn”，i，di）；五、结果讨论和分析 此方法通过有限步算术运算求出 精确解，但实际计算由于舍入误差的影响,只能求出近似解。实验三一、课题名称解线性方程组的迭代法二、目的和意义 了解各迭代法的基本原理和特点，判断雅克比迭代、高斯-塞德尔迭代对任意初始向量的收敛性，完成雅克比迭代、高斯塞德尔迭代算法的程序实现三、计算公式l 雅可比 xi（k+1）=1/aii(biaijxj（k）)l 高斯-塞德尔xi(k+1)=1/aii(bi-aijxj（k+1）aijxj(k) l 超松弛迭代 xi（k+1）=（1-w）xi（k)+w*（biaijxj(k+1）aijxj(k） /aii四、结构程序设计高斯-塞德尔法：includemath。h”#define M 8define N 9main（) double aMN=4,2,4,0，2,4，0，0,0, 2，2,-1,-2，1,3,2，0，6, -4，1，14,1,8,3,5，6,20， 0，2，1,6,1，4，3，3,23， 2,1，8,-1,22，4，10,-3,9， 4,3,-3，4,4，11,1,-4,22， 0，2,5，-3，-10,1,14，2,-15， 0，0，6，3,3,4，2，19，45; double xM=0,0,0，0,0,0，0,0; double r，t，q，eps=0.0001； int k，i，j，T=100; for（i=0;ir）r=fabs（xit); if（reps)break； printf(nk=%d,”,k）; for（i=0;iM;i+） printf(”nx%d=lf”,i，xi）； if(k=T)printf(nNo”); else for(i=0;iM;i+） printf（”x(%d）=15.7fn”,i+1,xi）； 五、结果讨论和分析与直接法相比，迭代法适用于稀疏矩阵的线性方程组实验四一、课题名称函数插值方法二、目的和意义 了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导，了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点,牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。三、计算公式=，i=0，1，2nP（X）=p(x)+(p（x)的初值是0）。四、结构程序设计includestdio。h”#includemath。h”#include”string.hincludeconio。h”#includestdlib.h”#define n 5double x1=0。4，0.55,0.65,0.80,0.95,1.05；double y1=0。41075,0。57815,0.69675，0.90，1.00,1.25382;main（） double Lag(double x1,double y1，float t); int m,k；float x,y；float X;double z； printf(nthe number of the interpolation points is m：”）； scanf（”d”,&m）； for（k=1；k=m；k+) printf（ninputXd=”，k）； scanf（%f，&X); z=Lag（x1，y1,X); printf(P(%f）=fn”，X,z）； getch（）; return(0）;double Lag(double x,double y,float X） int i，j； double L,P； P=0。0； for(i=0;i=n；i+） L=1。0; for(j=0；j=n;j+） if(j！=i） L=L*(X-xj)/(xi-xj）； P=P+yi*L； return （P)；五、结果讨论和分析实验五一、课题名称曲线拟合的最小二乘法二、的和意义掌握曲线拟合的最小二乘法；了解最小二乘法亦可以用于解超定线性方程组；探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。三、计算公式e 22=2i=（xi）-f(xi)2四、结构程序设计#include ”stdio。hinclude math.h#define num 10float neiji（float bnum，float cnum) int p；float nj=0;for(p=1；pnum；p+)nj+=cp*bp；return nj；float snum,xnum,fainumnum,afanum;float beidanum，anum,xfainum，ydnum,max,pcpfh；void main(） int i，j，k，n，index,flag;char conti；conti= ;printf(请输入已知点的个数n=n);scanf（”%d”,&n);printf（请输入x和y：）；for（i=1；i=n；i+) printf(x%d=,i）;scanf(%f,&xi)；printf(”y%d=”，i）;scanf(f”，”yi);while（conti= ) printf（请输入拟和次数=)；scanf（”d”,index)；pcpfh=0;afa1=0;a0=0;for(i=1；i=n；i+） afa1+=xi；a0+=ydi;fai0i=1;afa1=afa1/n;a0=a0/n；for(i=1;i=n;i+）fai1i=xi-afa1；a1=neiji(fai1，yd)/neiji(fai1，fai1）;for(k=1;kindex；k+） for（i=1；i=n;i+)xfaii=xifaiki；afak+1=neiji（faik，xfai）/neiji(faik,faik)；beidak=neiji（faik，faik)/neiji（faik1,faik-1）;for(j=1；j=n；j+)faik+1j=(xjafak+1）faikjbeidakfaik1j；ak+1=neiji（faik+1,yd）/neiji（faik+1,faik+1）;printf(%d次拟和结果为n,index）;for(i=0；i=index;i+)printf（ad=fn，i,ai)；for（i=1；i=index;i+)printf（afad=%fn”，i，afai);for（i=1；imax)max=ydi;flag=i;printf（当x=f时,偏差最大=%f,偏差平方和为%fn，xflag,max,pcpfh)；printf（继续拟和请按space,按其他键退出”)；conti=getchar(）;conti=getchar（）；五、结果讨论和分析请输入已知点的个数n=10请输入x和y：x1=0y1=0请输入拟合次数=55次拟合结果为当x=0。000000时，偏差最大=6706185.000000,偏差平方和为449729146126336.000000。实验六一、课题名称数值积分与数值微分二、目的和意义深刻认识数值积分法的意义；明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题.三、计算公式=1/6*f（a)+4f(xk+1/2）+2f（xk）+f（b） Rn=64/63*c2n1/63*cn四、结构程序设计Romberg算法:#includestdio.h”#include”math.h”#include”conio.h”float f（float x)return（exp(x)/(4+xx)）；main(） float a=0，b=1； float h=b-a，T1，T2，s,x； int i;T1=h/2（f(a）+f(b）)； for（i=0;iMax_M）; s=Simpson(a1，b1，n）; printf(”solve is:f”，s）; getch（）； return(s）；五、结果讨论和分析用Romberg法得出结果为:用Simpson法得出结果为：可见复化公式要先估计出步长，步长的大小将影响计算结果和精度 实验七一、课题名称常微分方程的数值解法二、目的和意义熟悉各种初值的问题的算法，编出算法程序；明确各种算法的精度寓所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种算法的优越性；三、计算公式k1=f(xi,yi)k2=f（xi+1/2+1/2,yi+h/2*k1）k3=f(xi+1/2,yi+h/2*k2）k4=f（xi+1，yi+hk3)Yi+1=yi+h*（k1,2k2+2*k3+k4）/6四、 结构程序设计 Rung-kutta法：include”math.h”#includestring。h”#include”stdio.hinclude”conio。hfloat f（float x,float y) float y1; y1=y2x/y; return y1；float Runge_Kutta(float x,float y，float h）float k1,k2,k3,k4;k1=f（x，y）;k2=f（x+h/2,y+hk1/2);k3=f(x+h/2,y+hk2/2）；k4=f(x+h，y+hk3)；return(y+h*（k1+2k2+2k3+k4)/6）;main（) int i=0; float x，y，h,b; clrscr(）; printf（”n Input begin x0:”)； scanf（”%f”,&x）; printf（”n Input begin y0:”）; scanf（”%f”，y); printf(n Input step h:）; scanf（”%f,h)； printf（n Input end b：）; scanf（f”,&b）； printf（”n x0=10f y0=10fn”，x，y)； do y=Runge_Kutta（x,y,h）； x=x+h;i+; printf（xd=10f y%d=%10fn，i,x，i，y)； while(xb）; getch(）; return（y); 五、 结果讨论和分析 可见步长的选取会影响节点处数值解的误差 - 22 -