第七讲环形跑道问题.doc

高新杰

第七讲环形跑道问题
一． 知识点总结

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题（相向）：相遇时间=路程和÷速度和

追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差

注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：路程差÷速度差=所行时间。

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

二． 做题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与；
看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时
看地点是指是同地还是两地甚至更多。
看方向是同向、背向还是相向
看事件指的是结果是相遇还是追及
相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。
追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差

（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差

三． 例题解析

1. 直接利用公式型

竞赛班例题1（尖子班例题1）：在300米的环形跑道上，如果同向而跑快者2分30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇，求两人的速度。
解析：注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。
“第几次追上就多跑几圈”，快者第一次追上慢者，就是比慢者多跑一圈，即用2分30秒比慢者多跑300米，
那么快比慢1秒钟多跑（速度差）：300÷150=2米
“第几次相遇就合跑几圈”，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑300米，1秒钟两人合跑（速度和）：300÷30=10米
慢者：（10-2）÷2=4米／秒
快者：4+2=6米／秒
“和差算法”：小的数=（和-差）÷2
大的数=（和+差）÷2

竞赛班学案1：在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔4分钟相遇一次：同向跑每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道周长1600米，求两人的速度？
解析：两人速度差1600÷20=80米／分
两人速度和1600÷4=400米／分
慢者：（400-80）÷2=160米／分
快者：160+80=240米／分

竞赛班例题3：幸福村小学有一条长200米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑线起跑，铮铮每秒钟跑6米，包包每秒钟跑4米，问铮铮第一次追上包包时两人各跑多少米，第2次追上包包时两人各跑多少圈？
解析：
（1）铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈200你呢？200÷（6-4）=100秒
注：熟了之后直接用公式路程差÷速度差=所行时间
铮铮：6×100=600米
包包：4×100=400米或600-200=400米
（2）笨方法：铮铮第二次追上包包，总共比包包多跑二圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑二圈400你呢？400÷（6-4）=200秒。铮铮：6×200=1200米 1200÷200=6圈
包包：4×200=800米 800÷200=4圈
聪明方法：第一问求出铮铮第一次追上包包时两人的路程，
直接铮铮：600÷200=3圈 3×2=6圈
包包：6-2=4圈

竞赛班例题2（尖子班例题2）：环形公路长2400米，铮铮和微微同时从同一地点出发，微微骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时微微骑了1440米。问铮铮骑一圈的时间？再过多久他们第二次相遇？
解析：（1）微微骑一圈需要10分钟，可知微微的速度2400÷10=240米／分
第一次相遇时微微骑了1440米，可知相遇时间1440÷240=6分钟
第一次相遇时两人合跑一圈2400米，铮铮骑2400-1440=960米
铮铮速度960÷6=160米／分
铮铮骑一圈的时间2400÷160=15分钟
（2）“再过多久”，指从第一次相遇开始计时，每隔6分钟相遇一次。所以答案还是6

竞赛班学案2：黑白两只猫在周长为300米的环形跑道上赛跑，黑猫的速度是每秒5米，白猫的速度是每秒7米，两只猫从同一地点背向出发，经过多少秒第一次相遇？在2分钟内共相遇几次？
解析：第一次相遇，合跑一圈300米，时间300÷(5+7) =25秒
每隔25秒相遇一次，2×60÷25=4次………20秒

2.“陷阱题”-----出发点不是同起点，注意题目中的时间是从哪开始计时的，尤其注意“再，又过多长时间”和“多长时间后”
竞赛班例题5：在400米的环形跑道上，甲乙两人分别从A，B两点同时出发，同向而行。4分钟后甲第一次追上乙，又经过10分钟甲第二次追上乙。甲的速度是每秒3米，乙的速度是多少？求A，B两地相距多少米？
解析：

“又经过10分钟”指的是从一次追上开始计时到第二次，在这10分钟甲比乙多跑一圈400米，得知甲一分钟比乙多跑（速度差）400÷10=40米／分
甲的速度3×60=180米／分
AB的距离就是甲第一次追上乙比乙多跑的路程：4×40=160米

尖子班例题5：微微铮铮在400米的环形跑道上，微微以300米／分的速度从起点跑出，1分钟后，铮铮从起点同向跑出，又经过5分钟，微微追上铮铮。问铮铮的速度？再过多少分钟才能第二次追上铮铮？
解析：
1分钟后微微跑出1×300=300米，而跑道才400米，所以微微在铮铮后面100米处。

两人速度差100÷5=20米／分
微微第二次追上铮铮，比他多跑一圈400米，一分钟多跑20米，
所以400÷20=20分钟

尖子班例题4：甲乙两人在400米操场上比赛，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙，出发时甲在乙后面多少米？
解析：

“22分钟后”指从出发时开始计时，从第一次甲超过乙开始计时到第二次用的时间22-6=16分钟，这段时间甲比乙多跑一圈400米，那么甲一分钟比乙多跑的（速度差）400 ÷16=25米／分
甲在乙后面：25×6=150米

2.利用合走全程求个人路程
竞赛例题4：有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A和C同时出发，绕圆周相向而行。他们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，问这个圆周的周长？
解析：

合走半个圆周，A虫走8厘米。那么合走一个圆周，A虫走8×2=16厘米。即
BC+6=16，所以BC=16-6=10厘米，半个圆周=8+10=18厘米，
一个圆周为18×2=36厘米

尖子班例题6：A，B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。
解法同理，自己练习一下啊！
2.复杂题----分段分析
竞赛班例题6：学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程想重，甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针跑，两人同时从跑道的交点A出发，当他们第二次相遇时，甲共跑多少米？
解析：

甲乙只可能在大跑道的右侧相遇
当甲到B点时,乙还没到B点，所以第一次相遇在C点，两人合跑一个大跑道
400÷(6+4)=40秒，C离B的距离：6×40-200=40米。
当乙从C到A点时，（100+40）÷4=35秒，甲从C点走的路程6×35=210米,C到A的距离是200-40=160米，所以甲已经在A点的左侧D点，
D离A的距离210-160=50米
当甲从D点出发，乙从A点出发，两人在大跑道的右侧第二次相遇，
合跑的路程400-50=350米，350÷(6+4)=35秒
甲在这三段总共跑的时间40+35+35=110秒
甲共跑6×110=660米
竞赛班学案4：一个环形跑道甲乙两人分别从A,B两点同时出发，反向而行。6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又经过8分钟两人再次相遇，甲乙两人跑一周各需要多长时间？
解析：

乙从B出发到再次相遇点，乙用了6+4+8=18分钟，
由图甲4分钟走的路程=乙6分钟走的路程。
甲从再次相遇点到B点用的时间4×（18÷6）=12分钟
甲走一圈时间8+12=20分钟
乙走一圈时间6×（20÷4）=30分钟