1、
第五章 回归的扩展
5、1引言
一般来说，线性回归模型的数学含义可表示为：
是的线性函数： 即
或者是的线性函数：即
根据上面的关系,我们就可写出其线性回归函数的一般形式为：
这种形式的回归模型的估计和检验问题，我们已经讨论过了。在许多实际问题中，变量之间更加一般的关系形式是非线性关系的。我们注意到在非线性关系中，有许多情况是可以通过简单的变量变换,就可以转变为线性回归关系,从而这类非线性关系的问题也可应用前面所讲的方法来解决。因此，解决非线性回归模型的基本思路,就是通过一定的转换，将非线性形式转换成线性的形式，然后加以解决。
5、2变量之间的
2、非线性关系
一般来说，被解释变量与解释变量之间的一般形式可写成:
其中可以是的k个已知的非线性函数。因此,如果已知，那么我们则可通过变换的方法使之转化为线性函数关系，如令
那么，就有
因此，如果给出一组样本，我们就可得到相应的,并通过最小二乘法得到回归方程的估计式
上面只是一般的讨论或原则，建立非线性模型的最大困难在于确立的具体函数形式.一般来说，对于单个解释变量与之间的非线性关系，可以用样本的散点图的方法，来确定适当的非线性形式或函数，而对于与多个解释变量之间非线性关系的确立就十分不容易了。
下面我们给出经济分析
3、中常用的非线性函数的类型（主要是单个解释变量的情况)：
1、幂函数
2、双曲线函数
3、指数函数
4、对数函数
5、S—型曲线
其他函数形式的性质及其变换形式（略）
下面我们再介绍一种常见的非线性关系形式,既以解释变量构成的多项式形式：
这时可令
那么，我们就得到了一个典型的多元线性回归模型
由此我们就可以利用最小二乘法来进行处理了。
5．3参数为非线性的情况
在许多经济现象中，存在着具有不变弹性的经济变量之间的相关关系问题。例如商品的销售量与其销售价格
4、之间的关系,产量与其各生产要素之间的关系问题等。这类问题模型的一般形式可表示为：
这里的是相对于的不变弹性.因为根据弹性的定义有
又
注意随机项的形式，这时满足通常的假设条件，即
下面我们对原方程进行变换,即对原方程两边取对数形式，则有
若设
则上式变成
这样我们就可以对上式应用最小二乘法了.
例子:我们来看看柯布—道格拉斯生产函数
通过理论分析和大量观察，专家们发现劳动者的数量L和生产资料（资本）的数量K与产出的数量Q之间具有下列的关系
这就是著名
5、的柯布—道格拉斯生产函数。其经济含义是十分丰富的.
（1） 一般说来
当 时,规模报酬递增;
当 时，规模报酬不变；
当 时，规模报酬递减.
（2） 产出弹性
劳动和资本的产出弹性为
（3） 边际技术替代率
（4） 替代弹性
下面我们对生产函数进行参数估计：
若已知某生产部门的Q、L、K的历史观察数据，那么我们其生产函数两边取对数有
再令
故有
则利用最小二乘法即可计算出参数的估计值（具体计算过程省略）。
总之，对于非线性回归模型问题,实际上最重要、最困难的,并不是非线性形式的线性转换方式，而是原有的非线性回归模型如何建立，这才是最困难的,也是经济学研究的关键和困难之处。
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