高考湖南文科数学试题及全解全析4.doc

2009年高考湖南文科数学试题及全解全析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．的值为【 D 】
A． B． C． D．
解:由,易知D正确.
2．抛物线的焦点坐标是【 B 】
A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）
解:由,易知焦点坐标是，故选B.
3．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】
A．13 B．35 C．49 D． 63
解: 故选C.
或由,
所以故选C.
4．如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则【 A 】
A．
B．
C．
D．
图1
解: 得，故选A.
或.
5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】
A．14 B．16 C．20 D．48
解:由间接法得，故选B.
6．平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】
A．3 B．4 C．5 D．6
解:如图，用列举法知合要求的棱为：
、、、、，
故选C.

7．若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
在区间上的图象可能是【 A 】
y

A ． B． C． D．
解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上
各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
8．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数

取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】
A ． B． C ． D ．
解: 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9 ．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项
运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .
解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，
故. 注：最好作出韦恩图！
10．若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解: ，当且仅当时取等号.
11．在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答).
解: ，故得的系数为
12． 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。
已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120 .
解: 设总体中的个体数为，则
13．过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，
切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 .
解: ,
14．在锐角中，则的值等于 2 ，
的取值范围为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解: 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，

15．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则
， .

图2
解:作,设，,
由解得故

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（每小题满分12分）
已知向量
（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若求的值。
解：（Ⅰ） 因为，所以
于是，故
（Ⅱ）由知，
所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.
因此，或
17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，
相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，
且
（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=
（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P=
18．（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱中，
AB=4, ,点D是BC的中点，
点E在AC上，且DEE.
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,
所以DE⊥平面.又DE 平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）解法 1: 过点A作AF垂直于点,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。 因为DE，
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因为，所以E= = 4, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
, .
即直线AD和平面所成角的正弦值为 .
解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.
设是平面的一个法向量，则

解得.
故可取.于是

= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .
19．（本小题满分13分）
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。
解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，
所以，于是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.
（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。
（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.
当x＜时，， 在区间内为增函数；
当＜x＜时，，在区间内为减函数;
当时，，在区间内为增函数.
所以在处取极大值，在处取极小值.
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.
于是的定义域为.由 得.
于是 .
当时，所以函数
在区间内是减函数，故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.om
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。
解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，
由题设条件知， 所以
故椭圆C的方程为 .
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，
显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 w.w.w.k.s.5u.c.o.m
如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

由得. ……①
由解得. ……②
因为是方程①的两根，所以，于是
=， .
因为，所以点G不可能在轴的右边，
又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
即 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得，此时②也成立.
故直线斜率的取值范围是
21．（本小题满分13分）
对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：
A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
==
所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，
.
由n的任意性知，数列不是B-数列。
命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有
.
因为
.
记，则有
.
因此.
故数列是B-数列.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m