ecw和lhw协同驱动的研究-学位论文--学位论文.doc

四川大学硕士学位论文

四川大学
硕士学位论文

题 目 ECW和LHW协同驱动的研究
作 者 完成日期 2013年5月1日

培 养 单 位 四川大学
指 导 教 师
专 业 等离子体物理
研 究 方 向 波与等离子体相互作用
授予学位日期 年 月 日

ECW和LHW协同驱动的研究

等离子体物理专业

研究生 指导教师

摘要
在托卡马克中，无感电流驱动的电流大小及其剖面形状对维持装置的稳态运行具有重要的作用，低杂波电流驱动（LHCD）和电子回旋波电流驱动（ECCD）是两种重要的无感电流驱动手段。LHCD具有高的电流驱动效率，而ECCD驱动效率较低，但能驱动出高局域性的电流。结合LHCD和ECCD的驱动特点，在上世纪八十年代提出了将两种波注入到等离子体中的想法，随后在多个装置上开展了相关的实验，此即双波协同实验。在实验和理论中研究中都指出，双波在等离子体中协同驱动出的电流大于两种波单独在等离子体中驱动出的电流之和这个效应称为协同效应，把两者的电流之差称为协同净增电流。本文研究了电子回旋波（ECW）的频率和平行折射率与协同净增电流的关系，以及在ECW和低杂波（LHW）协同作用下LHW的耦合。
协同净增电流的大小与ECW、LHW和等离子体参数等有关，本文着重于在其他参数不变的情况下分析ECW的频率和平行折射率与协同净增电流的关系。通过ECW和LHW的共振条件，给出了它们在速度空间的共振，并指出ECW的频率和平行折射率决定了ECW在速度空间的共振及位置，这也就决定了ECW和LHW在速度空间的匹配。所谓匹配，是指双波在速度空间有共同作用的区域或者说对象。根据协同效应的机制，协同电子是产生协同净增电流的必要条件，而协同电子是由双波在速度空间的匹配产生的。利用Fokker-Planck 代码计算了ECW的频率和平行折射率取不同值时的协同净增电流，证实了协同净增电流与双波在速度空间匹配的关系，结合ECW的频率和平行折射率是决定了ECW在速度空间的共振位置，给出了产生协同净增电流的ECW参数范围。
在HL-2A上开展的双波协同实验中发现LHW的耦合因ECW的注入得到改善。本文基于LHW的耦合理论，给出了LHW对等离子体的反射系数的表达式，分析了LHW的耦合特性，指出存在一个最佳的密度、密度梯度值使LHW的反射系数最小；研究了ECW注入等离子体后产生的径向输运（pump-out），提升了等离子体边缘的密度，增大了LHW天线口的密度，使其更接近LHW的最佳耦合密度值，降低了LHW的反射系数，改善了LHW的耦合。将理论分析得到的结果与实验结果进行对比，证实了理论分析的正确性。LHW耦合的改善增大了LHW的耦合功率，提高了其驱动的电流。由此，指出在实验中分析双波协同效应时，需要对协同净增电流进行修正，扣除掉因LHW耦合改善而提升的那部分电流。

关键词：电子回旋波，协同净增电流，低杂波耦合，捕获电子模

Research on the synergy of ECW and LHW

Plasma Physics

Master: Advisor: Prof.

Abstract
The magnitude of non-inductive current drive and its current profile are key factors for the stable operation of tokamaks. The two important methods of non-inductive current drive are lower hybrid current drive (LHCD) and electron cyclotron current drive (ECCD). The efficiency of LHCD is the highest and ECCD is much lower, but ECCD can drive highly localized current. Considering the driving characters of ECW and LHW, a proposal that the double waves are injected into plasma together is advanced then a series of the double waves experiments which is also called double waves synergy experiments are carried out since 80th. At the same time the theory investigations are also carried. The results of experiments and theory shows that the current driven by ECW and LHW simultaneously is larger than the sum of the current driven by ECW and LHW separately. This phenomena is called as synergy effect and the difference of the two currents is called as synergy current. The LHW coupling in the present of ECW and the relationship between the frequency and parallel refractive index of ECW and synergy current are researched in this thesis.
The magnitude of synergy current is influenced by working parameters of ECW and LHW and the plasma parameters. In this thesis the relationship between frequency and parallel refractive index of ECW and synergy current is investigated and across this problem the other parameters are treated as constants. The origin of the investigation is the resonance relations of ECW and LHW. The position of resonance of ECW in velocity space is determined by the frequency and parallel refractive index of ECW, and the matching relation of the double waves is determined. The matching relation is that there are the collective interaction area in the velocity space or collective interaction object for the double waves. The synergy effect is caused by the synergy electrons, and moreover the synergy electrons are from the matching of the double waves. For a series of frequency and parallel refractive index of ECW, the results computed by the Fokker-Planck code indicate the relation between the synergy current and the matching of the double waves. A parameter range of the presence of synergy effect is given by the computation result or the resonance of the double waves.
The improving of LHW coupling caused by the injection of ECW is investigated in the HL-2A. In this thesis, the reflection coefficient is calculated by the theory of LHW coupling, then the coupling characteristics are shown. The transport equations are given and calculated by numerical method for transport deduced by TEM. The numerical results shows the density of core plasma decreases and edge increases, the phenomenon is so-called pump-out. So the density of antenna mouth of LHW increases and is more close to the optimal coupling density, then the LHW coupling is improved. The experimental results are also given to contrast the previous results. The improved LHW coupling enhances the coupling power of LHW and the drive current increases. So to calculate the synergy current in synergy experiments it is needed to correct the synergy current by subtracting the current driven by the additional power of LHW from the synergy current.

Key words: Electron cyclotron wave, synergy current, LHW coupling, trapped electron mode

目 录
第一章 引言 1
1.1 核聚变及托卡马克 1
1.2 等离子体中的无感电流驱动和双波协同效应 3
1.2.1 LHCD 4
1.2.2 ECCD 6
1.3 LHW的耦合 8
1.4 论文的研究内容与组织结构 10
第二章 ECW的频率和平行折射率对协同净增电流的影响 11
2.1 速度空间中LHW和ECW的共振 11
2.1.1 LHW的共振 11
2.1.2 ECW的共振 12
2.2 ECW频率和平行折射率与协同净增电流的关系 15
2.2.1 Fokker-Planck代码 15
2.2.1 模拟结果 15
2.3 结果讨论 20
2.4 本章小结 20
第三章 ECW作用下LHW的耦合 21
3.1 LHW的耦合理论 21
3.1.1 LHW与等离子体的反射系数 21
3.1.2 LHW的耦合特性 26
3.2 ECW对LHW耦合的影响 29
3.2.1 ECW产生的输运——pump-out 29
3.2.2 输运方程的数值计算 32
3.2.3 实验结果 33
3.2.3.1 实验中ECRH引起的电子密度变化 33
3.2.3.2 双波实验中LHW的反射系数 35
3.3 LHW耦合改善对双波协同净增电流的修正 36
3.4 本章小结 37
第四章 结论与展望 38
4.1 总结 38
4.2 展望 39
参考文献 40
作者在读期间科研成果简介 43
声 明 44
致 谢 45

45

第一章 引 言
当今世界是一个高速发展的世界，对能源的依赖性较以往任何时候都更强，可以说能源是世界高速发展的动力。但是从现有的能源供应来看，依旧是以传统的能源，包括煤、石油、天然气等为主。众所周知，煤、石油、天然气是不可再生能源，且按照地球上现有的储量，难以维持世界高速发展的需求。根据预测，到本世纪中叶前后，全世界对能源消费的需求将超过传统能源的供给能力，出现了所谓的能源危机，人们必须在50-100年间，找到替代能源。同时，传统的煤、石油、天然气也不符合人们对低碳能源的需求。为此，开发洁净的新能源，成为了每个国家未来发展的重点之一。
目前，在新能源中主要有风能、太阳能、核裂变能等，其中，风能、太阳有较强的地域和环境限制，而核裂变能潜在的污染问题令人色变。人们由衷渴望出现一种洁净的，能一举解决能源问题的新能源。核聚变能因其固有的安全性、环境的优越性、燃料资源的丰富性，成为一种极有可能的选择。
1.1 核聚变及托卡马克
所谓核聚变，是指轻核（主要是氢的同位素氘和氚）聚合成较重的原子核，同时释放出巨大能量的过程。其主要反应为
， (1.1.1)
可见聚变反应能释放出巨大的能量，且反应产物中不存在放射性，高能的中子也易被介质慢化吸收，因此聚变能是清洁的能源。人们做过计算，一升海水中的氘通过聚变反应可释放出相当于300升汽油燃烧的能量。地球海水中的氘储量丰富，如果全部用于氘氘聚变反应可供人类用上亿年，甚至十数亿年。
太阳的发热发光是我们所熟知的核聚变过程，而人类在上世纪五十年代实现的氢弹爆炸也是核聚变反应。但氢弹爆炸是一种猛烈的能量释放过程，没有办法控制释放的能量用于社会生产和人类生活，为此人们想方设法，通过控制聚变反应过程来实现聚变能的利用。要想实现受控聚变，需解决这两个问题：首先要有极高的温度让原子核有足够的动能来克服核力，以实现核与核的聚合，这个温度需高达亿度；其次要使粒子们受到良好的约束，以发生充分的聚变反应，释放足够多的能量，实现聚变反应的自持进行。
由于聚变反应发生在极高的温度下，此时原子的电子完全被剥离，形成了高温等离子体。根据对高温等离子体的约束方式不同，可以将受控热核聚变分为磁约束聚变和惯性约束聚变两种。所谓磁约束，就是靠带电粒子在磁场中沿磁力线作螺旋运动来约束带电粒子，为避免磁力线首尾的粒子损失，通常把磁场设计成具有一定位形的闭合结构。著名的托卡马克（tokamak）就是一种典型的磁约束聚变装置，它的磁场分为环向和极向磁场，这两种磁场构成磁场的螺线形结构，能有效地约束住粒子。
托卡马克的中央是一个环形的真空室（有点像轮胎），其横截面一般为D型，在真空室外面缠绕着多组线圈，产生环向磁场和调节磁场。真空室内在欧姆电离或微波等预电离手段的作用下产生等离子体，然后通过微波、中性束注入等方式，驱动并维持一个大的等离子体环形电流，产生了极向磁场，由环形磁场和极向磁场构成了等离子体中的总磁场。托卡马克最初是由苏联的阿齐莫维齐等人在20世纪50年代发明的。因其能使等离子体中的电子、离子达到高温，且具有好的能量约束时间，实现了受控磁约束聚变的重大突破。为此各国相继建造或改建了一批大型托卡马克装置，从此进入了托卡马克研究热潮的时代。经过这几十年的发展，无论是与托卡马克相关的材料、器件，还是托卡马克整体的设计以及基于托卡马克的等离子体物理研究等都达到了一个全新的高度。特别值得一提的是上世纪80年代高约束模（H-mode）的发现，使等离子体能在高温和高密度条件下获得良好的约束推动了磁约束聚变的研究。磁约束聚变研究取得的巨大进展，使人们对磁约束热核聚变的未来充满了信心。本世纪初，由中、欧、日、韩、俄、美、印七方共同参与建造的国际热核聚变实验堆（ITER），见图1.1[57]，是目前最大最先进的托卡马克，已在法国卡达哈什开始建造，ITER计划的确立及ITER的建造使人类在和平利用聚变能的道路上迈出了坚实的一大步。

图1.1 国际热核聚变实验堆ITER

1.2 等离子体中的无感电流驱动和双波协同效应
托卡马克中，极向磁场由等离子体中的环电流产生，所以等离子体电流是维持装置磁场位形的关键因素之一。等离子体电流可以通过感应方式产生，也可以由无感方式产生。前者是通过变压器产生的磁场变化，在等离子体中感应出欧姆电场形成的；后者是通过外置的辅助手段，在等离子体中产生分布函数的不对称性[1]，或电阻的不对称性[2]等形成的，由于这部分电流不是通过感应方式产生，因此被称为无感电流驱动。
无感电流驱动能产生大的环电流以形成约束等离子体的极向磁场，还能调整电流剖面的形状来控制等离子体的不稳定性和输运特性，因此无感电流驱动是维持装置稳态运行的关键。低杂波电流驱动（LHCD）和电子回旋波电流驱动（ECCD）是两种主要的无感电流驱动方式，其中，LHCD具有高电流驱动效率，ECCD驱动的电流具有高局域性[14]。鉴于LHW和ECW与等离子体的作用方式不同，以及ECCD的效率远低于LHCD，但能驱动出高局域性的电流，由此人们提出了将两种波一起作用在等离子体上的想法。从上世纪80年代起，陆续开展了双波共同注入的实验和理论模拟研究[3-10]。研究结果指出，LHW和ECW共同注入等离子体，驱动出的电流大于两种波单独注入时驱动出的电流之和，
, (1.2.1)
这一现象称为双波协同效应。双波协同效应于2004年在Tore supra装置上得到了实验证实[6]。目前, 国际上公认的协同效应的机制是双波在相空间内引起了协同电子[6, 9]。所谓协同电子, 是指电子在ECW的作用下获得了更高的垂直速度和平行速度,进入了LHW的共振区, 被LHW再次加速形成了高能电子。 这部分高能电子沿环向的运动产生了电流，把这个电流称为协同净增电流[10, 14]
， (1.2.2)
1.2.1 LHCD
LHCD最早是由N. J. Fisch在上世纪70年代提出的[1]，现已成为托卡马克中最重要的无感电流驱动手段之一。LHW由天线发射进入等离子体，通过朗道阻尼（Landau damping）在等离子体中发生波-粒子共振，共振的条件为[11]，即只有那些速度跟LHW平行相速度相当的粒子才能与波发生能量交换，使粒子在速度空间的分布函数发生形变，在处出现一个平台（图1.2）。变形后的分布函数与初始分布函数中粒子的数目是相同的，但粒子的总动能增大，这部分能量是波交给粒子的，波被粒子阻尼了。由图1.2看出变形后的分布函数具有左右不对称性，这个不对称性表现为在波的平行速度方向上产生了一个净的粒子流，由这个粒子流形成的电流就是LHW驱动出的电流。因为只要粒子的速度和LHW的相当，就可以和LHW发生能量交换，根据真实空间中粒子的速度分布知，空间每一位置都有各种速度的粒子，只是粒子的数目不同，因此LHW进入等离子体过程中在整个波迹上都可能发生朗道阻尼，这意味着LHW的沉积剖面较宽。LHW通过朗道阻尼有效提高了粒子的平行速度，形成了电流，同时，粒子平行速度的提升也意味着其碰撞率下降，所以LHW的电流驱动效率较高。

图1.2 朗道阻尼作用下分布函数变化

接下来从单个粒子能量变化出发，来简要分析LHW与粒子的波-粒子相互作用，即朗道阻尼[11]。
设由LHW引入的静电扰动为
, （1.2.3）
则带电粒子在此电场作用下的运动方程为
, （1.2.4）
电场是一阶小量，设速度，初始时。方程(1.2.2)的零阶解为
, （1.2.5）
则方程(1.2.2)的一阶解为
, （1.2.6）
由此得到位移扰动
, （1.2.7）
其中，。则粒子对初始位置的平均的能量变化为
. （1.2.8）
若将(1.2.6)式对分布函数求平均，则可得到所有粒子在波作用下的能量变化
. （1.2.9）
上式指出，如果运动速度比波相速度稍慢的粒子数比稍快的粒子数多，即在处，若，则粒子系统从波得到能量，波被衰减。相反，若在处，则粒子系统把能量交给波，波的振幅增大。这种无碰撞阻尼机制就是著名的朗道阻尼。
1.2.2 ECCD
ECCD最早是由Fish和Boozer[2]提出，后来Ohkawa[12]又提出了ECCD的另外一种机制。ECW注入等离子体后，波通过回旋阻尼与电子发生共振，共振条件为[11]，提升了电子垂直磁场方向的速度。通过波-电子相互作用后，电子的速度增加，使电子在其平行速度方向上的碰撞率减少，在等离子体中产生出一个净的粒子流，形成了电流；其次，若在ECW作用下电子的垂直速度增加，使其进入捕获区，电子平行速度方向侧的捕获电子增多，通过捕获区中电子间的碰撞，使相反方向的电子数目增多，破坏了电子平行速度分布函数的左右对称性，宏观表现为在等离子体中出现了电流。由这两个ECCD作用机制驱动出的电流就是所谓的Fish-Boozer电流和Ohkawa电流。
根据回旋阻尼的作用条件，当电子的回旋频率或其谐波频率与ECW的频率相当时，发生共振。而电子的回旋频率与磁场成正比，在托卡马克中，磁场从环的内侧向外侧递减的，托卡马克的横截面上大小相等的磁场大致是一条从上而下的曲线，ECW的共振就发生在这条贯穿横截面上下的曲线附近[13]，见

图1.3 托卡马克横截面上ECW的共振线

图1.3。ECW在等离子体中以准光学形式传播，具有强的方向性，所以电子与ECW的作用集中发生在共振线上某个位置的附近，具有强的局域性，因此ECW的沉积剖面很窄。另一方面，因ECW不是直接提升电子的平行速度，而是通过提高电子的垂直速度，降低等离子体电阻或者使反方向的电子数目增加，形成电子运动或分布函数的不对称性，进而形成电流，所以ECW的电流驱动效率比LHW的低。
1.3 LHW的耦合
LHW具有高的电流驱动效率，一般而言，其驱动的电流与进入到等离子体的LHW功率成正比[14]
, (1.3.1)
其中为LHW的电流驱动效率，为进入等离子体中的LHW功率。所以在相同的驱动效率下，提高驱动电流的唯一途径是增大。速调管发出的波通过矩形波导传输，再经由天线耦合到等离子体中，在耦合过程中一部分波能在等离子体边缘被反射，减少了进入等离子体的LHW功率。定义反射部分的功率与天线出射功率的比值为LHW的反射系数。减少LHW的反射系数，增大进入等离子体中的波功率，是提高LHW驱动出的电流的有效手段。在托卡马克中，作为大功率微波器件的速调管发出的波功率很大，在未来的托卡马克上更会配备MW甚至10MW级的LHW系统，如此高功率的微波在等离子体边缘的反射将变得十分可观，反射回的波功率打在装置上对装置构成潜在的威胁。为此研究改善LHW与等离子体的耦合是非常有意义的。
LHW与等离子体的耦合受诸多因素的制约[19- 27]，如LHW的出射参数，包括频率、波谱（图1.4(a)[15]）等，以及天线的结构，包括子波导数目、尺寸、子波导的形式及排列等，还有天线口处等离子体的密度、密度梯度等，甚至与磁场位形也有关系[28]。因此LHW的耦合问题是一个多因素的复杂问题。在上世纪70年代，M. Brambilla提出了一种新的天线结构Grill——多结波导阵列天线（它由并排成几行几列的矩形金属子波导构成，见图1.4(b)[16]）来发生LHW，通过调整出射LHW的波谱，使LHW满足等离子体的可近性条件来改善LHW的耦合[17 ]。今天，新型的LHW天线依然是基于M. Brambilla提出的多结波导阵列天线，只是在结构上更复杂，功能上更多样化，大大提高了LHW的耦合和控制[16,18]。M. Brambilla以及后续的研究[19- 27]也指出，天线口的等离子体密度、密度梯度也影响着LHW的耦合。为此可以采用如往天线口送气[29-31]、移动天线或使等离子体偏移[22]等方法来提高天线口的密度使LHW耦合改善。

图1.4 (a)LHW波谱，蓝色曲线（细）为理论计算，黑色曲线（粗）为测量值；(b)Tore supra上先进的LHW天线——PAM

1.4 论文的研究内容与组织结构
本文在ECW和LHW双波协同驱动的背景下研究了两个问题：首先，研究了ECW的频率和平行折射率对协同净增电流的影响；其次，研究存在ECW时LHW的耦合情况。对第一个问题，基于ECW和LHW的共振条件，给出ECW和LHW在速度空间的共振情况，在其他参数不变的情况下，重点分析了ECW在速度空间的共振与ECW的频率和平行折射率间的依赖关系，指出ECW的频率和平行折射率调节着ECW在速度空间的共振及其位置，决定了ECW与LHW的协同作用；利用Fokker-Planck code计算协同净增电流大小的变化规律与双波协同作用区大小的变化规律一致，从而说明了ECW和LHW在速度空间匹配的好坏是决定协同电流大小的关键因素，并给出了存在协同效应的ECW参数范围。第二个问题，从LHW的耦合理论出发，得到LHW对等离子体的反射系数的表达式，数值分析了LHW耦合特性，获得了LHW的耦合与天线口等离子体密度、密度梯度的关系；然后通过研究ECW注入等离子体后加强了TEM模，引起等离子体的径向输运——pomp-out，改变了天线口的密度，从而改善LHW的耦合，并与实验结果进行了比较，两者的结果在定性上是一致。
本论文组织结构如下：
第一章：对核聚变和托卡马克做了一个简单的背景介绍；其次简要介绍了维持托卡马克稳态运行的关键——无感电流驱动，包括LHCD和ECCD；接着介绍了本文的基础——双波协同效应；然后介绍了LHW的耦合；最后简要描述了本文研究的主要内容和论文的组织结构。
第二章：介绍速度空间中ECW和LHW的共振，包括LHW的共振，ECW的共振；其次介绍了ECW频率和平行折射率与协同净增电流的关系，包括Fokker-Planck代码，模拟结果最后对结果进行了讨论。
第三章：介绍LHW的耦合理论，包括LHW与等离子体的反射系数，LHW的耦合特性；其次介绍ECW对LHW耦合的影响，包括了ECW产生的输运——pump-out，输运方程的数值计算和实验结果；最后对双波协同电流进行修正。
第四章：对硕士阶段的工作进行了总结，对未来的研究做了展望。

第二章 ECW的频率和平行折射率对协同净增电流的影响
无感电流驱动是维持托卡马克稳态运行的关键，LHCD和ECCD是主要的无感电流驱动方式。但是LHW和ECW与等离子体中电子的作用机制不同，导致它们在无感电流驱动中扮演的角色不同[6]。由LHW的共振条件知，能与LHW发生相互作用的电子具有跟LHW相速度相当的平行速度，而由ECW的共振条件知，与ECW发生相互作用的电子的平行速度有一个大的范围，但根据装置中电子的分布情况，与ECW发生相互作用的电子的平行速度一般较LHW的低。LHW通过朗道阻尼与电子相互作用，能有效提高了电子的平行速度，减少了电子的碰撞频率和捕获率；ECW通过回旋阻尼和电子相互作用，提高电子的垂直速度，所以LHW能驱动出比ECW更大的电流。LHCD的优点在于电流驱动效率高，而驱动高局域性的电流时ECCD的优点。所以LHCD主要起着电流驱动作用，产生大的环电流以约束等离子体；而ECCD则可以用作控制之用，改变电流剖面，控制等离子体的不稳定性和输运。为此，提出了将两种波共同注入等离子体的想法。这个想法被在诸多装置上开展的实验所观察，也被理论模拟所研究。研究结果都指出，LHW和ECW共同注入等离子体，驱动出的电流大于两种波单独注入时驱动出的电流之和，见(1.2.1)式，这一现象称为双波协同效应。
但是这些研究都指出，双波协同效应与等离子体参数，LHW和ECW的入射参数密切相关[9,10,54,55 ]，参数选择不恰当可能导致协同效应减弱，甚至产生负效应。为此，有必要研究双波协同效应与等离子体参数和LHW、ECW的入射参数之间的关系，才能有效地利用双波协同效应，驱动出更大的电流，维持装置的稳态运行。
2.1 速度空间中LHW和ECW的共振
21.1 LHW的共振
LHW的共振条件为[11]
， （2.1.1）
其中，为LHW的频率，为LHW的平行波矢，为共振电子的平行速度。将代入(2.1.1)式，得
， （2.1.2）
为LHW的平行相速度。(2.1.2)式说明当电子的平行速度与波的平行速度相当时发生波-粒子共振，波-粒子通过朗道阻尼进行能量交换。从(2.1.2)式可以看出，LHW在速度空间的共振与电子的v⊥无关，在速度空间中是一条平行于v⊥轴的直线。因为LHW的波能是以波谱形式从天线出射，则LHW的相速度存在一个范围（，）。
2.1.2 ECW的共振
ECW的共振条件为[11]
， （2.1.3）
其中，为ECW的频率，为ECW的平行波矢，为共振电子的平行速度，为谐波次，为电子的回旋频率，为相对论因子。电子的速度可以写成，将、归一化到热速度（已归一化到光速），即，，其中和分别为电子的归一化平行和垂直速度。把，，和代入(2.1.3)式，得
， （2.1.4）
其中
将(2.1.4)式改写为
， （2.1.5）
若要上式有实数解，必须有，解得
。 （2.1.6）
取电子温度，若给定和，由(2.1.6)式可以得到的取值范围，见图2.1。

图2.1 、、和的关系

从图中可以看出，当时，只有的共振线，才满足，即存在与ECW共振的电子；而当时，对所有的都符合，即不管取什么值，总是存在与ECW共振的电子。因此只有选择适当的，使其满足，才存在ECW的共振。
若给定，则ECW在速度空间的共振由决定。取电子温度，图2.2给出了=0.5，0.6，0.8，1.0时，ECW在速度空间的共振随的变化情况，从0.1变化到1.0。在图2.2中也画出了ECW的共振线，，分别为归一化到热速度后的，。

图2.2 =0.5，0.6，0.8，1.0时ECW的共振随的变化

从图2.2可以看出，随着的增大，ECW的共振曲线从高往低移动，且共振曲线的数目越来越多。当=0.5，0.6时，只有=1.0，0.9两条共振曲线；当时，出现=1.0，0.9，0.8，0.7四条共振曲线；当时，则出现了所有的共振曲线。共振曲线的数目随值变化的原因是在(2.1.6)式中，只有当所取的值满足时，才存在ECW的共振，也就是图2.1中在给定值的直线下方的那些曲线所对应的才满足ECW的共振，而在直线上方，由于使(2.1.5)式中的为虚数，故不存在共振。
从图2.2还可以看出LHW的共振区和ECW的共振曲线在速度空间中是否有共同作用的区域。根据协同效应的机制[6]，在速度空间中，电子在ECW的作用下获得了更高的和，进入LHW的共振区，在LHW驱动下形成了高能电子，同时，LHW驱动出的高能电子在ECW的作用下获得了更大的速度，从而驱动出更大的电流。所以协同效应的条件之一是，在速度空间中LHW和ECW应当存在共同作用的区域，如图2.2中=0.6，0.8，1.0的情况。
2.2 ECW频率和平行折射率与协同净增电流的关系
2.2.1 Fokker-Planck代码
本文所用的代码是包含相对论效应的2D Fokker-Planck代码，代码考虑了反跳平均，捕获电子效应，以及波加热模式下的准线性扩散系数等，可用于描述托卡马克在波加热作用下等离子体粒子的动力学过程，可以计算电子的分布函数。
在双波驱动时Fokker-Planck方程为[56]
， （2.2.1）
其中，，分别为LHW和ECW的准线性扩散系数，为碰撞项。代码给出了两个准线性扩散系数的具体表达式，通过计算包含碰撞项的Fokker-Planck方程，得到了电子的分布函数，由电子的分布函数，进而得到了电流等信息。
2.2.2 模拟结果
在用2D Fokker-Planck代码模拟中，取，磁场恒定，让变化使得=0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，从0.1变化到1.0，其他等离子体参数和波的入射参数保持不变，驱动出的电流随时间的分布见图2.3。

图2.3 =0.5，0.6，0.8，1.0，双波驱动的电流随的变化

图2.3中画出了双波驱动的电流，作为对比也画出了LHW单独驱动的电流。因ECW驱动的电流小于10-2量级，远小于，所以在画图时忽略了不同参数的ECW驱动的电流，认为。在后面所画的图中，同样忽略了。
从图2.3可以看出，双波驱动出的电流随着和的变化而变化。当=0.5时，所有的曲线都重叠在一起，即双波协同驱动的电流，定义协同净增电流为[14]
， （2.2.2）
则时没有协同净增电流；当时，只有时存在协同净增电流，但协同净增电流很小；当，只要都存在协同净增电流；当时，除外都存在协同净增电流，且的协同净增电流最大。这些结果可以从图2.2双波在速度空间的共振得到解释：
1) 图2.2(a)中，ECW在速度空间存在=1.0，0.9的共振曲线，但这两条共振曲线都没有和LHW的共振区相交，LHW和ECW没有协同作用的区域，所以没有协同净增电流，这与图2.3(a)的结果一致；
2) 图2.2(b