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全概率公式与贝叶斯公式的推广及应用

摘 要 本文将全概率公式与贝叶斯公式进行了推广，并举例说明了推广后的公式在实际应用中比原来的公式更广泛．此外，本文结合实例说明了全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广定理在产品检验、统计决策中的应用．
关键词 完备事件组；全概率公式；贝叶斯公式；先验概率；后验概率
中图分类号 O211.9

The generalization and application of the total probability formula and the bayesian formula
Abstract: In this paper，we generalize the total probability formula and the bayesian formula，using many examples to illustrate that the generalizable formulas in the practical application are wider than the original formulas．Moreover，this paper combines many examples to explain the total probability formula and the bayesian formula and their generalizable theory in checking product，statistical decision．
Keywords: Complete event group；The total probability formula；The bayesian formula；The prior probability；The posterior probability.

1 引言
全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，起源于17世纪．发展到现在，已经深入到科学与社会的许多领域．从17世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究．长期以来，在大批概率统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，形成了众多分支，在现代数学中占有重要的地位．其中贝叶斯公式于1763年由贝叶斯给出．它是在观察到事件发生的每个原因的概率．贝叶斯公式在实际生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果(事件)发生的最可能的原因．目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考虑以往的信息现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性．其中贝叶斯公式主要用于处理与，是进行统计决策的重要工具．
概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征．利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治．两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息．灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具．

2 预备知识
定义 如果个事件满足下列两个条件
(1)两两不相容；
(2)；
那么，我们称这个事件构成样本空间的一个划分，也称构成一个完备事件组．
定义 (乘法公式) 设是个事件，时，则

定义 (加法公式) 设是任意的个事件，则

引理 设个事件构成样本空间Ω的一个划分，是一个事件，当时，则有
(1)全概率公式

(2)贝叶斯公式

引理说明目标事件发生的概率是在划分基础上两两事件组的概率之和，可视为事件的诱发事件，为诱发成功的可能；若已发生，则来自诱发成功的可能是，这本是一个条件概率使用乘法公式和全概率公式之后得到贝叶斯公式．

3 主要结论及证明
定理3.1 设是先后个随机实验过程中的划分，为目标事件．当

时，则有
(1)全概率推广公式

(2)贝叶斯推广公式

其中，
证明 (1)

(2)

同理，可证其他的个结论．其中，
推论3.1 设是一列事件，添加后，或其自身构成样本空间的一个分割，则对任意事件，当有

例1 设甲、乙、丙三个士兵同时向一个目标射击，每人击中目标的概率为，一人击中目标被摧毁的概率是，两人击中目标被摧毁的概率是，三人被击中目标摧毁的概率是，求目标被摧毁的概率．
解 令“目标被摧毁”，=“有个人击中目标”，
，
，

其中．虽然不构成样本空间的分割，但添加=“三人均未击中后就构成的分割，而，从而

推论3.2 设和是先后两个实验过程的划分，目标事件，当时，则有

证明

例2 已知甲乙两个口袋中有4个白球和5个黑球，先从甲袋中任取1个球后放入乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球．试问
(1)最后从甲袋中取出的1个球是黑球的概率；
(2)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率；
(3)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率；
(4)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的也是黑球的概率．
解 设表示“从甲袋中取出个黑球放入乙中”，；表示“从乙袋中取出个黑球又放入甲中”，；表示“第二次从甲中取出1个黑球”．
由题意可得

由全概率推广公式得

推论3.3 设为样本空间的一个分割，即互不相容且，为两个事件，当时，有
．
特别地，当分别与独立时，有
例3 设有两箱相同的产品，第一箱内装50件，其中10件合格品，第二箱内装30件，其中18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率．
解 设表示“抽取第箱”表示“第次取出的产品是合格”得

由于

由全概率公式得

推论3.4 设二维随机变量的联合密度函数为，边缘密度函数分
别为，，那么其条件密度函数可以由下式来表示

则有

例4 某保险公司想对其索赔额建立一个模型，以此期望产品获得好的利润．根据历史数据，认为具有利好风险的投保人，其索赔额的密度函数为，而认为具有力坏风险的投保人，其索赔额的密度函数则为其中索赔额为1000元人民币为一个单位，现已知指定的投保人具有利坏风险的可能性是30%，问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率有多大?
解 设表示索赔额，表示风险的指示变量．则由所给信息知，有利坏风险时，，其概率为30%；设有利好风险时，，其概率为70%，从而有

那么可得随机变量X的密度函数为

而我们要求的是索赔额的概率，由密度函数和概率之间的关系可得

即索赔额大于一个单位的概率．
在这个问题中关键是要求出索赔额在不同风险下的密度函数，为此我们必须要把题设的信息数量化，设一个指示变量，从而使问题变得更容易求解，这就体现全概率公式推广推论3.4在实际保险中的应用也是很广泛的．
推论3.5 设和是先后两个实验过程中的划分，为目标事件．当时，则有
(1)
(2)
(3)
证明 (1)
同理可证(2)和(3)．
例5 已知两个箱子中各装有3个不合格品和5个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第一箱中取出一个是合格品的概率．
解 设表示“从第一箱中取出个合格品放入第二箱中”；表示“从第二箱中取出个合格品放入第一箱中”；表示“再从第一箱中取出一个合格品”．由题意得

(1)由推论得
，
同理可得(2)和(3)
，
．
此题还可以进一步思考若已知最后从甲袋中取出的是黑球，则它是第一次从甲袋中取出的那个黑球的概率；已知最后从甲袋中取出的是黑球，则此球是乙袋中的概率
例6 一个学生接连参加同一课程的两次考试，若第一次及格且第二次及格的概率为；若第一次不及格且第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
解 记={该学生第次考试及格}，显然，为样本空间的一个划分，且已知于是由全概率公式得

由贝叶斯公式得

例7 一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“”，失败记作“”，推销员的主观概率，成功的收益为50000元，失败的收益为-3000元，请咨询公司作预测调查，有两种调整方法(1)(2)，其费用分别为2000元，3000元，若同时进行(1)(2)，费用为4000元，了解咨询公司的业绩，预报的结论为
对①
对②
(其中，可行；不可行)
现有如下六种决策：
(1)不进行调查；(2)只进行①；(3)只进行②；(4)①②同时进行；(5)先做①，视情况
后做②；(6)先做②，视情况后做①．
若效益系数为风险中性，请试选择一种最好的决策?
解 分别计算每种决策的期望收益（收支）
(1)不进行调查
推销时，
不推销，期望效益（收支）为0．其中，
(2)只进行调查方法①

表示调整结果为不可行已用咨询费2000元．表示可行导致推销．此时运用贝叶斯公式

因而期望收支（效益）

(3)只进行②，同(2)一样用贝叶斯公式有
(4)同时进行①②，有四种可能结果，即．

同理有再运用贝叶斯公式，注意到此时咨询费用为4000元，进一步计算有
(5)先进行①，若结论为不可行，则不进行②，若结论为可行，则进行②，经计算有

(6)同(5)，有

根据期望准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为6796，对应的决策是，即只进行②是最好的决策，此例还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合应用是统计决策中的一个重要方法．

4 总结
通过上面的推广，推论及应用，我们可以知道全概率公式与贝叶斯公式以及这两个公式的推广推论在多方面都有应用，从他们的应用中，可以看到全概率公式与贝叶斯公式在实际生活的应用中其实是相互关联，相互联系的．由贝叶斯公式的证明知，贝叶斯公式其实是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的．在解决我们生活中较复杂的问题时往往需要综合应用这两个公式，有时候单纯应用一个公式很难解决问题的，综合应用这两个公式时却往往使问题更容易解决．
由于研究周期较短，本研究还有很多不足之处，本文只是举了几个例子来说明它们的应用，事实上它们的应用远不止这些．另外还有什么样的问题应该用全概率公式来解决?什么样的问题应该用贝叶斯公式来解决?什么样的问题要综合运用这两个公式来解决?在什么样的问题要具体应用几步全概率公式或贝叶斯公式才能解决?本文都没有得出具体的方法和分类来，这些都是今后有待进一步深入研究的问题．总之，这两个公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息．成为我们解决问题的有效工具．
致谢 感谢王学忠老师的细心指导．

参 考 文 献
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