2-10戴维南定理和诺顿定理.doc

第二章
§2-10 戴维南定理和诺顿定理

一、戴维南定理

图2-10-1

二端网络也称为一端口网络，其中含有电源的二端网络称为有源一端口网络，不含电源的二端网络称为无源一端口网络，它们的符号分别如图2-10-1（a）（b）所示。

图2-10-2

任一线性有源一端口网络（如图2-10-2（a）所示）对其余部分而言，可以等效为一个电压源和电阻相串联的电路（如图2-10-2（b）所示），其中的大小等于该有源一端口网络的开路电压，电压源的正极与开路端高电位点对应；等于令该有源一端口网络内所有独立源为零（即电压源短接、电流源开路）后所构成的无源一端口网络的等效电阻。这就是戴维南定理，也称为等效电源定理；与串联的电路称为戴维南等效电路。
下面证明戴维南定理，如图2-10-2（a）所示，电阻R上的电压、电流为确定值，利用替代定理，将图2-10-2（a）中的R替代为电流源，如图2-10-2（c）所示。因为网络A为线性有源一端口网络，因此，可利用叠加定理，将上述图（c）中的电压U看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和。第一个分量是由网络A中的独立源作用所产生的，即令独立电流源为零，将端口断开后在端口产生的开路电压，如图2-10-2（d）所示；第二个分量是由电流源I单独作用所产生的，即令网络A中所有独立源为零后在端口产生的电压，如图2-10-2e）所示，这时有源网络A即变为相应的网络P，值得注意的是倘若A中含受控源，受控源应依然保留在网络P中。观察图（e），设从端口向左看的入端等效电阻为，即网络P的入端等效电阻为Rd，则有，两个分量叠加得：。对照图2-10-2（b）可知，上述图（b）与图（a）具有相同的端口特性方程，由此可知图（b）就是图（a）的等效电路，戴维南定理得证。
要计算一个线性有源一端口网络的戴维南等效电路，其步骤和方法为：
1、计算：利有电路分析方法，计算相应端口的开路电压；
2、计算：当线性有源一端口网络A中不含受控源时，令A内所有独立电源为零后得到的无源一端口网络P则为纯电阻网络，利用无源一端口网络的等效变换就可求出端口等效电阻；当线性一端口网络A中含有受控源时，令A内所有独立电源为零后得到的一端口网络P中仍含有受控源，这时，可采用加压法和开路短路法求。

图2-10-3

（i）加压法：如图2-10-3（a）所示，令有源一端口网络A内所有独立源为零后得到一端口网络P（注意受控源仍需保留），在网络P的端口加上一个独立电压源U（或独立电流源I）计算出端口电流I（或端口电压U），那么。
（ii）开路短路法：图2-10-3（b）所示为戴维南等效电路，从中可知：短路电流，当然。当求出有源线性一端口网络A端口的开路电压、短路电流后，也就求出来了（注意的参考方向）。

图2-10-4 例2-10-1附图
例2-10-1 利用戴维南定理求图2-10-4（a）所示电路中的电流I为多少？

解：将A、B左边部分电路看作有源一端口网络，用戴维南等效电路替代后如图2-10-4（b）所示。
（1）求：将A、B端口开路，得到图2-10-4（c）所示电路。
由米尔曼公式得：

（2）求等效电阻：令A、B以左的三个独立源为零，得到图2-10-4（d）所示电路，则A、B端口的等效电阻为：
（3）从图2-10-4（b）中求I：

例2-10-2 在图2-10-5（a）所示电路中，已知，，求A、B端 (
图2-10-5 例2-10-2附图
口的戴维南等效电路。

解：（1）求：图2-10-5（a）中A、B端口处于开路状态，列写KVL方程：

（2）求等效电阻：下面分别用两种方法求解。
（i）开路短路法：开路电压已在（1）中求得，现求A、B端口的短路电流。将A、B端口短接，如图2-10-5（b）所示，从图中易看出：
， 即
则受控源则有：

（ii） 加压法：将独立电压源置零后，然后再在A、B端口加上一个电压源，如图2-10-5（c）所示。
列写KVL方程：
又因为：
所以：

最后，得到A、B端口的戴维南等效电路如图2-10-5（d）所示。

二、最大功率的传输条件：
当一个线性有源一端口网络化为戴维南等效电路后，在其端口接上可变电阻R，如图2-10-6所示。当已知，那么当R为多少时它能获得最大功率？获得的最大功率又为多少？

图2-10-6

令，得到： （式2-10-1 ）
此时 （式2-10-2）
（式2-10-1）就是最大功率的传输条件。若是信号源内阻，R是负载电阻，则当满足最大功率传输条件时，传输效率为50%，即有一半功率消耗在信号源内阻上。
例2-10-3 在图2-10-7（a）所示电路中，两个有源一端口网络、串联后与R相连，从改变，测得时，；时，。
（1）当R为多少时，能获得最大功率？
（2）当将图2-10-7（b）所示电路代替R接于A、B端口时，，VCVS的控制系数，求端口电压。

图2-10-7例2-10-3附图

解：（1）首先将两个有源一端口网络化为戴维南等效电路，分别记为、、、，再将、等效为一个电压源，记为，将串联的、等效为一个电阻，于是串联的两个有源一端口网络最后等效为一个电压源和一个电阻的串联，如图2-10-7（c）所示。

代入已知条件：

解之得：
所以当时，获得最大功率：

（2）将图2-10-7（b）所示电路接于A、B端口，利用节点电压法，由米尔曼公式得：

其中：
最后得到：
三、诺顿定理
任一线性有源一端口网络（如图2-10-8（a）所示）对其余部分而言，可以等效为一个电流源与一个电阻相并联的电路（如图2-10-8（b）所示），其中的大小等于有源一端口网络端口的短路电流，电流的方向从高电位点流出；等于戴维南定理中的，即等于令有源一端口网络内所有独立源为零后所构成的无源一端口网络的等效电阻。

图2-10-8

利用戴维南定理，将网络A化为、串联电路，再根据实际电压源与实际电流源模型的等效变换，将、串联组成的实际电压源模型化为由、并联组成的实际电流源模型，其中，显然，从图2-10-8（b）中易看出就是网络A的短路电流，诺顿定理得证。

图2-10-9

下面再利用替代定理、叠加定理，采用证明戴维南定理对偶的方法来证明诺顿定理。如图2-10-8（a）所示，电阻上的电流为确定值，利用替代定理，用一个电压源U替代电阻R，如图2-10-9（a）所示。因为有源一端口网络A为线性有源二端网络，利用叠加定理，将图2-10-9（a）中的电流I看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和：第一个分量是A中所有独立源作用、令电压源U为零时产生的电流，即A的短路电流，如图2-10-9（b）所示；第二个分量是电压源U单独作用、令A中所有独立源为零时产生的电流，如图2-10-9（c）所示，假设令A中所有独立源为零（若含有受控源，受控源依然保留）后所形成的网络P的入端电阻为，则，两分量叠加得到：。比较图2-10-9（a）与图2-10-8（b），线性有源一端口网络A与电流源、电阻并联电路在端口上具有完全相同的端口特性方程，因此它们对其余部分而言彼此等效，故而诺顿定理成立。
要计算一个线性有源一端口网络A的诺顿等效电路，只要求出网络A的短路电流、令网络A中所有独立源为零后的网络P的入端等效电阻即可。诺顿定理中的与戴维南定理中的是完全相同的，因此求解方法也完全相同。

图2-10-10例2-10-4附图

例2-10-4 利用诺顿定理计算图2-10-10（a）所示电路中的电流I。

解：（1）求短路电流：将A、B端口短接，右边的电阻被短接，得到图2-10-10（b）所示电路。

（2）求等效电阻：令左边12V的电压源为零，左边电阻被短接，如图2-10-10（c）所示。

（3）画出AB端口以左电路的诺顿等效电路，如图2-10-10（d）所示。

图2-10-11例2-10-5附图
例2-10-5 求图2-10-11（a）所示电路的诺顿等效电路。

解：（1）求短路电流：将两端短接，如图2-10-11（b）所示。
由KVL有：
由KCL有：
（2） 求A、B端口的等效电阻：令2V的电压源、1A的电流源为零，受控源仍然保留，得到图2-10-11（c）所示电路。

戴维南定理和诺顿定理是线性电路中的重要定理，它可将任意复杂的线性有源一端口网
络化为等效的、简单的含内阻的电压源或电流源。当只需求电路中某支路的电流或电压时，可将该支路拉出，其余部分看作一端口有源网络A，将A化为戴维南或诺顿等效电路，则被拉出支路的电流或电压就易于求解了。当有源一端口网络的拓扑结构和参数都未知，用一个方框（也称为所谓黑匣子）表示时，如果知道它是线性的，就可以用两个参数、或、来描述它，并可以用实验方法求出其戴维南或诺顿等效电路。

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