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染色问题的计数方法
河北张家口市第三中学 王潇
与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。
一、 区域染色问题
1. 根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。
例1 要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？
分析 先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种
2. 根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。
例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
分析 依题意至少要选用3种颜色。
（1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有种。
（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有＋2＝24＋2×24＝72种。
3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

（1）四格涂不同的颜色，方法数为；
（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为2；
（3） 两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为。因此，所求的涂法种数为＋2＋＝260种
3. 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论
例4 如图4，一个六边形的6个区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。
解： （1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法
（2）当相间区域A、C、E着两种不同颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有3×2×2种着色方法，故共有×3×2×2＝432种着色方法。
（4） 当相间区域A、C、E着三种不同颜色时，有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法，此时共有×2×2×2＝192种方法。
故总计有108＋432＋192＝732种方法
二 点染色问题
点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。
例5 将一个四棱锥S－ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色
（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A、B、C、D四点，，此时只能A与C，B与D分别同色，故有＝60种方法。
（2） 若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有＝240中方法。
（3） 若恰用五种颜色，有＝120种染法。综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。
解法2 设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S、A、B染色，有5×4×3＝60种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D与A、C、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种
评注 图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。您不妨一试。
（1） 用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A、B、C、D、E染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）
（2） 如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？
三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：
（1） 根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2） 根据相对的线段是否同色分类讨论。
例6 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8）
解法1 （1）使用四种颜色有种；
（2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有种；
（3） 使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种。
因此，所求的染色方法数为＋＋＝84种
解法2 染色按AB-BC-CD-DA的顺序进行，对AB、BC染色有4×3＝12种染色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择；当CD与AB不同色时，CD有2种可供选择的颜色，DA有2种可供选择的颜色，从而对CD、DA染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数为12×7＝84种。利用相同的方法可解决例7
例7 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个区域内坐定。有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法共有多少种？
例8 用六种颜色给正四面体A－BCD的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）
分析 正四面体有三组对棱AB与CD、AC与BD、AD与BC。满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
解 （1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的组内对棱同色，但组与组之间不同色，故有种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有种方法。
（4） 若恰用六种颜色染色，则有种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为＋＋＝4080种
四 面染色问题
例9 （1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？
（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）
分析 显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论。
解 根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。
（1） 用了六种颜色，确定某种颜色（例如红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种不同染色方案，这里的“第一面”总是相同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余3个面有3！种染色方案，根据乘法原理n1＝5×3！＝30种
（2） 用了五种颜色，选定五种颜色有＝6种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2＝×5×3＝90
（3） 用了四种颜色，仿上分析可得n3＝＝90
（4） 用了三种颜色，n4＝＝20
故总的染色方案有n＝n1＋ n2 ＋n3 ＋n4＝230种。