同余法解题.doc

完整word)同余法解题
五年级奥数培训资料
第六讲 同余法解题

一、 同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：  两个整数，a，b，如果他们同时除以一个自然数m,所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。读作：a同余于b模m。  同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1..对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201 ×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一 定能被这个除数整除。 
例如519和399对于一个除数同余,那么这个除数一定是519与399的差的因数,即519与399的差一  定能被这个除数整除。 
3.。对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。
  4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a，b,c三个数对于除数m都同余 （传递性)
例如60和76同余于模8，76和204同余于模8,那么60,76,204都同余于模8.
5。 对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m),c≡d（mod m)，那么a±c≡c±d（mod m)，（可加减性）

6。 对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m),c≡d(mod m）,那么ac≡cd（mod m），（可乘性）

二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?
解法：
求3个数:第一个:能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24
第二个:能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40
第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30
这3个数的最小公倍数为60，
所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34
12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历.

三、解题技巧
同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。

1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数,得到的余数，与除数的差相同,此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例:“一个数除以4余1,除以5余2，除以6余3"，因为4-1=5-2=6—3=3,所以取—3，表示为60—3或者60n-3
2）、和同加和:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和”.例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7，表示为60n+7。

3)、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数，称为:“余同取余”.例：“一个数除以4余1,除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1,表示为60n+1。
4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为：“最小公倍n倍加”，也称为:“公倍数作周期".

三、例题解评

例1:判定288和214对于模37是否同余
思路点拨：可直接由定义判断.
解∵288—214=74=37×2
∴288≡214(mod 37）

例2、 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同，这个自然数最大是几？
【解析】假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133），a｜(412－257）,a｜(257－133)，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。（155,124,279）=31，所以a最大是31。

例3、 249×388×234除以19,余数是几？
【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。
因为249≡2（mdo19）, 388≡8（mdo19)，234≡6（mdo19),
所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例4：求1992×59除以7的余数。
思路点拨：可应用性质2,将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积,使计算简化。
解:∵1992≡4（mod 7），59≡3（mod 7）
∴根据性质5可得：1992×59≡4×3（mod 7)，余数为12÷7的余数。
答：1992×59除以7的余数是5.

例5:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
思路点拨：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同,也就是
16520≡14903≡14177（mod m）
根据同余补充定义,这三个数同余，那么它们的差就能被m整除.要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少。
解：因为16520-14903=1617
16520—14177=2343
14903—14177=726
（1617、2343、726)=33
   所以m的最大值是33。
〖评注〗实际上，这三个差数还可以继续两两相减,得到1617—726=891，891-726=165，算出726和165的最大公约数即可，通常其结果与上面相同。

例6：在除13511,13903，及14598时能剩下相同余数的最大整数是几？
思路点拨：根据同余的性质，若几个数被同一个数除，余数相同，则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除.所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。
 解：这两个数两两只减的差是 ：
13903-13511=392
14598—13903=686
14589-13511=1078
因为(392,686，1078）=98，所以这个数是98。
也可以以上三个差再两两相减，得686—392=294，再392-294=98
答：这个最大整数是98.

例7:一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。这样的三位数共有几个?
思路点拨:由中国剩余定理解法求.
解法：
求3个数:第一个:能同时被9和5整除，但除以4余3，即45X3＝135
第二个:能同时被4和5整除，但除以9余7，即20X8＝160
第三个：能同时被9和4整除，但除以5余2，即36x2＝72
这3个数的最小公倍数为180，
所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187
7＋180×5=907＜ 1000       
7＋180×6=1087＞1000
所以符合条件的三位数共有5个。分别是7＋180×n（n=1，2，4,5).
答:这样的三位数共有5个.

例8、 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
【解析】这个数除以13，商是有规律的。

    商是170940六个数循环,那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
    余数是几呢？

    则
  解析过程：本题商共有1996位，每6位循环,共有332次循环后余4，
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,个位的余数就对应商为9时的余数5。
三、练习题
1. 求下列算式中的余数。
    （1)      （2）
 （3）      （4)
2. 6254与37的积除以7，余数是几？
3。 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
4、300、262、205被同一个整数除,得到相同的余数,这个整数是几?
5、一个自然数被247除余 63，被248除余63,求这个自然数被26除的余数。
6、一个自然数N被10除余9,被9除余8，被8除余7，被7除余6,被6除余5,被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1,求N的最小值。
7、两个数除以11分别余9和10，这两个数的和除以11余几？
8、甲、乙、丙三个数之和是100,甲数除以乙数，或丙数除以甲数,得数都商5余1，乙数是多少？
9、求下列各式的余数。
（1) 2÷6 （2）48÷5
（3）求20的200次方 除以13的余数.
（4）求80的1000次方 除以12的余数。