1、正弦定理、余弦定理综合训练题
1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C．2 D．3
[解析] D 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )
A. B. C. D.
[解析] D 作AD⊥BC交BC于点D，设BC＝3，则有AD＝BD＝1，AB＝，由余弦定理得AC＝.由正弦定理
2、得＝，解得sin A＝＝.
3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2 A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
[解析] D 由23cos 2A＋cos 2A＝0，得25cos 2A＝1.因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝.在△ABC中，根据余弦定理，得49＝b2＋36－12b·，即b2－b
4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
3、[解析] 因为cos A＝，cos C＝，且A，C为三角形的内角，所以sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.又因为＝，所以b＝＝.
－13＝0，解得b＝5或b＝－(舍去)．
5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B;
(2)若B＝90°，且a＝， 求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，所以可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2a
4、c.
因为B＝90°，所以由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝，
所以△ABC的面积为1.
6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解：(1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以
＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以
sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝，即∠B＝30°.
7．[2014·新课标全
5、国卷Ⅱ] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C
＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A
＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°＝2.
8.[2016·山东卷] △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)
6、则A＝( )
A. B.
C. D.
[解析] C ∵b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，∴2b2sin A＝b2＋c2－a2＝2bccos A＝2b2cos A，∴tan A＝1，即A＝.
9.[2015·广东卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b7、所以b＝2.
10.[2016·上海卷] 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为＝－，所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝，所以R＝.
11.[2016·北京卷] 在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．
[解析] 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得，3c2＝b2＋c2－2bccos，整理得2＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)．
12.[2016·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2ac
8、os B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值．
解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由cos B＝得sin B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝－，故cos A＝－，sin A＝，cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin A sin B＝.
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