圆的重要定理.doc

完整word)圆的重要定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
【课前测试】
1。 PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4,则PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C。 5 D。
【知识点回顾】
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;（2）若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；(5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角.

3。弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交,另一边和圆相切的角.

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？（四个）
4。弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.
5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角，圆外角。
6。遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理

⊙O中，AB、CD为弦,交于P.
PA·PB＝PC·PD。
连结AC、BD，证:△APC∽△DPB。
相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P。
PC2＝PA·PB.
用相交弦定理。
切割线定理

⊙O中,PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，证:△PTB∽△PAT
切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦
P’C·P’D＝r2－OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P’O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证
8。圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径）,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1。如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径.在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F，交CD于E，求DE:AE的值。

图1
解:由切线长定理知:AF＝AB＝1，EF＝CE
设CE为x，在Rt△ADE中,由勾股定理

∴，，

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm,BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm.

图2
解：由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
，
∴，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故应填3或4。
点拨:相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线,则________。
解：∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴,
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线,由切割线定理，得

∴，
即 ,
故应填PC。
点拨:利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

【课间谜语】
经典谜语1：生在娘家青之绿叶,生在婆家黄皮寡瘦。
不提便罢，一提泪水连连.

经典谜语2：溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终难继。

例4。如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点,如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm,⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm.

解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴，
∴
∴PB＝4×6＝24(cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm，
由勾股定理，得

故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1)求证：；(2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

点悟：要证，即要证△CED∽△CBE.
证明:(1）连结BE

(2）
。
又∵,
∴厘米。
点拨:有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6。如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。

图5
求证：
证明：连结BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB,又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7。如图6,PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图6
点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
证明：∵PA切⊙O于A,
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
∴
同理可证△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB

例8.如图7,在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E.

图7
求证:BC＝2OE.
点悟:由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。
证明：连结OD。
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°
∴
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE
例9。如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点.
当∠DEF＝45°时,求证点G为线段EF的中点;

图8
解：由∠DEF＝45°，得
，
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理,CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G所以AE＝EG,FC＝FG。
因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。

【经典练习】（答题时间:40分钟)
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ）
A. B。 C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
A。平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）

图1
A. 50° B。 40° C。 60° D。 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4，则另一弦长为( ）
A。 8cm B。 10cm C. 12cm D。 16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点，AD，BD＝3cm,DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于（ ）
A. B.
C。 D。

二、填空题
7。 AB、CD是⊙O切线，AB∥CD,EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8。已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C,若BC＝20，，则PC的长为_____________.
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P,则_____________。

【课后自测】
11。如图2，△ABC中，AC＝2cm,周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。

图2

12。如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C,CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB,求⊙O的半径。

图

【陈景润的故事】
　　陈景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。
有一天,陈景润吃中饭的时候,摸摸脑袋,哎呀，头发太长了，应该快去理一理，要不,人家看见了，还当他是个姑娘呢。于是,他放下饭碗，就跑到理发店去了。
理发店里人很多,大家挨着次序理发。陈景润拿的牌子是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵啊,我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店,找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子,背起外文生字来。他背了一会,忽然想起上午读外文的时候,有个地方没看懂.不懂的东西,一定要把它弄懂,这是陈景润的脾气.他看了看手表,才十二点半。他想:先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了.谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发员叔叔大声地叫：“三十八号！谁是三十八号？快来理发！"你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗？
过了好些时间，陈景润在图书馆里，把不懂的东西弄懂了,这才高高兴兴地往理发店走去。可是他路过外文阅览室,有各式各样的新书，可好看啦.又跑进去看起书来了，一直看到太阳下山了，他才想起理发的事儿来。他一摸口袋,那张三十八号的小牌子还好好地躺着哩。但是他来到理发店还有啥用呢，这个号码早已过时了。

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