对角互补专题.doc

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中考压轴题探索-对角互补专题探究
基本图形：
如图1，在四边形FBDE中，∠EDF+∠EBF=1800，旋转∠FBE得到∠HBI，求证：△FBH∽△EBI;
如图2，在四边形FBDE中，∠EDF+∠EBF=1800,连接BD,∠DBE=∠CBF,若△BCD为等边三角
形，探究：线段DE、DF、BD之间的数量关系________________________;
如图3,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,连接BD，∠DBE=∠CBF，若BD⊥DC，∠DCB=30°
探究：线段DE、DF、BD之间的数量关系________________

图1
图3
图2

例1。已知直角梯形ABCD， AD∥BC， ∠A=900, ∠EBF=∠C.
（1)当AD：AB=1：，∠C=600时,如图1所示，求证：DE+DF =BC;
(2）。当AD:AB=1:1，∠C=450时，如图2所示，则线段DE、DF 、BC之间的数量关系_______________;
(3）。在（2)的条件，如图3所示，若AB=2时，3BM=MC,连接AF、FM，若AF与BE交于点N，当∠AFM=450时,求线段NF的长度。
图1

图3
图2

变式训练：
1。已知直角梯形ABCD，AD∥BC,AD=AB,∠A=900，∠C=600，DH⊥BC于H,P为BC上一点，作∠EPF=600，此角的两边分别交AD于E, 交CD于F.
（1）。如图1，当点P在点B处时,求证：2 AE+CF=2CH；
（2)。如图2，当点P在点H处时，线段 AE、CF、CH的数量关系为____________________;
(3）.在（2）的条件下，连接FB、EF，FB与FH交于点K,若AB=,EF=,求线段FK的长度。
图2
图1
图3

2.已知平行四边形ABCD， ∠C=60°，点E、F分别为AD、CD上两点∠EBF=∠C.
(1）.如图1,当AB=BC时，求证：CF+AE=BC；
(2）。如图2,当AB=BC时，线段：CF、AE、BC三者之间有何数量关系_______________；
图2
（3）在（2）的条件下如图3，若AB=6，连接EC与BF交于M,当△BEM为等边三角形时，求线段FM的长。
图3
图1

例2.已知:△ABC中，∠ACB=900, ∠B=300 ，点P为边AB上的一点, ∠EPF=900,PF与边AC交于点F，PE与边BC交于点E。 设AP：PB=
(1）如图1，当=时，则： AF+ _____ BE=AB;
(2).如图2，当=1时,线段AF、BE、AB的数量关系为___________________；
（3).在（2)的条件下，如图3，连接CP,EF交于点K，将FP沿着EF对称，对称后与CP交于点M ，连接ME，若AC=3,当ME∥FP时，求tan∠CEM的值。
图1
图2

K
图3

变式训练：
1.等边△ABC中，BH为AC边上的高,点P为AB边中点，∠EPF=900,此角的两边与AC边交于点F，与高BH交于点E.
(1)如图1，求证： FH+BE=AB;
(2）如图2，则线段FH、BE、AB之间满足的关系式为____________；
（3）如图3，在（2)的条件下，连接EF，直线EF与BC交于点N,将FN沿着FP对称，对称后与AB交于点M，若AC=,AM：BM=1:3，时，求BN长度。
图2
图3

图1

中考压轴题探索—对角互补专题探究(二）
1.直线m∥n，点A、B分别在直线m、n上，且点A在点B的右侧。点P在直线m上，AP=AB，连接BP，
以PB为一边在PB右侧作等边△BPC,连接AC。过点P作PD⊥n于点D.
(1)当点P在A的右侧时（如图1），求证：BD=AC
（2)当点P在A的左侧时（如图2）,线段BD与AC之间的数量关系为_______________.
（3)在（2)的条件下，设PD交AB于点N，PC交AB于点M(如图3）.若△PBC的面积为,求线段MN的长.

n
m
C
D
P
B
A
图2
n
m
D
C
P
B
A
图1

n
m
C
D
P
B
A
图3

2.如图,直线y= -kx+4k (k＞0)与x轴交于B，与y轴交于D,点O与点C是关于直线BD对称，连接BC,若AC=.
(1)求k的值;
（2)点P为OB的中点，动点E从点B出发，每秒1单位速度沿BH向点H运动，过点P做PE的垂线交AC于点F，当点F与点O重合时点E停止运动. 设运动时间为t秒,△PHF面积为S，写出S与t点函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
()连接PH，是否存在t值，使得tan∠FPH=,若存在请求t值，若不存在，说明理由.

中考压轴题探索-对角互补专题探究（三)
例1．已知：四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)，△AEP为直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
(1)若∠BAD=120°（如图1）,求证:BF+DE=EM；
(2)若∠BAD=90°(如图2）,则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________。
(3）在(1)的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7,求CE的长．

变式训练：
1。已知:矩形ABCD中，点E、F分别在CD、CB上运动，且（角α为锐角），过E作EM∥BC交AF于点M，探究BF、DE、ME之间的数量关系为______________________

（1) 当K=，=45°时，___________________________。
（2） 当K=，=60°时，___________________________.
（3） 当K=，=30°时，___________________________。

2。如图：已知四过形ABCD中、∠DAB=∠BCD=90°,点E、F分别在CD、CB上运动，且 （角α为锐角），过E作EM∥BC交AF于点M,探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________。

中考压轴题探索—对角互补专题探究（四）
例2.已知：四边形ABCD，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M 。
（1）当∠BAD=60°时（如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；
（2）当∠BAD=90°时（如图2所示），则线段BE，DF，FM的数量关系为_______________;
（3）在(1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G,交AF于点K，交MF于点N，
若BG:DK=3：5，FM=14时,KN的长.
图1
图3

图2

变式训练：
1．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC,∠BAD=∠ADC,点F在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)
（1）若∠BAD=90°(如图l),AD=2AB，∠EAF=450，求证：DF+2BE=FG
（2)若∠BAD=150°(如图2）,AB=AD， ∠EAF=300,则DF、BE、FG的数量关系为 .
（3)在（1)的条件下(如图3）DF=4AB=6，直线AF交直线BG于点H，求GH的长。
图3

图1

图2

2。已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=kAD,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合)，将AE绕点A顺时针旋转30°后与BC边交于点F,过点E作EM∥BC交AF于点M。
(1）若k=1， ∠BAD=120°（如图1），求证:DE+BF=ME。
(2）若k=, ∠BAD=90°(如图2），则线段DE、BF、ME的数量关系为 。
（3）在（1）的条件下，若CE=2,AE=，求ME的长.
图2

图1

中考压轴题探索—对角互补专题探究（五）
例3.如图1,正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于Q，交边AB的延长线于N。
（1)求证DP=MN；
（2）若PC：PB=1:3,那么线段QE与QN的数量关系为______________________；
（3）如图2,连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM,角的两边分别交边AB、AD于点H、K,交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR:RC=1：2时，求.

变式训练：
1.已知：在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE，
连接AE。
（1)如图1,当点P在线段AD上时，求证：AB+AP=AE;
（2）如图2, 当点P在线段DA的延长线上时,线段AB、AP、AE的数量关系是
（3）在(2)的条件下,过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F，过点C作∠DCF的平分线，交AF于点H，若AB=4，四边形PBEA的面积为5，求线段CH的长。

图1
图2
图3
图1

2。已知等边三角形ABC，点D为BC的中点，∠NDM=120°两边分别交直线AC、AB分别于点M、N。
（1）如图1，求证：MC=AB+BN；
(2）如图2，线段MC、AB、BN的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将∠NDM的两边DM、DN分别反向延长，交AB、AC的延长线分别于点E、F，连接EF若BN=1,CM=2，求EF的长;

图2

数学试题专项训练卷第11页（共12页）