数分卷(B试点班)(解答).doc

华中师范大学 2005 –2006 学年第一学期
期末考试试卷（B卷）(解答)

课程名称 数学分析3（试点班） 课程编号 83410006 任课教师 刘敏思

题型
填空题
计算题
计算题
证明题
讨论题
证明题
证明题
总分
分值
10
20
15
15
15
20
5
100
得分

得分
评阅人
一、填空题（共5小题，每题2分，共2×5=10分）

1、.
2、= (其中= ).

3、= 0 (其中 ).

4、设是上的一条有向光滑曲线 , 为上每一点的切线正向 , 写出与第一型曲线积分的关系 (用的方向余弦表示的关系).

5、设是上的一条围线 ,, .

院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

得分
评阅人
二、计算下列重积分 (共3小题 , 共20分)

1、 , 其中是由直线 及抛物线围成的有界区域 .
解：因为，所以

2、 , 其中是由直线 围成的有界区域 .
解：令，则的对应区域为，
，且
所以 原式=

3、 , 其中是由锥面 与柱面 以及平面
所围成的有界区域. .
解：由于关于平面对称，且是关于的奇函数 ，从而
又
所以 原式=

第 1 页(共 3 页)

得分
评阅人
三、计算下列曲线积分（共2小题，共15分）

1、 ,其中为球面与平面的交线.
解：由题设知，，且为以a为半径的大圆
所以，原式=，

2、 ,其中为常数 , 为由点到点的上半圆周
.
解：补充有向直线段，由格林公式
原式==
==
其中

得分
评阅人
四、证明与计算题（共2小题，共15分）

(1)、设在有界闭区域上连续 ，证明：存在，使得
，其中为的体积.
(2)、利用(1)计算,其中,连续且.

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

证明：（1）由连续函数性及积分的不等式性质，得
，其中分别为在上的最大值与最小值.
再由积分中值性，存在 使得
，其中为的体积.
（2）由（1）知 .

得分
评阅人
五、判断题（共2题，共15分）

(1)、判断含参量反常积分在上的一致收敛性 .
(2)、利用(1)及可微性定理求函数 （其中）的表达式.
解：（1）因为 ，而收敛
由M—判别法 得 在上的一致收敛性.
（2）由（1）及可微性 得
解得 ，又
所以， .

第 2 页(共 3 页)

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

得分
评阅人
六、证明题（共1题，共20分）

设为上的单连通区域 , 在上具有二阶连续的偏导数 ,则
在上的调和函数(即)的充要条件是:对于任意一条围线,总有
(其中为围线的外法线方向).
证：必要性： 因
由题设和两类曲线积分的关系及格林公式得

其中是围成的有界闭区域..
充分性：(反证法) 假设存在点,使得,不妨设
由连续函数的局部保号性得
存在点的闭邻域, 使得在其中
记的边界为C , 由(1)的过程得 , 这与题设矛盾.

得分
评阅人
七、证明题（共1题，共5分）

若在无界区域上连续 ,且在上收敛 ,但在
发散 ，则在上不一致收敛.
证明：（反证法）假设在上一致收敛由含参量反常积分一致收敛的柯西准则，知
对任意 ，存在正数M，使得 当时，总有　　
再由含参量正常积分的连续性，上式两边让得

由柯西准则 也收敛.这与题设矛盾
故 在上不一致收敛 .

第 3 页(共 3 页)
1 / 1