2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系.ppt

第第2 2章章 各向异性材料的应力各向异性材料的应力-应变关系应变关系 从从宏观力学宏观力学的角度，一般的角度，一般将复合材料看做将复合材料看做均匀均匀的的各向各向异性异性弹性弹性体。在小变形线弹性条件下，各向异性弹性体。在小变形线弹性条件下，各向异性弹性体和体和各向同性各向同性弹性体的弹性体的力平衡微分方程力平衡微分方程和和几何关系几何关系的表达形式的表达形式是相同的，本质的区别在于是相同的，本质的区别在于物理关系物理关系，即应力，即应力-应变关系应变关系不同不同。各向异性的特性决定了各向异性体的应力各向异性的特性决定了各向异性体的应力-应变关应变关系比各向同性体要复杂得多，系比各向同性体要复杂得多，各向同性体实际上是各向异各向同性体实际上是各向异性体的一个特例。本章主要性体的一个特例。本章主要介绍三维各向异性材料的应力介绍三维各向异性材料的应力应变关系。应变关系。一般情况下，一点的应力状态可以用一般情况下，一点的应力状态可以用9 9个个应力张量应力张量分量分量来表示，来表示，1 1，2 2，3 3为参考坐标轴，其变为参考坐标轴，其变形状态形状态也可以用相应的也可以用相应的9 9个个应变张量应变张量分量分量 来表示。其来表示。其应力应力应变关系可表示为应变关系可表示为2.1 2.1 三维各向异性材料的应力三维各向异性材料的应力-应变关系应变关系一、一般各向异性材料的应力一、一般各向异性材料的应力应变关系应变关系 在各向异性体中一点附近取出一个六面体微小单元，单元体各面上的在各向异性体中一点附近取出一个六面体微小单元，单元体各面上的应力代表了这一点的应力状态，如图应力代表了这一点的应力状态，如图2.12.1所示。所示。图图2.1 2.1 各向异性体上各向异性体上 一点的应力状态一点的应力状态式中，式中，为为刚度系数刚度系数；下标用符号表示时，有下标用符号表示时，有一般各向异性材料，包含了一般各向异性材料，包含了8181个弹性常数。个弹性常数。(2.1)(2.1)下标用符号表示时，有下标用符号表示时，有应变应变应力关系为应力关系为:为为柔度系数柔度系数。也包含了。也包含了8181个弹性常数，个弹性常数，但是由于但是由于应力张量应力张量和和应变张量应变张量具有对称性具有对称性，即即 所以，所以，一般各向异性材料一般各向异性材料的弹性常数只有的弹性常数只有3636个。个。（剪应力互等定律）（剪应力互等定律）(2.2)(2.2)(2.3)(2.3)(2.4)(2.4)通常通常弹性力学弹性力学和和材料力学材料力学教材中定义的应变分量并不是教材中定义的应变分量并不是张量应变分量张量应变分量，称为，称为工程应变分量工程应变分量。如果将上述。如果将上述张量应变分量转换为张量应变分量转换为应力分量应力分量改写为：改写为：于是，式于是，式(2.1)(2.1)和式（和式（2.22.2）可以表示为：可以表示为：(2.5)(2.5)(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)和和(2.8)(2.8)下标用符号表示时，有下标用符号表示时，有(2.9)(2.9)式中，式中，和和 表示工程应变分量。表示工程应变分量。工程应变分量：工程应变分量：通过对材料的应变能密度分析，可以证明通过对材料的应变能密度分析，可以证明(2.10)(2.10)即即刚度矩阵刚度矩阵或或柔度矩阵柔度矩阵具有具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的对称性。因此，一般各向异性材料中独立的性常数为性常数为2121个。个。二、二、单对称材料单对称材料的应力的应力-应变关系应变关系 事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材料料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。(2.11)(2.11)s s3 3s s3 3t t1313t t2323 假设图假设图2.22.2中所示中所示1 1O O2 2平面是弹性对称面，沿平面是弹性对称面，沿3 3轴和轴和3 3 轴方向上的应力和应变有以下关系：轴方向上的应力和应变有以下关系：在相差在相差1800 的两套坐标系下，正应力符号相同，而剪应力符号相反。的两套坐标系下，正应力符号相同，而剪应力符号相反。t t2323t t1313 (2.12)(2.12)由式由式(2.12)(2.12)可得可得(2.14)(2.14)将式将式(2.11)(2.11)中的中的(2.15)(2.15)比较式比较式(2.13)(2.13)和式和式(2.15)(2.15)，必须有，必须有(2.16(2.16)代入代入(2.14)(2.14)得得(2.7)因此，在因此，在01230123坐标系下的坐标系下的应力应力-应变关系为：应变关系为：在在01230123坐标系下的坐标系下的应力应力-应变关系为：应变关系为：这样由式这样由式(2.7)(2.7)可得可得(2.13)(2.13)同理，可以得到同理，可以得到(2.17)(2.17)这样这样单对称材料的应力单对称材料的应力应变应变关系就可以表示为关系就可以表示为(2.18)(2.18)显然，显然，单对称材料单对称材料的式的式(2.18)(2.18)和一般各向异性材料的式和一般各向异性材料的式(2.7)(2.7)相比，独立的相比，独立的弹性常数由弹性常数由2121个减少到个减少到1313个个。(2.19)(2.19)与式与式(2.18)(2.18)相对应，其相对应，其应变应变-应力应力的关系为的关系为:材料的独立弹性常数材料的独立弹性常数也是也是1313个个为了讨论为了讨论材料弹性对称性的物理意义材料弹性对称性的物理意义，取，取单对称材料单对称材料，仅在，仅在3 33 3 方向加正方向加正应力，即应力，即 ，其他应力分量均为零，得到，其他应力分量均为零，得到(2.20)(2.20)由式由式(2.20)(2.20)可以得到该应力状态下的应变分量，即可以得到该应力状态下的应变分量，即这表明垂直于这表明垂直于弹性对称面弹性对称面的的正应力只引起正应力只引起3 3个方向的正应变和垂直于正应力平面的剪应个方向的正应变和垂直于正应力平面的剪应变变。因此，。因此，材料的弹性对称性的存在，可以材料的弹性对称性的存在，可以降低正应力和剪应变或是剪应力与正应变的降低正应力和剪应变或是剪应力与正应变的耦合程度，降低材料的各向异性。耦合程度，降低材料的各向异性。(2.21)(2.21)321s3s3具有具有3 3个相互正交的弹性对称面个相互正交的弹性对称面的材料称为的材料称为正交各向异性材料正交各向异性材料。当图。当图2.22.2中的中的1 1O O2 2，1 1O O3 3和和2 2O O3 3平面均为弹性对称面平面均为弹性对称面时，时，按单对称材料的分析方法按单对称材料的分析方法可以得到式可以得到式 于是可得到于是可得到正交各向异性正交各向异性材料应力材料应力-应变关系应变关系:三、正交各向异性材料的应力三、正交各向异性材料的应力-应变关系应变关系因此与单对称材料的因此与单对称材料的1313个独立弹个独立弹性常数相比，性常数相比，正交各向异性材料正交各向异性材料的独立弹性常数只有的独立弹性常数只有9 9个个。中的中的(2.22)(2.22)(2.23)(2.23)应变应变-应力关系式为应力关系式为(2.24)(2.24)由式由式(2.24)(2.24)可知，可知，对于正交各向异性材料，正应力只引起正应变，剪对于正交各向异性材料，正应力只引起正应变，剪应力只引起剪应变应力只引起剪应变，正应力和剪应变或是剪应力与正应变之间没有耦正应力和剪应变或是剪应力与正应变之间没有耦合，这一点是和各向同性材料相同的。合，这一点是和各向同性材料相同的。正交各向异性材料三个相互垂正交各向异性材料三个相互垂直的弹性对称面的法线方向称为该材料的直的弹性对称面的法线方向称为该材料的主方向主方向。独立弹性常数也是9个四、横向各向同性材料的应力四、横向各向同性材料的应力-应变关系应变关系 横向各向同性材料是正交各向异性材料的特例，其三个相互垂直的弹性对横向各向同性材料是正交各向异性材料的特例，其三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同性的。如单向纤维增强复合材料称面中有一个是各向同性的。如单向纤维增强复合材料（见图（见图2.32.3），垂直于），垂直于纤维方向纤维方向(1(1方向方向)的的2 2O O3 3平面是各向同性的。所以，正交各向异性材料应力应变平面是各向同性的。所以，正交各向异性材料应力应变关系式关系式(2.23(2.23）中的刚度系数中的下标中的刚度系数中的下标2 2、3 3交换，系数数值不应改变，交换，系数数值不应改变，即有即有:图图2.3 2.3 单向纤维增强复合材料单向纤维增强复合材料另外，通过进一步的另外，通过进一步的分析，还可以得到：分析，还可以得到：即有即有:因此因此横向各向同性材料横向各向同性材料的的应力应力-应变应变关系为：关系为：独立的弹性常数由独立的弹性常数由9 9个减少到个减少到5 5个个(2.28)(2.28)而而应变应变应力应力关系为：关系为：材料的独立弹性常数材料的独立弹性常数也是也是5 5个个。五、各向同性材料的应力五、各向同性材料的应力应变关系应变关系 具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材料。这种材料对于三个相互具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同，垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同，正交各向异性材料正交各向异性材料应力应变关系式：应力应变关系式：中的刚度系数满足中的刚度系数满足所以，所以，各向同性材料各向同性材料的应力的应力应变关系为：应变关系为：各向同性材料各向同性材料只有只有2 2个个独立独立的弹性常数（的弹性常数（C11,C12）。）。同理，同理，应变应变应力应力关系为关系为(2.31)(2.31)也只有也只有2 2个个独立的弹性常数（独立的弹性常数（S11,S12）。2.2 2.2 正交各向异性材料的正交各向异性材料的工程弹性常数工程弹性常数 正交各向异性材料的应变正交各向异性材料的应变应力关系，可以由应力关系，可以由柔度系数柔度系数来表示，如式来表示，如式(2.24)(2.24)所示，也可以用所示，也可以用工程弹性常数工程弹性常数来表示。来表示。实际工程中，一般都用工程实际工程中，一般都用工程弹性常数来表征材料的弹性性能，工程弹性常数是拉压弹性模量、剪切弹弹性常数来表征材料的弹性性能，工程弹性常数是拉压弹性模量、剪切弹性模量和泊松比的统称，这些常数可以由试验直接测得。性模量和泊松比的统称，这些常数可以由试验直接测得。另外，现有的大另外，现有的大型通用结构有限元分析程序输入复合材料的弹性性能时，也要求按工程弹型通用结构有限元分析程序输入复合材料的弹性性能时，也要求按工程弹性常数的形式给出。性常数的形式给出。通过对正交各向异性材料三个材料主方向的通过对正交各向异性材料三个材料主方向的单向拉伸单向拉伸试验试验和三个与材料主方向垂直的平面内的和三个与材料主方向垂直的平面内的纯剪切试验纯剪切试验，就可以得到用工程，就可以得到用工程弹性常数表示的正交各向异性材料的应力弹性常数表示的正交各向异性材料的应力应变关系应变关系。一、正交各向异性材料的工程弹性常数（一、正交各向异性材料的工程弹性常数（9 9个材料常数）个材料常数）(2.24)(2.24)图图2.42.4给出了给出了三个单向拉伸三个单向拉伸和和三个纯剪切试验三个纯剪切试验的示意图。的示意图。图图2.4 2.4 三个单向拉伸和三个纯剪切试验示意图三个单向拉伸和三个纯剪切试验示意图 沿沿1 1轴向单向拉伸时轴向单向拉伸时，其他应力均为零其他应力均为零。由式。由式(2.24)(2.24)(2.32)(2.32)另外，根据另外，根据胡克定律胡克定律和泊松效应和泊松效应有有:(2.33)(2.33)可得可得比比较较式式(2.32)(2.32)和和式式(2.33)(2.33)便便可可以以得得到到柔柔度度系系数数和和工工程程弹弹性性常数的关系常数的关系为为:(2.34)(2.34)(2.24)为只在为只在1 1方向方向 作用有正应力时，作用有正应力时，2 2方向的应变和方向的应变和1 1方向的应变之比方向的应变之比的负值的负值。主泊松比主泊松比 同理，同理，沿沿2 2轴向和轴向和3 3轴向的单向拉伸轴向的单向拉伸，还可得还可得(2.35)(2.35)(2.36)(2.36)和和对对 于于 1 1O O2 2面面、2 2O O3 3面面和和1 1O O3 3面面的的纯纯剪剪切切，可可得得(2.37)(2.37)式式(2.34)-(2.34)-式式(2.37)(2.37)中中的的E1，E2，E3和和G12，G23，G13分分别别为为正正交交各各向向异异性性材材料料的的拉拉压压弹弹性性模模量量和和剪剪切切弹弹性性模模量量；v12，v23，v13以以及及v21，v32，v31分分别别为为主主泊松比泊松比和和副泊松比副泊松比。副泊松比副泊松比:为只在为只在2 2方向作用有正应力时，方向作用有正应力时，1 1方向的方向的应变和应变和2 2方向的应变之比的负值方向的应变之比的负值。(2.37)(2.37)将将工程弹性常数工程弹性常数表示的正交各向异性材料的柔度系数代入式表示的正交各向异性材料的柔度系数代入式(2.24):(2.24):(2.38)(2.38)(2.24)(2.24)就得到就得到工程弹性常数表示工程弹性常数表示的正交各向异性的正交各向异性材料的应变材料的应变应力关系，即：应力关系，即：(2.40)(2.40)式中式中:(2.41)(2.41)由于刚度矩阵由于刚度矩阵Cij和柔度矩阵和柔度矩阵Sij是互逆的，即是互逆的，即式式(2.23)(2.23)中的中的刚度系数可以通过对式刚度系数可以通过对式(2.24)(2.24)中的柔度系数求逆得到中的柔度系数求逆得到，即，即(2.39)(2.39)(2.23)(2.23)(2.24)(2.24)将将式式(2.34)-(2.34)-式式(2.37)(2.37)代代入入式式(2.40)(2.40)便便可可以以得得到到用用工工程程弹弹性性常常数数表表示示的的正正交各向异性材料的刚度系数交各向异性材料的刚度系数，即将，即将式中式中:(2.43)(2.43)(2.42)(2.42)(2.34)(2.34)(2.40)(2.40)(2.35)(2.35)(2.36)(2.36)(2.37)(2.37)带入带入得到：得到：。二、工程弹性常数的互等关系二、工程弹性常数的互等关系 由于式由于式(2.24)(2.24)的的柔度矩阵柔度矩阵Sij具有对称性具有对称性，由式，由式(2.38)(2.38)(2.44)(2.44)这这三三个个等等式式是是正正交交各各向向异异性性材材料料工工程程弹弹性性常常数数必必须须满满足足的的，表表示示三三组组泊泊松松比比v12和和v21，v13和和v31，v23和和v32不不是是两两两两相相互互独独立立的的，只只要要测测得得v12，v13和和v23三个主泊松比，用式三个主泊松比，用式(2.44)(2.44)就可计就可计算得到另外三个副泊松比算得到另外三个副泊松比。可以得到可以得到工程弹性常数工程弹性常数的互等关系的互等关系为为:(2.38)(2.38)所以，所以，正交各向异性材料独立的工程弹性常数也是正交各向异性材料独立的工程弹性常数也是9 9个，即三个拉压弹性个，即三个拉压弹性模量、三个剪切弹性模量和三个主泊松比。模量、三个剪切弹性模量和三个主泊松比。对于纤维增强单向复合材料，对于纤维增强单向复合材料，纤维方向的模量纤维方向的模量E1比垂直于纤维方向的模量比垂直于纤维方向的模量E2和和E3高高1 1个数量级以上，由个数量级以上，由式式(2.44)(2.44)可以看出，相应的主泊松比可以看出，相应的主泊松比v1212比副泊松比比副泊松比v2121，主泊松比主泊松比v1313副泊副泊松比松比v3131也要高也要高1 1个数量级以上。个数量级以上。从试验的角度，测试主泊松比从试验的角度，测试主泊松比v1212，v1313的精的精度比测试副泊松比度比测试副泊松比v2121和和v3131高得多，因此一般都不对副泊松比进行测试。高得多，因此一般都不对副泊松比进行测试。(2.44)(2.44)1.1.各向同性材料各向同性材料 各向同性材料的三个工程弹性常数各向同性材料的三个工程弹性常数E，G，v之间有相关关系，即之间有相关关系，即(2.45)(2.45)(2.46)(2.46)另外，各向同性体受到另外，各向同性体受到p作用时的作用时的体积应变体积应变为：为：(2.47)(2.47)由于由于弹性模量弹性模量E和和G均大于零均大于零，于是有：，于是有：体积模量体积模量 K 应为正值应为正值，则有，则有(2.48)(2.48)因为因为E0，所以，所以(2.49)(2.49)因此，因此，各向同性材料各向同性材料泊松比取值范围为泊松比取值范围为(2.50)(2.50)三、正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件三、正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件 2.2.正交各向异性材料正交各向异性材料 可可以以证证明明正正交交各各向向异异性性材材料料的的刚刚度度矩矩阵阵Cij和和柔柔度度矩矩阵阵Sij都都是是正正定矩阵定矩阵。正定矩阵的主对角线上的元素必定为正值正定矩阵的主对角线上的元素必定为正值，于是有，于是有由式由式(2.38)(2.38)(2.51)(2.51)(2.52)(2.52)可知可知(2.38)(2.38)其次，其次，正定矩阵的行列式值必须为正值正定矩阵的行列式值必须为正值，亦即式（亦即式（2.432.43）所以由式所以由式(2.42)(2.42)：(2.54)(2.54)必为正，即必为正，即可得可得同理同理(2.53)(2.53)(2.43)(2.43)(2.42)(2.42)将将工工程程弹弹性性常常数数的的互互等等关关系系式式(2.44)(2.44)代入式代入式(2.54)(2.54)(2.44)(2.44)(2.55)(2.55)(2.54)(2.54)便可得到正交各向异性材料泊松比便可得到正交各向异性材料泊松比的限制条件为的限制条件为:利用正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件，可以判断复合材利用正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件，可以判断复合材料工程弹性常数试验数据的合理性。例如迪克森料工程弹性常数试验数据的合理性。例如迪克森(Dickerson)(Dickerson)等人得到等人得到一种硼一种硼/环氧复合材料的试验数据为环氧复合材料的试验数据为E1=81.8GPa，E2=9.17GPa，v12=1.97。如此高的泊松比对各向同性材料而言是不可思议的，但是由式如此高的泊松比对各向同性材料而言是不可思议的，但是由式(2.55)(2.55)计计算算 该泊松比满足该泊松比满足的条件，因此是合理的。另外，他们还测得了另一个泊松比的条件，因此是合理的。另外，他们还测得了另一个泊松比v21=0.22，也满足式也满足式(2.44)(2.44)的互等关系。的互等关系。(2.44)(2.44)例例2.1 2.1 由由碳碳纤纤维维增增强强聚聚合合物物制制得得的的正正交交各各向向异异性性材材料料的的工工程程弹弹性性常数为常数为:E1=175 GPa，E2=32GPa，E3=8.3GPa，G23=5.7GPa G12=G1312Gpa，v23=0.31，v12=v13=0.25求其刚度矩阵求其刚度矩阵 Cij 和柔度矩阵和柔度矩阵 Sij。解解 （1 1）：根据式）：根据式(2.34)(2.34)(2.37)(2.37)，计算柔度系数，计算柔度系数Sij，即即 由式由式(2.44)(2.44)计算其他泊松比（副泊松比），即计算其他泊松比（副泊松比），即 由式由式(2.43)(2.43)计算计算，即，即(2.44)(2.44)(2.43)(2.43)（2 2）：计算刚度系数）：计算刚度系数Cij，由式由式(2.42)(2.42)计算刚度系数计算刚度系数 Cij，即，即 计算得到刚度矩阵计算得到刚度矩阵 Cij 和柔度矩阵和柔度矩阵 Sij 分别为分别为 GPa(TPa)1TPa=1012Pa