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第十四章 线性响应理论

§14。1 线性响应函数

对系统加上外场,或更一般地说，对系统施以某种扰动的话，则系统的一些性质，如热力学量，会产生相应的变化，这就叫响应（response).
如果外场（扰动）比较小，则热力学量的变化与外场(扰动）成正比，为线性关系。这就是线性响应.其比例系数(一般是个函数)称为线性响应函数（linear response function）。它可以用格林函数来表达.
 推导线性响应公式有两个前提:一是扰动较小，这儿较小的涵义是：由扰动引起的哈密顿可以作为微扰来处理.二是响应能够及时追随扰动.为了做到这一点,需要假定绝热条件，令扰动是缓慢加上去的.在t= -¥时，系统处于平衡态，或叫作纯态。哈密顿量为H。
扰动一般是由外场引起的.现在考虑对系统加一外场F，作为一般情况，设外场为矢量。设初始条件为
(14.1。1a）
如果外场本身并不含时间,为了做到这一点，可令
(14.1.1b）
即加上一个因子使之符合条件(14。1.1a）。
设扰动引起的哈密顿量为
(141。2）
其中C应是系统本身的某一个物理量。由于扰动，系统内就有一个力学量D受到变化，变化的量为DD.现在来推导这个变化量的表达式。注意，由于这儿的C和D是系统本身的物理量,因此都是算符。外场F(t)不是算符.但表现了H1随时间的变化。举例来说，外加电磁场后引起的哈密顿量为
（14.1。3）
其中A与j为外场的矢势与标势,j与n分别为系统内的电流密度与粒子数密度算符.F、C和D这三个量也可以都不是矢量，以下的推导过程不变.
假设扰动之后，总的哈密顿量为
（14.1.4)

未有扰动时,系统处于平衡态，统计算符是r0。
(14.1。5）
它与H是对易的.此时物理量D在系综内的统计平均是
（14。1。6)
加上扰动后，系统的统计算符应是
（14.1.7)
由于（14。1。1）式,有
（14。1.8）
物理量D的统计平均是
14.1.9)
我们要计算的是扰动引起的D的变化量
(14.1.10)
要注意的是,此式右边两项的求平均所用的状态是不一样的，见（14.1。6）和（14.1。9）两式.因为扰动肯定是要引起状态的变化的。
现在我们假定,扰动虽然引起了状态的变化,但是不改变状态的数目与顺序.因而与是一一对应的。即，扰动时状态变化成.这就是状态随时间的演化.§8。2节中已经介绍过，可以用时间演化算符来表示这种变化.由于现在的哈密顿量是时间的函数,应该定义
（14.1.11)
态随时间的演化如下.
(14.1。12)
此式是满足薛定谔方程的.在§8.2节中，我们已经求出了相互作用表象中的时间演化算符
（14.1。13）
的近似到一级的表达式为
(14。1。14）
见（8.2。18）式.
(14.1。15）
本节的HT和H分别对应于§8。2节的H和H0。D与C随时间变化的关系定义如下.
， (14。1。16）
状态随时间的演化如下。
（14。1.17）
代入（14。1。6）式,
（14。1.18）
其中已经忽略了相互作用的二次方项.下面再做近似，把统计权重中的能级En（t）近似为无扰动时的En。相当于(14.1.9)式中取r(t)= r0.这要求扰动导致的能级的移动是很小的.
(14。1.19）
上面的所有近似都要求：扰动确实是微扰.如此，线性响应的公式才有效.
现在可以求得(14。1.10)的结果。
(14。1。20)
此式说明,当加上外场F后，相应的物理量D的变化与外场成正比，比例系数正是（9.1.2)式定义的由D与另一物理量组成的推迟格林函数。此式称为久保（Kubo）公式，是线性响应理论中最基本的公式。它表示t1时刻的扰动，在t>t1时刻对D产生的影响.经常遇到的情况是D = C。下面要讲的磁化率就是一例.我们要记住，如果是恒定的不随时间变化的外场，那么，绝热假设要求应该有一个因子,见(14.1.1b)式.
把（14。1.20）的分量明确写出来，并且如果D还是坐标的函数,有
（14。1。21)
那么系数就是
(14。1.22）
假定推迟格林函数只是时间差t-t1的函数，那么可做傅立叶变换.为简便起见，我们忽略表示直角坐标分量的下标.
(14。1。23)
结果是如下的线性关系。
 （14。1。24)
（14.1。23)式右边计算的具体步骤是：将F(t1)作傅立叶展开，写成,再将e指数上的量写成wt-w1t1=w（t-t1) -（w1-w）t1，令t-t1=t，则对t 的积分与t1无关,对dt1积分可得到d (w -w1）,最后得到响应系数为
(14.1。25）
此式表明响应系数a（w)是的傅立叶分量。从§9.2节已知由格林函数可求出系统的热力学量。本节则表明格林函数可求出线性响应函数.例如由电流对电场的响应可写出电导率.由磁化强度对磁场的响应可求磁导率，以及热导率，扩散系数等等。因此，利用格林函数这一手段，几乎可了解系统的所有物理性质.
现在我们把响应系数写成另一表达式，以便后面与松原线性响应系数作比较.
（14。1。26）
下面再用（14.1.16)代入，H|mñ=em｜mñ，q(t）用(9。1.22）式，再令ám|D|nñ = Dmn， ám|C|nñ = Cmn， wmn=（em-en） /ħ，
(14.1.27)
再由，得：
 (14。1。28)
注意:前面的推导过程使用的哈密顿量H和相应的本征态｜mñ是属于未微扰系统的。
久保公式还有另外一个形式.
(14.1.32）
其中在求迹号内做了算符轮换，然后把(14.1。29)式代入。此式可称为零频率公式，因为它的实部不含频率.
要特别注意一个区别：（14。1.20）式右边是用推迟格林函数来表达的。而（14.1。32)是右边是用关联函数来表达的.

§14。2 虚时线性响应函数

上一节中利用热力学格林函数可求出线性响应函数,以了解外场对系统扰动时系统内力学量的变化.松原函数也应该能够达到这个目的.松原函数是虚时间的函数,因此只能得到虚时间的线性响应函数［1] (也称松原响应函数），再由此来求实际的响应函数。为了做到这一点,要分两步走:第一步，类似于（14。1.25)式的实时响应系数a(w），要求出一个虚时的响应系数at(z）的公式;第二步是找出at(z）与a(w)之间的关系.
作t® -it的替代将实时改为虚时。这儿t的取值范围是［-bħ， bħ］.设系统受到一个微扰
(14.2。1)
其中各符号的意义与上一节相同,只是以虚时间作为变量。我们用§11。1节中的公式。那儿的H -mN和H0 -mN分别对应于本节的HT和H。
回顾前面介绍过的三种绘景.在薛定谔绘景中，力学量算符不随时间变化,而状态随时间变化。力学量在系综中的平均值随时间的倚赖由状态来体现。在海森伯绘景中，力学量算符随时间变化,而状态不随时间变化。力学量在系综中的平均值随时间的倚赖由算符来体现。这两种平均值是完全相等的.所以我们用海森伯绘景来计算平均值。按照（11。1.12）或者(11.1。14)，一个力学量在有扰动系综中的平均值可以借助于虚时演化算符写成在无扰动系综中的平均值。
(14.2.2）
此式的左边是在有扰动系综中的求平均，而右边是在无扰动系综中的平均值.虚时演化算符的表达式是(11。1.8）
（14.2。3)
我们在(14.2。2）式的分母中的U只取到(14。2。3）式右边的第一项。那么
（14.2。4)
再将其中的U取到(14。2.3)式中的一级近似。
（14.2.5)
其中第一项Tr［r0DI(t）］＝Tr[r0D］＝áDñ0移到左边成为。略去二阶项后成为
（14.2.6）
由此式看到，线性响应可以用松原函数来表达。
E和C都是可测量的力学量,有经典极限,所以应按玻色子算符来处理.现在对(14。2。6)式作傅立叶变换,因t 的取值范围有限,频率只能取分立值.又由于等式右边为一由玻色算符组成的松原函数,按§11。2节所介绍的性质,富氏展开的频率只能取偶数z n =2nπ/bħ。作变换:
, （14.2。7）
(14.2.8）
现在令t -t 1＝t′，则松原函数只是“时间差”t′的函数而与t 1无关，对t 1积分得dnm，再对m求和得到F(iz n）。 t 和t 1的积分范围是0～bħ.由于Tt 的限制， t′=t -t 1的积分范围仍是0～bħ。

(14.2。9)
响应系数为：
(14.2。10)
由于必然有t＞0，所以编时算符Tt可去掉.现在得到了与(14。1.25）式的a（w)相似的表达式，实现了第一步.为了实现第二步，作下述操作
（14.2。11）
其中令án|C|mñ=Cnm, án｜D|mñ=Dnm/ħ，Em-En= ħw nm，对dt 积分后，得用了zl =2lπ/bħ,最后一个等号将m和n交换。将（14。2。11)式与(14。1.28)式比较,有
（14.2.12)
由(14.1。25）式可以看到，当w取在虚轴的正半部分时, a（w）是个实量,所以函数at（z l）在z l＞0时是实函数，又从（14。2.11）式看到， at（-z l）= at*（z l)＝at（z l），故at(z l）是z l的实的偶函数。
将（12.4。11)作iz l®w＋i0+的解析延拓,就得到（14。1。28).
（14。2.13）
这与松原函数解析延拓成推迟格林函数的方式一样。