数模竞赛工十三韩露刘沛喻定安.doc

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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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2. 韩 露
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日期: 2009 年 9 月 14 日

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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号）：

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制动器试验台的控制方法研究
摘要
本文主要针对制动器试验台的控制方法进行分析,充分利用经典物理学理论在原模型的基础上进行改进，建立更加优化的模型和控制方法，使模拟制动时消耗的能量与实际路试更加接近.
针对第一问,通过和模拟实验台的主轴转速与汽车车轮转速相等这两个条件可得出,根据题意，即可求得等效转动惯量J。
针对第二问,将飞轮视为圆筒形刚体，利用物理上的转动惯量公式即可求出每个飞轮机械转动惯量，其中,再利用排列组合所有组合情况，就能求出在电机补偿范围内的补偿惯量。
针对第三问,由题已知,根据物理学中刚体的转动定律又有，通过求解得出角减速度,代换后得出电机驱动电流表达式，从而得出了第一个模型——“无损耗补偿"模型。
针对第四问，以能量误差大小为依据，通过求取路试制动消耗能量和试验台模拟制动消耗能量之间的差值对给出的控制方法进行评价，利用Excel统计软件求得ES=49266J,路试制动消耗能量与模拟实验制动消耗能量之差ΔE=2897J，实验与路试消耗能量误差百分比=5。55%，显然，该控制方法产生的误差较大.
针对第五问，通过分析第四问产生误差的原因，发现无制动时存在扭矩M0，是由系统自身损耗及风阻带来损耗而产生的，故对“无损耗补偿”模型进行优化，在原补偿惯量J的基础上再进行补偿，得到新的数学模型：“静态损耗补偿”模型和电机驱动电流表达式。由于该模型加入了系统损耗补偿J0，比前一种模型的能量误差更小,但是其补偿存在滞后性.
针对第六问，通过分析第五问中所给出方法的不足,我们提出了一种新的控制方法——比例微分控制方法,建立了 “动态损耗补偿”模型。该模型通过引入可以预测补偿趋势的量角减速度α对电机补偿电流产生影响，其电机驱动电流表达式它弥补了前两种方法的不足.

关键词： 静态补偿 动态补偿 比例微分 超前补偿
1.问题重述
制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，在路试中假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试.但是,车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。通常试验台仅安装、试验单轮制动器,而不是同时试验全车所有车轮的制动器。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速（模拟实验中,可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致）后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量(忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量（以下转动惯量简称为惯量）在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量.飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。由于机械惯量不能精确的代表转动惯量,让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩,设计出本时段驱动电流的值,这个过程逐次进行，直至完成制动.评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，即所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差.本文为互联网收集，请勿用作商业用途
现提出以下问题：
1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0。286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量
2。 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0。2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0。0784 m、0。1568 m，钢材密度为7810 kg/m3,基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量?设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 ［—30, 30］ kg·m2,对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量?
3。 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。
在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零,计算驱动电流。
4。 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2,机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表.请对该方法执行的结果进行评价。
5。 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价.
6。 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。
2.问题分析
针对第一问,利用物理中的能量守恒定律，将平动动能完全(题意要求）转化为转动动能，在已知转动动能的基础上，同过公式的演变，得到飞轮转动惯量。
针对第二问，将飞轮视为一个理想的有厚度刚体环形圆柱,由已知刚体环形圆柱内外直径、厚度可求得体积，再由已知的密度求出质量，利用物理中对刚体环形圆柱转动惯量公式求解出其机械转动惯量，再利用排列组合，即可得到所有飞轮组合的结果，并可求出补偿惯量。
针对第三问,在匀减速制动的前提下求出角减速度，再通过角减速度求出电机需输出的扭矩，利用电机驱动电流与其产生的扭矩成正比的已知条件，即可求出电机驱动电流。
针对第四问，以能量误差大小为依据，对所给数据进行绘图分析、数据拟合、计算分析,通过求取路试制动消耗能量和试验台模拟制动消耗能量即可对给出的控制方法进行评价.
针对第五问,在车辆在制动过程中作匀减速运动和预测的补偿时间小于实际制动时间这两个假设前提下建立数学模型，根据能量守恒定律和转动动能定理,可将理想化的电动机提供的力矩求出，在第三问提出模型的基础上加以改进，得出每一时间段电机驱动电流值计算式。
针对第六问，在分析出第四、五问中所给出方法的不足后，我们认为角减速度是能够反映角速度变化趋势的一个量，可以在原模型的基础上利用角减速度进行动态补偿,通过实测转速可求出每个时间段的角减速度，将之与理论要求的角减速度进行比较，并将比较结果加入原模型中，使之对下一时间段的驱动电流产生影响,这就解决了原模型补偿滞后的问题。

3.模型假设
（1）假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。
2）飞轮主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。
（3）假设车辆在制动过程中作匀减速运动。
（4)假设预测的补偿时间小于实际制动时间。
（5)假设飞轮为刚性环形圆柱体。
（6）假设模拟时在一个很小时间段内的扭矩及转速的变化可视为线性的,可取该时间段内的平均值代替。

4.符号说明
符号
解释说明
E
平动、转动、制动时产生/消耗的能量
F
单个前轮制动时的荷载
g
重力加速度
h
飞轮盘片厚度
I
电机驱动电流
J
转动惯量
k
比例系数
M
扭矩
m
质量
n
飞轮转速
R,r
飞轮/车轮半径
T，t
时间
v
汽车平动速度
α
角减速度
θ
飞轮转过角度
ρ
飞轮钢材密度
ω
角速度
（注：相同类型的不同量在文中会加以说明,并以角标区分.)

5。问题求解
1。等效的转动惯量
制动时单个前轮承受的荷载F=6230N,前轮滚动半径r=0.286m，重力加速度g=9。8N/kg。汽车平动动能，转动动能，其中,m为单个前轮所承受的汽车质量,v为汽车平动速度，J为转动惯量,为主轴转速(角速度）。
根据题意有:，即
（1）
(2）
又，为汽车车轮转速,在该题中模拟实验台的主轴转速与汽车车轮转速相等,即，故（2)式可化为
（3）
在（3)式中m可通过单个前轮承受的荷载F求得,根据牛顿运动定律有：
（4）
又可以改写为
（5）
将(5）式代入（3)式得：
（6）
（6)式中F,g，r均为已知量，将数据代入,解得等效转动惯量J=52.0kg·m2。

2。机械惯量组合及补偿惯量
飞轮外半径R1=0。5m,飞轮内半径R2=0.1m三个飞轮厚度分别为h1=0.0392m，h2=0。0784m,h3=0.1568m,钢材密度ρ= 7810 kg/m3，基础惯量J0=10 kg·m2.
该飞轮可视为圆筒形刚体,因此其转动惯量可直接使用下式求取：
（7)
其中，飞轮质量，代入上式化简后得
（8）
将h1，h2，h3分别代入上式，解得J1=30 kg·m2，J2=60 kg·m2，J3=120 kg·m2,因此，可组合成的机械惯量共有8种，分别为10 kg·m2，40 kg·m2，70 kg·m2，100 kg·m2，130 kg·m2，160 kg·m2，190 kg·m2和220 kg·m2。
因此，需要用电动机补偿的惯量J补=52-40=12 kg·m2，或J补´=52—70=-18 kg·m2。

3.驱动电流
已知试验台采用的电动机的驱动电流I与其产生的扭矩MD成正比，可得出它们之间的关系式:
（9）
在物理上,制动扭矩M与转动惯量J和角减速度α又有如下关系：
（10）
已知在制动时假设角减速度恒定，即角减速度α为常量，属匀减速圆周运动，满足关系， 其中为初角速度，为末角速度，t为减速时间，所以，
（11）
因为角减速度α为常量,所以根据牛顿第三运动定律，各扭矩的矢量和为0,即
制动扭矩 = 机械部分产生的扭矩 + 电机补偿扭矩
（12)
进一步化为

其中，JZ为等效转动惯量,JJ为机械惯量,J补为电机补偿惯量,化简移项得：
(13)
联立（9）、（10)、（11）、（13）四式即可求得电机驱动电流
（14)
已知v0=50km/h≈13。89m/s，r=0.286m， t=5s，得初转速= 48.58 rad/s，末转速=0 rad/s，由第2问求得J补=12 kg·m2，代入（14)式得电机驱动电流I= 174.8A.

4。控制方法评价
路试制动消耗能量可由刚体转动动能定理求出，即
（15）
根据附件表中数据可知JL=48kg·m2,ω0=514rpm=53。83rad/s,ωt=257rpm=26.92rad/s，代入后求出EL=52163J。
但是，实验台模拟制动消耗能量ES不能用求路试制动消耗能量的方法求取，稍后我们会对此做出说明。因此，我们只有利用实测制动力矩M，通过力矩与能量之间的关系来求出试验台模拟制动消耗能量ES。我们认为在一个很小时间段内的扭矩及转速的变化可视为线性的,要求出该时间段内瞬时扭矩所做的功就只需求出该时间段内的平均扭矩做的功，最后将求出的每一个小时间段内的平均扭矩所做的功累加，即试验台模拟制动所消耗的能量，即
（16)
其中θi=ωi·Δt，ωi即为该时间段测得的瞬时转速，因此,ES可求。我们使用Excel统计软件求出实验台模拟制动消耗能量ES=49266J。
路试制动消耗能量与模拟实验制动消耗能量之差
ΔE=EL—ES=52163-49266=2897J
实验与路试消耗能量误差百分比
=2897/52163=5。55%

方法评价
显然，这种控制方法模拟所产生的误差已经超过了一般实验所允许的误差,应该加以改进。
为了找出误差产生的原因，我们利用Excel将实验数据进一步处理，绘出扭矩-时间关系图(图1)。

图1
通过分析扭矩—时间关系，我们认为在实际实验时,制动扭矩不是始终恒定的，而应当将模拟的制动过程分为两个阶段：
（1)变扭矩制动阶段，相当于路试时从“开始踩刹车"到“刹车踩到底"的过程中所产生的变力制动阶段，这个阶段很短，从40ms时开始,到大约750ms时结束。
（2）恒扭矩制动阶段，相当于一直保持“刹车踩到底”的过程所产生的恒力制动阶段.
这两个制动阶段与实际路试时踩刹车是非常接近的，因为刹车是不可能一开始就保持“踩到底”的状态的,总要有一个“踩"的过程。
而且制动时消耗的能量与制动过程无关，只与始末状态有关，因此，误差并不在于此。
通过分析发现，在图1中制动开始时已存在一个初始制动扭矩M0，很明显,这个初始扭矩并非不是由于制动而产生的，而是系统自身损耗及风阻带来损耗而产生的。也就是说，即使不进行制动，该装置也会因这些损耗而慢慢停止转动。
这也正是实验台模拟制动消耗能量ES不能用求路试制动消耗能量的方法求取的原因。
我们可以得出认为，该控制方法并没有考虑到系统自身损耗及风阻带来损耗所消耗的能量，没有对这部分能量进行补偿，从而产生了如此大的误差.要补偿这部分损耗就需要在原补偿惯量的基础上再进行补偿，即
（17）
通过计算得到还需再补偿的惯量J损=2.67 kg·m2,电机总共需补偿的惯量J补=48-35+2.67=15。67 kg·m2。

5。设计本时间段电流值的计算机控制方法
假设车辆在制动过程中作匀减速运动,故制动过程为恒力矩制动，预测的补偿时间小于实际制动时间，基于此建立数学模型.
根据能量守恒定律
E=EF+ER （18)
其中E为路试实际需要动能，EF为飞轮转动具有的动能，ER为电流补偿转化而来的动能。
利用转动动能定理
(19）
J为等效转动惯量，ωb为前一时间段的初始角速度，ωe为前一时间段的结束后的末角速度；同理,
（20）
其中JF代表机械惯量。
联立(18）、(19）、（20)三式得
（21)
由假设可知,电动机在制动过程中输出一个恒定转矩，设为MR，并应满足以下两点：
a.MR与JF共同作用后，保证飞轮吸收的能量相当于J作用时的能量。
b.MR作用时,保证飞轮仍可以以转动动能定理计算能量.
即
（22）
其中，ω代表瞬时角速度,TS为起始时间，T为补偿时间,利用积分后，得
（23)
其中θ代表匀减速运动一段时间内转过的角度
(24）
联立（21）、（23)两式得
（25）
根据第三问所得的数学模型，可知驱动电流
（26)

方法评价

图2
图3

对能量误差进行定量分析，情况(1），在第一个时间间隔中，由于没有时间补偿，转速减小，计算机通过对第一时间段的转速落差分析,在第二时间段进行能量补偿，转速达到路试理想值,在其余制动时间段内重复此过程（图2）.
情况（2)，在第一个时间间隔中,由于没有时间补偿，转速减小，计算机通过对第一时间段的转速落差分析，在第二时间段进行能量补偿，但存在系统损耗，转速没有达到路试理想值，因此转速不断减小（图3)，使模拟失真。

6.比例微分控制方法
在第5问中我们所给出的补偿方法存在滞后性，同时，在第4问中给出的补偿方法属于静态补偿，而且模拟实验时J损难以预知，因此，我们想提出一种新的方法来弥补这两种方案的不足。
在模拟制动实验时，有三个量是已知的，它们分别是初转速ω0、末转速ωt和要达到末转速的制动时间t。
现在我们为了简化问题，将整个制动过程视为匀减速运动,即，忽略“踩刹车”的过程.在该前提下，我们可以利用（11）式求出路试要求达到的角减速度α，在实验模拟时，通过测出的每个时间段的瞬时角速度ω可求出每个时间段的角减速度α´.这里我们也做出简化,认为每个很短的时间段内的角减速度α´变化很小,可取该时间段内的平均值代替。将每个时间段将实测角减速度α´与路试要求达到的角减速度α进行比较，取其差值进行动态补偿。如果α´大于α，则说明电机补偿惯量不足，需增大驱动电流；反之，则说明电机补偿惯量过高,需减小驱动电流.
因此，电机驱动电流量I可由下式给出
(27）
其中，，J路是等效转动惯量,J机是机械惯量。
但是,（27）式有一个缺点，就是补偿的快慢不可控制，因此我们在此基础上增加一个比例系数k来控制补偿的快慢，则（27)式改为
（28）
将已知量代入（28)式中
（29）
化简得
（30)
式中控制补偿快慢的比例系数k可以通过反复试验测试求得，可以视为已知量,从式中可以看出这种补偿方法影响驱动电流I的量只与瞬时角速度ω有关,I与瞬时角速度ω对时间t的导数呈线性关系，属于超前补偿，同时弥补了前两问中的不足。由于在试验中的时间间隔Δt很小，故相当于该时间段内的平均值，其中，ωi为第i个时间段测得的瞬时转速。
所以,电机补偿电流量I可最终化为
（31）
计算机只需要通过将上一时间段测得的瞬时速度ωi-1和当前时间段测得的瞬时速度ωi代入（31）式中进行计算即可得出下一时间段的电机驱动电流的值。

方法评价

这种方法对路试惯量与机械惯量的差值和系统自身损耗的惯量同时进行动态补偿，所产生的能量误差应当远小于第4问的控制方法，而且不必求出J损，通过选取适当的比例系数k可使模拟情况更接近于路试情况。很明显，该方法要优于前两问中所给出的方法。

6.总结
文章以制动器试验台控制方法的分析、改进为中心内容，借助经典物理学理论对数据进行分析，得出以下结论:
（1）第四问中，路试时的制动器与相对应的实验台上制动器消耗能量误差的百分比为5。55%，这种控制方法模拟所产生的误差已经超过了一般实验所允许的误差，需加以改进。经分析发现，在制动开始时存在初始制动扭矩M0，是由系统自身损耗及风阻带来损耗而产生的，故我们对第三问中建立的“无损耗补偿”模型进行改进，在原补偿惯量的基础上再进行补偿，得到新的“静态损耗补偿”模型：

（2)第五问建立的数学模型，存在补偿滞后的问题,而且，该补偿方法属于静态补偿，而且模拟实验时J0难以预知。为弥补这两种方案的不足,我们发现驱动电流I与瞬时角速度ω对时间t的导数呈线性关系，属于超前补偿,同时弥补了前两问中给出模型的不足,导出了新的“动态损耗补偿”模型：

关于模型的几点缺陷及改进：
缺陷:
（1）模型建立时，我们始终将连续变量（如瞬时转速等）离散化,存在误差.
(2）对于五、六问建立的模型，缺乏实际测试数据的支持，只是理想化的模型。
改进：
(1）针对缺陷（1）:我们希望可以通过计算机仿真，用模拟出的函数代替离散化后的数学模型。
（2）针对缺陷（2）：由于实际情况复杂多变，只靠仿真不一定有效，我们只有在今后应用到该模型时，才能发现存在的问题，进行改进。毕竟源于实际，应用于实际才是数学建模真正的魅力之所在!

参考文献
[1] 马文蔚，物理学(第五版（上册）），北京:高等教育出版社，2006年.
[2] 李洪山、孙英达、庆振华，电惯量模拟机械转动惯量方法的研究,制造业自动化，31卷第6期号:21—28页,2009年。
[3] 林荣套、姜建平，双分流加载式制动器试验台的电模拟系统，自动化与仪器仪表，总第71期：39—42页，1997年。
[4］ 马继杰、吴博达、刘笑羽、程光明、孙景阳、王森林，制动器惯性台架电模拟惯量的研究，试验·测试，第4期：49-52页,2009年。