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第17讲 操作问题

知识点拨

所谓操作问题,实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数,是奇数就加1，是偶数就除以2。这就是一次操作,是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果.

例题精讲
【例1】对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121;当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？
讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到
　　这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法。
　　解：因为231和121都是11的倍数,2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。
由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。

　　【例2】 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换.如对18和42可进行这样的连续变换：18， 42—→ 18, 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几?
　　分析与解：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大公约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3.
注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。

【例3】 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999?

解:不可能.因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。 999×4=3996，不是10的倍数,所以黑板上的四个数不可都是999。

　　【例4】 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1,这算作一次操作.经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中A格中的数字是几？

分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变.因为原题左图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由(A＋12)-12=13解得 A=13。

　　【例5】 将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数,那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止.当1～10十个数如下排列时，需交换多少次？
　　8,5,2，6，10,7，9，1，4，3。
分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如,从最大的数10开始交换，将10交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7,…实施交换，直至按从小到大排列为止。
因为10后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变;再看9,9后面有3个比它小的数，需交换3次，9到了右边第二位，排在10前面;再依次对8，7，6,…实施这样的交换。
　　10后面有5个比它小的数,我们说10有5个逆序;9后面有3个比它小的数，我们说9有3个逆序；类似地，8,7，6，5,4,3，2依次有7，3，3，4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换
5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）.

【例6】右图是一个5×6的方格盘.先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色：
如果某个格至少与两个黑格都有公共边,那么就将这个格染黑。
　　这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？

　　分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过4×5=20.以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边,所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后,黑格的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少2；右下图中,A与2个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长不变.也就是说按照这种方法染色,所有黑格的总周长永远不会超过20，而5×6方格盘的周长是 22,所以不能将整个方格盘染成黑色.

【课后练习】
【1】黑板上写着1～15共15个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？

【2】在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作,黑板上就会出现2？

【3】口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？

【4】在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4.第二次把两段半圆弧分别二等分,在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图)。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？

【5】六个盘子中各放有一块糖,每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次,才能把所有的糖都集中到一个盘子中？

【6】将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次?

【7】在右图的方格表中,每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后,能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？

答案与提示　练习17
1。106。提示：操作一次,黑板上的数减少1个，数字总和减少1。经过14次操作，剩下的一个数是（1+2+…+15）-14=106.
2.2次。提示:若写的是奇数,则只需1次操作;若写的是大于2的偶数,则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2。
3。51。提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变.
4.758。提示：第一次标完数后,以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是6×28-1=6×27=768。
5。4次。提示:将各次操作表示如下：（1，1,1，1，1，1)—→（0,3，1，1，1，0）—→（2,2，1,1，0，0）—→（4,1，1，0，0，0)—→（6，0，0，0,0,0)。
6。6次;42次.提示：与例5类似，当十个数按1,2，3，10,4,5,6，7,8，9排列时，交换的次数最少，要交换6次；当十个数按9,8，7,10，6,5，4，3，2，1排列时，交换的次数最多,要交换42次。7。不能。解:要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变(3+5n)次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变(1+5m）次。因为（3+5n）除以5余3，（1+5m)除以5余1,所以上述两个结论矛盾,不能同时实现。注：m,n可以是0或负数。