不定积分例题及答案理工类吴赣昌.pdf

1第第 4 章章 不定不定积积分分内容概要内容概要名称主要内容不定积分的概念设，若存在函数，使得对任意均有()f xxI()F xxI()()F xf x或，则称为的一个原函数。()()dF xf x dx()F x()f x的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为()f x()f xI()()f x dxF xC注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则()f x(),()F x G x()f x。故不定积分的表达式不唯一。()()F xG xC性质性质 1：或；()()df x dxf xdx()()df x dxf x dx性质 2：或；()()F x dxF xC()()dF xF xC性质 3：，为非零常数。()()()()f xg x dxf x dxg x dx,第一换元积分法（凑微分法）设的 原函数为，可导，则有换元公式：()f u()F u()ux()()()()()fxx dxfx dxFxC第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，()xt()()ftt()F t则 1()()()()()f x dxftt dtF tCFxC分部积分法()()()()()()()()u x v x dxu x dv xu x v xv x du x不定积分计算方法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课课后后习题习题全解全解习题习题 4-11.求下列不定积分：2知知识识点：点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1)2dxxx思路思路:被积函数，由积分表中的公式（2）可解。5221xxx解解：5322223dxxdxxCxx(2)31()xdxx思路思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解解：11411133322213()()24dxxxdxx dxxdxxxCx3x(3)22xx dx（）思路思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解解：2232122ln23xxxx dxdxx dxxC（）(4)(3)x xdx思路思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解解：315322222(3)325xdxx dxx dxxxCx(5)4223311xxdxx思路思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积422223311311xxxxx分。解解：42232233113arctan11xxdxx dxdxxxCxx(6)221xdxx 3思路思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积222221 111111xxxxx 分。解解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx注注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)xdxxxx34134（-+-）2思路思路:分项积分。解解：3411342xdxxdxdxx dxx dxxxxx34134（-+-）2223134ln|.423xxxxC(8)2232()11dxxx思路思路:分项积分。解解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx(9)x x xdx思路思路:？看到，直接积分。x x x 11 1724 88x x xxx 解解：715888.15x x xdxx dxxC(10)221(1)dxxx思路思路:裂项分项积分。解解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx(11)211xxedxe解解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee(12)3xxe dx 4思路思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。33xxxee（）解解：333.ln(3)xxxxee dxe dxCe（）（）(13)2cot xdx思路思路:应用三角恒等式“”。22cotcsc1xx解解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC(14)2 35 23xxxdx 思路思路:被积函数，积分没困难。2 35 222533xxxx（）解解：2()2 35 2232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（）(15)2cos2xdx思路思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解解：21cos11cossin.2222xxddxxxC(16)11cos2dxx思路思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx(17)cos2cossinxdxxx思路思路:不难，关键知道“”。22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx解解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxx dxxxCxx(18)22cos2cossinxdxxx思路思路:同上题方法，应用“”，分项积分。22cos2cossinxxx解解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx22cscseccottan.xdxxdxxxC 5(19)11()11xxdxxx思路思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。2221111211111xxxxxxxxx解解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx(20)21cos1cos2xdxx思路思路:注意到被积函数，则积分易得。22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx解解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx2、设，求。()arccosxf x dxxC()f x知知识识点：点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析思路分析：直接利用不定积分的性质 1：即可。()()df x dxf xdx解解：等式两边对求导数得：x2211(),()11xf xf xxxx 3、设的导函数为，求的原函数全体。()f xsin x()f x知知识识点：点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析思路分析：连续两次求不定积分即可。解解：由题意可知，1()sincosf xxdxxC 所以的原函数全体为：。()f x112cossinxC dxxC xC（）4、证明函数和都是的原函数21,2xxee shxxe chxsxechxhx-知知识识点：点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析思路分析：只需验证即可。解解：，而2xxeechxshx22xxxxdddee shxe chxedxdxdx1()25、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。2(,3)e 6知知识识点：点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解解：设曲线方程为，由题意可知：，；()yf x1()df xdxx()ln|f xxC又点在曲线上，适合方程，有，2(,3)e23ln(),1eCC所以曲线的方程为()ln|1.f xx6、一物体由静止开始运动，经 秒后的速度是，问：t23(/)tm s（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？3（2）物体走完米需要多少时间？360知知识识点：点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解解：设物体的位移方程为：，()yf t则由速度和位移的关系可得：，23()3()f ttf ttCddt又因为物体是由静止开始运动的，。3(0)0,0,()fCf tt(1)秒后物体离开出发点的距离为:米；33(3)327f(2)令秒。33360360tt习题习题 4-21、填空是下列等式成立。知知识识点：点：练习简单的凑微分。思路分析思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxx dxdx 2222111(4)();(5)(5ln|);(6)(35ln|);255111(7)2();(8)(tan2);(9)(arctan3).23cos 219xxdxdxe dxd edxdxxxdxdxdtdtdxdxxxt 2、求下列不定积分。知知识识点：点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！（1）3te dt 7思路思路:凑微分。解解：33311(3)33ttte dte dteC(2)3(35)x dx思路思路:凑微分。解解：33411(35)(35)(35)(35)520 x dxxxxC d(3)132dxx思路思路:凑微分。解解：1111(32)ln|32|.322322dxdxxCxx (4)3153dxx思路思路:凑微分。解解：12333311111(53)(53)(53)(53).3325353dxdxxdxxCxx (5)(sin)xbaxedx思路思路:凑微分。解解：11(sin)sin()()cosxxxbbbxaxedxaxd axb e daxbeCaba(6)cos tdtt思路思路:如果你能看到，凑出易解。1()t2dtdt()dt解解：cos2 cos()2sintdttdttCt(7)102tansecxxdx思路思路:凑微分。解解：10210111tansectan(tan)tan.11xxdxxdxxC(8)ln lnlndxxxx思路思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。8解解：(ln|)(ln|ln|)ln|lnln|ln lnlnln lnlnlnlndxdxdxxCxxxxxx(9)22tan 11xdxxx思路思路:本题关键是能够看到 是什么，是什么呢？就是！这有一定难度！21xdxx21xd解解：22222tan 1tan 11ln|cos 1|1xdxxxxxCx d(10)sin cosdxxx思路思路:凑微分。解解：方法一：方法一：倍角公式。sin22sin cosxxx2csc22ln|csc2cot2|sin cossin2dxdxxd xxxCxxx方法二：方法二：将被积函数凑出的函数和的导数。tan xtan x22cos11sectanln|tan|sin cossin costantandxxdxxdxdxxCxxxxxx方法三：方法三：三角公式，然后凑微分。22sincos1xx22sincossincoscossinsin cossin coscossincossindxxxxxdxdxdxdxdxxxxxxxxx ln|cos|ln|sin|ln|tan|xxCxC(11)xxdxee思路思路:凑微分：。222111()xxxxxxxxdxe dxdedeeeeee解解：22arctan11()xxxxxxxdxe dxdeeCeeee(12)2cos()xx dx思路思路:凑微分。解解：222211cos()cossin22xx dxx dxxC(13)223xdxx 9思路思路:由凑微分易解。2222211(23)26232323xdxdxdxxxx 解解：122222221(23)11(23)(23)236632323xdxdxxdxxCxx (14)2cos()sin()tt dt思路思路:凑微分。解解：22211cos()sin()cos()sin()cos()cos()tt dttt d tt dt 31cos().3tC(15)3431xdxx思路思路:凑微分。解解：33444444433431313(1)ln|1|.44441111xxdxdxdxdxxCxxxx (16)3sincosxdxx思路思路:凑微分。解解：332sin111cos.2coscoscosxdxdxCxxx(17)9202xdxx思路思路:经过两步凑微分即可。解解：9101010202010211111arcsin()10101022221()2xxxdxdxdCxxx(18)2194xdxx思路思路:分项后分别凑微分即可。解解：22211949494xxdxdxdxxxx 10222222211211423829413112119423829413121arcsin()94.234xdd xxxxddxxxxxC（）（）（）(19)221dxx 思路思路:裂项分项后分别凑微分即可。解解：2111()212(21)(21)2121dxdxdxxxxxx111()22 221211111121(21)(21)ln.2 2212 2212 221dxxxxdxdxCxxx(20)2(45)xdxx思路思路:分项后分别凑微分即可。解解：2221 4541114(45)(45)5(45)2545(45)xdxxdxdxxxxx（）（）21141141(45)(45)ln|45|.2545252525 45(45)dxdxxCxxx(21)2100(1)x dxx 思路思路:分项后分别凑微分即可。解解：222100100100100100(1 1)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dxxdxxxdxxxxxx 9899100111(2)(1)(1)(1)(1)d xxxx979899111111.97(1)49(1)99(1)Cxxx 11(22)81xdxx 思路思路:裂项分项后分别凑微分即可。解解：28444444111111()()241(1)(1)1111xdxxdxxdxdxxxxxxxx2222242222222211111111()(1)(1)4281111111111ln|arctan.484()11dxd xd xxxxxxxdxxCxx(23)3cos xdx思路思路:凑微分。cossinxdxdx解解：3222coscoscoscossin(1 sin)sinxdxxxdxxdxx dx31sinsin3xxC(24)2cos()tdt思路思路:降幂后分项凑微分。解解：21cos2()11cos()cos2()2()224ttdtdtdttdt11sin2()24ttC(25)sin2 cos3xxdx思路思路:积化和差后分项凑微分。解解：111sin2 cos3(sin5sin)sin55sin2102xxdxxx dxxd xxdx11cos5cos102xxC(26)sin5 sin7xxdx思路思路:积化和差后分项凑微分。解解：111sin5 sin7(cos2cos12)cos22cos12(12)2424xxdxxx dxxd xxdx11sin2sin12.424xxC(27)3tansecxxdx思路思路:凑微分。tan secsecxxdxdx解解：3222tansectantan sectansec(sec1)secxxdxxxxdxxdxxdx 12231secsecsecsecsec3xdxdxxxC(28)arccos2101xdxx思路思路:凑微分。21(arccos)1dxdxx解解：arccosarccosarccos2101010arccos.ln101xxxdxdxCx (29)22(arcsin)1dxxx思路思路:凑微分。21(arcsin)1dxdxx解解：222arcsin1arcsin(arcsin)(arcsin)1dxdxCxxxx(30)arctan(1)xdxxx思路思路:凑微分。2arctan2arctan2arctan(arctan)(1)1()xxdxdxxdxxxx解解：2arctan2arctan2arctan(arctan)(1)1()xxdxdxxdxxxx2(arctan)xC(31)lntancos sinxdxxx思路思路:被积函数中间变量为，故须在微分中凑出，即被积函数中凑出，tan xtan x2sec x22lntanlntanlntanlntansectancos sintantancostanxxxxdxdxxdxdxxxxxxx21lntan(lntan)(lntan)2xdxdx解解：2lntanlntanlntantanlntan(lntan)cos sintancostanxxxdxdxdxxdxxxxxx21(lntan)2xC 13(32)21ln(ln)xdxxx思路思路:(ln)(1ln)d xxx dx解解：221ln11(ln)ln(ln)(ln)xdxd xxCxxxxxx(33)1xdxe解解：方法一方法一：思路思路:将被积函数的分子分母同时除以，则凑微分易得。xe11()(1)ln|1|1111xxxxxxxxdxedxd ed eeCeeee 方法二：方法二：思路思路:分项后凑微分11111xxxxxxdxeeedxdxdxeee1(1)1xxxdee ln|1|ln(|1|)xxxxeCxeeC (lnln|1|)xxxeeCln|1|xeC 方法三：方法三：思路思路:将被积函数的分子分母同时乘以，裂项后凑微分。xe 111ln(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxdxe dxdedeedeeeeeeeee ln|1|xxeCln|1|xeC(34)6(4)dxx x 解解：方法一方法一:思路：思路：分项后凑积分。6656666141411(4)4(4)4(4)44dxdxxx dxxdxx xx xx xxx 66611(4)11ln|ln|ln|4|4244424d xxxxCx 14方法二方法二：思路思路:利用第二类换元法的倒代换。令，则。1xt21dxdtt 66626666611(4)1(41)()12424(4)14144114ln(14)ln(1).2424dxtdtdtdtx xtttttCCx (35)82(1)dxxx解解：方法一方法一:思路：思路：分项后凑积分。8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dxxxxxxdxdxdxxxxxxxx 24681(1)(1)xxxdxdxxxx 8642211111()1dxdxxxxxx 753111111ln75321xCxxxxx 方法二：方法二：思路思路:利用第二类换元法的倒代换。令，则。1xt21dxdtt 8864282222211()(1)1(1)111dxttdtdttttdtxxtttt 6426422753751111(1)()(1)()2111111111 11 11 1111ln|ln|75321753 321tttdtdttttdtdtttttxttttCCtxxxxx 3、求下列不定积分。知知识识点：点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。2222sincos1;sectan1.xxxx为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角 15范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。(1)211dxx思路思路:令，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。sin,2xt t解解：令，则。sin,2xt tcosdxtdt222cossec1 cos1 cos22112cos2dxtdtdtdtttdtttdtttx （或）2tanarcsin.211txtCxCx 211arcsinxxCx（万能公式，又时，）sin1 costan21 cossintttttsintx2cos1tx(2)29xdxx思路思路:令，三角换元。3sec,(0,)2xt t解解：令，则。3sec,(0,)2xt t3sec tandxttdt222293tan3sec tan3 tan3(sec1)3sec33tan393arccos.|xtdxttdttdttdtxtttCxCx （时，）3secxx22399cos,sin,tan3xxxxxxx(3)23(1)dxx 思路思路:令，三角换元。tan,2xt t解解：令，则。tan,2xt t2secdxtdt23232seccossinsecsec(1)1dxtdtdtxtdttCCttxx(4)223()dxxa 16思路思路:令，三角换元。atan,2xt t解解：令，则。tan,2xat t2asecdxtdt233222223222sec11cosinsecsec().dxatdtdttdtstCatataaxaxCaax(5)2411xdxx x思路思路:先令，进行第一次换元；然后令，进行第二次换元。2uxtan,2ut t解解：，令得：222424111211xxdxdxx xxx2ux，令，则，242111211xudxdux xu utan,2ut t2secdutdt22422424221111tan11tan1secsec22tansec2tan11111(cscsec)ln sectanln csccot2221111111 1ln1lnln1ln.2222xuttdxdutdttdttttx xu utt dtttttCuxuuCxxCuux （与课本后答案不同）(6)254xx dx思路思路:三角换元，关键配方要正确。解解：，令，则。22549(2)xxx23sin,2xt t3cosdxtdt2221 cos21549cos99(sin2)224922arcsin54.232ttxx dxtdtdttCxxxxC4、求一个函数,满足，且。()f x1()1fxx(0)1f思路思路:求出的不定积分，由条件确定出常数 的值即可。11x(0)1fC 17解解：11(1)2 1.11dxd xxCxx令，又，可知，()2 1f xxC(0)1f1C ()2 11.f xx=5、设，求证：，并求。tan,nnIxdx1-21tan1nnnIxIn5tan xdx思路思路:由目标式子可以看出应将被积函数 分开成，进而写成：tannx22tantannxx，分项积分即可。22222tan(sec1)tansectannnnxxxxx证证明明：222222tan(tansectan)tansectannnnnnnIxdxxxx dxxxdxxdx2122544253142421tantantan.11115tantantantan4421111tantantantantanln cos.4242nnnnxdx IxInnIxdxxIxxIxxxdxxxxC时，习题习题 4-31、求下列不定积分：知知识识点：点：基本的分部积分法的练习。思路分析思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。（1）arcsin xdx思路思路:被积函数的形式看作，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数优先纳入到微0arcsinxx0 x分号下，凑微分后仍为。dx解解：222111arcsinarcsinarcsin(1)211xdxxxxdxxxdxxx2arcsin1.xxxC（2）2ln(1)x dx思路思路：同上题。解解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11xxx dxxxxdxxxdxxx 182222222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan.xdxxxdxxxdxxxxxxxC（3）arctan xdx思路思路：同上题。解解：222(1)arctanarctanarctan121dxdxxdxxxxxxxx121arctanln(1)2xxxC(4)2sin2xxedx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：22221111sinsin()sincos22222222xxxxxxxxedxdeeedx 2222222222111sincos()224221111sin(cossin)2242242111sincossin22821622sin(4sincos).21722xxxxxxxxxxxxedexxxeeedxxxxeeedxxexxedxC (5)2arctanxxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：32332111arctanarctan()arctan3331xxxdxxdxxxdxx 33211arctan331xxxxxdxx3211arctan()331xxxxdxx3322223221111111arctanarctan(1)333 1366 1111arctanln(1).366xxxxdxdxxxxdxxxxxxxC(6)cos2xxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。19解解：cos2sin2 sin2 sin2 sin4 sin2222222xxxxxxxxdxxdxdxxd 2 sin4cos.22xxxC(7)2tanxxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：2222tan(sec1)(sec)secxxdxxxdxxxx dxxxdxx xd2211(tan)tantantanln cos.22xdxxdxxxxdxxxxxxC(8)2ln xdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：222211lnln2lnln2 lnln2 ln2xdxxxxxdxxxxdxxxxxxdxxx22ln2 ln2ln2 ln2.xxxxdxxxxxxC(9)ln(1)xxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221xxxxdxxdxxdxx 22111 1ln(1)221xxxdxx 2111ln(1)(1)221xxxdxx 221111ln(1)ln(1)2422xxxxxC(10)22ln xdxx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：222222ln11111lnln()ln2lnln2xxdxxdxxdxxdxxxxxxxx 222211121122ln2 ln()lnln2lnlnxxdxxdxxxCxxxxxxxx 2(lnln2)xxCx 1(11)cosln xdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。20解解：1coslncoslnsinlncoslnsinlnxdxxxxxdxxxxdxx1coslnsinlncoslncoslnsinlncoslncosln(coslnsinln).2xxxxxxdxxxxxxdxxxxdxxxC(12)2ln xdxx思路思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。(13)ln(1)nxxdxn 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：111111lnlnln111nnnnxxxdxxdxxxdxnnnx111ln11nnxxx dxnn111ln.1(1)nxxCnn(14)2xx e dx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：222222xxxxxxx e dxx eexdxx exee dx 2222(22)xxxxx exeeCexxC (15)32(ln)xxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：32244241111(ln)(ln)()(ln)2ln444xxdxx dxxxxxdxx423424424442434244421111(ln)ln(ln)ln42481111111(ln)ln(ln)ln48848811111(ln)ln(2lnln).483284xxxxdxxxxdxxxxxxdxxxxxx dxxxxxxxCxxxC(16)lnln xdxx思路思路：将积分表达式写成，将看作一个整体变量积分即可。lnln xdxxlnln(ln)xdxln x解解：lnln111lnln(ln)ln lnlnlnln lnlnlnxdxxdxxxxdxxxdxxx xx 21ln lnlnlnln(lnln1).xxxCxxC(17)sin cosxxxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：11111sin cossin2(cos2)cos2cos222244xxxdxxxdxxdxxxxdx 1111cos2cos22cos2sin2.4848xxxd xxxxC (18)22cos2xxdx思路思路：先将降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺2cos2x1cos2x序凑微分即可。解解：2222221111cos(cos)cos22222xxdxxxx dxx dxxxdx3232323211111sinsin2 sin626221111sincossincoscos6262xx dxxxxxxdxxxxxdxxxxxxxdx3211sincossin62xxxxxxC(19)2(1)sin2xxdx思路思路：分项后对第一个积分分部积分。解解：22211(1)sin2sin2sin2(cos2)cos222xxdxxxdxxdxx dxx2222211111cos22 cos2cos2cos2sin22222211111cos2cos2sin2sin2cos2222221111cos2sin2cos2cos2224211313cos2sin2cos2(sin2)cos2sin2.224222xxxxdxxxxxdxxxxxxxdxxxxxxxxCxxxxxxCxxxxC (20)3xedx思路思路：首先换元，后分部积分。解解：令，则3tx32,3,xtdxt dt 2233333222222233223333333 233 23663663663(22).xtttttttttttttxxxxedxe t dte t dtt det ete dtt etdet ee te dtt ee teCx eexeCexxC(21)2(arcsin)x dx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：2222arcsin(arcsin)(arcsin)1xx dxxxxdxx 222arcsin(arcsin)(1)1xxxdxx22(arcsin)2 arcsin(1)xxxdx222222221(arcsin)2 1arcsin211(arcsin)2 1arcsin2(arcsin)2 1arcsin2.xxxxxdxxxxxxdxxxxxxC(22)2sinxexdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：方法一：方法一：222sinsinsin2sin cosxxxxexdxxdeexexxdx2sinsin2sin2sin2sin22cos2sin22 cos2xxxxxxxxexexdxexdxxdeexexdxexxde22sin22cos24sin2(sin22cos2)sin25sin(5sinsin22cos2)5xxxxxxxexexexdxexxexdxCeexdxxxxC方法二：方法二：21 cos21111sincos2cos222222xxxxxxxexdxedxe dxexdxeexdxcos2cos2cos22sin2cos22 sin2xxxxxxexdxxdeexexdxexxde2cos22sin24cos2(cos22sin2)cos2511sinsin2cos22510 xxxxxxxxxexexexdxexxexdxCeexdxexexC 23(23)ln(1)xdxx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：ln(1)ln(1)(2)ln(1)1xxdxx dxxxdxxx2=2令，则tx2,dxtdt222144444arctan11144arctanxtdxdtdtdtttCxttxxC2所以原积分。ln(1)ln(1)44arctanxdxxxxxCx2(24)ln(1)xxedxe思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：ln(1)ln(1)()ln(1)1xxxxxxxxxeedxe deeeedxee 1ln(1)ln(1)(1)11ln(1)ln(1).xxxxxxxxxxxeeedxeedeeeeeeC 注注：该题中的其他计算方法可参照习题 4-2，2（33）。11xdxe(25)1ln1xxdxx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：2222111111111lnln()ln1122121(1)xxxxxxxdxdxxxdxxxxxx 222222211111lnln21121111111111ln()lnln(1)ln(1)21211212xxxxdxxdxdxxxxxxxxxdxxxxxxxxx22111111lnln(1)ln212121xxxxxCxxCxxx注注：该题也可以化为 再利用分部积分法计算。1lnln(1)ln(1)1xxdxxxx dxx 2421lnln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12xxxdxxxx dxxx dx 222221111lnln21211211xxxxxxdxdxxxxxx 22221111111lnln21121211xxxxxdxdxdxxxxxx 2111lnln2121xxxxCxx(26)sin2 cosdxxx思路思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。sin2 cosdxxx22sectan2sin2sin2sin cosdxxdxdxxxxx解解：22sectansin2 cos2sin2sin2sin cosdxdxxdxdxxxxxxxtan1tan1tan(csc cot)csc2sin22sin21(secln csccot).2xxxxx dxxdxxxxxxC2、用列表法求下列不定积分。知知识识点：点：仍是分部积分法的练习。思路分析思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。(1)3xxe dx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：33333331111111()3().3333933xxxxxxxxe dxxdexee dxxee d xxeC(2)(1)xxe dx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：。(1)(1)(1)xxxxxxe dxxdexee dxxeC(3)2cosxxdx思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解解：2222cossinsin2sinsin2cosxxdxx dxxxxxdxxxxdx 2522sin2 cos2 cossin2 cos2sinxxxxxdxxxx