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实验1.6 信号的分解与合成L

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实验1.6 信号的分解与合成
【实验内容】
设计制作一个电路或装置，能够从方波或锯齿波中分离出主要谐波，并将这些谐波再合成为原始信号。
【项目背景】
本实验项目的设计内容及要求涉及电子电路、信号处理电路的基本设计和测试、滤波器设计。其基本内容可使学生掌握一般电子产品的设计制作方法及步骤.
【实验目的】
通过一个系统功能可感知电路的设计和实现的较完整过程,达到对电路原理实验课中基本测量、基本设计以及基本研究能力培养的要求.该实验不仅包含了传统电路原理实验中的基本内容（如已基本掌握的不同功能单元电路的设计、安装和调试方法，在单元电路设计的基础上，设计出具有实用价值和一定工程意义的电子电路。深化所学理论知识,培养综合知识运用能力和处理实际工程问题的能力，增强独立分析与解决问题的能力。
【实验要求】
1. 基本要求
给定一个非正弦周期信号，比如说周期一定的方波或锯齿波，设计电路满足下述要求：
1） 提取出基波、3次、5次和7次谐波.设计合适的滤波器将指定的谐波从非正弦周期信号中提取出来；
2） 调整各次谐波的幅度和相位。用提取出的各次谐波分量，按照傅里叶级数分解的原理，设计比例放大和移相电路调整各幅值和相位;
3） 构造一个加法器电路，将1、3、5、7次谐波信号相加，将合成后的信号与原始信号比较，要求波纹、顶宽和上升时间满足一定要求;
4） 学会用示波器检查各高次谐波与基波之间初始相位差是否为零的测试方法；
5） 通过实际观察合成某一确定周期信号时,必须保持合理的频率结构,正确的幅值比例和初始相位关系，如果破坏了其中任何一条，都会导致波形失真，从而加深理解信号检测与传输中确保不失真条件的重要性.
2. 提高要求
设计并实现能够产生指定要求的周期非正弦信号的电路。
【实验方案】
非正弦周期信号可以通过fourier分解成直流、基波以及与基波成自然倍数的高次谐波的叠加.本项研究需要设计一个高精度的带通滤波器和移相器，组成选频网络，实现方波（三角波、锯齿波)Fourier分解的原理性实验，通过相互关联各次谐波的组合实现方波（三角波、锯齿波)合成的原理性实验，还可以构建信号无畸变传输的原理性实验。
简易波形分解与合成仪由下述四个部分功能电路—周期信号产生电路、波形分解电路（滤波器）、相位调节、幅值调节与合成电路组成。各部分原理及功能简述如下:
1. 非正弦周期信号的分解与合成
对某非正弦周期信号,其周期为T,频率为，则可以分解为无穷项谐波之和，即：
（1)
上式表明，各次谐波的频率分别是基波频率的整数倍。
1） 锯齿波
如果是一个锯齿波，其数学表达式为:
(2）
对进行谐波分析可知:，所以
（3)
即锯齿波可以分解为基波的一次、二次…n次…无穷多项谐波之和。其幅值分别为基波幅值的,且各次谐波之间初始相位角差为零。反过来，用上述这些谐波可以合成一个锯齿波。
2） 方波
方波信号可以分解为:
由1、3、5、7等奇次波构成，2n-1次谐波的幅度值为基波幅值的倍。只要选择符合上述规律的各次谐波组合在一起，便可以近似合成相应的方波。很显然，随着谐波的增多合成后就越接近方波，但是这与方波还有一定的差距，从理论上来讲，按该方式由无穷多项满足要求的谐波就可逼近方波了。
本实验要求用前5项或前7项谐波近似合成1kHz,幅值为3的方波（锯齿波或三角波）。

a基波分量 b基波加三次谐波

c前5次谐波相加 d 近似合成的方波
图1。6。1 方波及其谐波
将上述波形分别画在一幅图中，可以看出它们逼近方波的过程.注意“吉布斯现象”。周期信号傅里叶级数在信号的连续点收敛于该信号，在不连续点收敛于信号左右极限的平均值。如果我们用周期信号傅里叶级数的部分和来近似周期信号，在不连续点附近将会出现起伏和超量。在实际中，如果应用这种近似，就应该选择足够多的谐波次数,以保证这些起伏拥有的能量可以忽略。
同理，只要选择符合要求的不同频率成分和相应的幅值比例及相位关系的谐波,便可近似地合成相应的方波，锯齿波等非正弦周期波形。
2. 系统设计
总体设计电路应包含波形分解与波形合成两大部分，如图1.6.2所示.其中，并行的滤波器电路将波形分解为1、3、5次谐波;各部分谐波再经过移相器和加法器合成为原波形.一、三、五
等次谐波
滤波器电路
移相器
加法器
原始信号
相位调整后信号
还原信号

图1。6。2 实验电路的总体框架图
3. 滤波电路的设计
1） 通过无源电路实现
RC带通滤波器可以看作为低通滤波器和高通滤波器的串联，其电路及其幅频、相频特性如图1。6。3所示。

图1.6.3 无源带通滤波器

其幅频、相频特性公式为H(s）=H1(s)·H2（s)式中H1(s）为高通滤波器的传递函数，H2（s)为低通滤波器的传递函数。有

这时极低和极高的频率成分都完全被阻挡，不能通过；只有位于频率通带内的信号频率成分能通过。
　　应注意，当高、低通两级串联时，应消除两级耦合时的相互影响，因为后一级成为前一级的“负载”,而前一级又是后一级的信号源内阻.同时，所需要的信号经过RC滤波器分离后出来后,幅度都有一定衰减.实际上,两级间常用射极输出器或者用运算放大器进行隔离并放大,所以实际的带通滤波器常常是有源的。有源滤波器由RC调谐网络和运算放大器组成。运算放大器既可起级间隔离作用，又可起信号幅值的放大作用。
2） 通过有源电路实现
通过有源低通滤波器和有源高通滤波器联级实现带通滤波器:此方法可实现带通和带阻滤波器，但因为其具有离散的实极点,因此，只适合于宽带或者品质因素极低的系统设计。
直接设计有源滤波器，可节省元器件,而且对于电路参数的选择与调整也带来了便利。
二阶带通滤波器转移函数：
对于两种典型二阶有源带通滤波器结构，如图1。6.4和图1.6.5所示：
U1
R1
R2
R3
R4
R5
C1
C2

图1.6.4 Sallen—Key带通滤波器 图1。6.5 Delyiannis带通滤波器

如图1.6。4所示的 Sallen－Key带通滤波器，其转移函数为

如图1。6.5所示的 Delyiannis带通滤波器，其转移函数为:

3）电路设计的步骤为
① 给定C，α，β的值;
② 按式中算法依次确定R2、γ、R1、R3;
③ 根据γ的值确定R4、R5，也可以先指定γ的值再确定β.

K值通常取1或2。当K＝1时，可用短路线代替R4,并去除R5.
为减小最后误差，必须考虑滤波器的Q值，以及滤出波形的稳定性。为防止电路产成自激振荡，所选择的Q值不应过高,而为了避免产生噪声干扰，Q值也不能过低.本例选择如图1.6.6所示的同相放大增益K＝1的窄带通滤波器。
从图1.6。6可得：

图1。6。6
基于实验室元件限制，参数配置如下：
基波滤波：
指定C1=C2＝2。2uF，R1＝1kΩ,R2＝5.1Ω

带入（1)式可得R3＝1031Ω
实际实验时可取1kΩ电阻。此时，

Q值并不是很高，不会产生自激振荡。
但是噪声干扰会对其造成一定的影响，在实验时应尽量消除干扰。

4)三次谐波滤波：
i. 方案一
C1＝C2＝503nF
R1＝1kΩ，R2＝2Ω
带入(1)式可得R3＝5573Ω，
可取实际电阻4.8kΩ
尽管其仿真波形十分完好，基本处于等幅振荡，且频率也符合要求，但是Q值过高，会产生自激振荡.
ii. 方案二
C1＝C2＝220nF
R1＝5.1kΩ，R2＝10Ω
带入(1)式可得R3＝5826Ω，由于所用元件标称值与其实际值并不一致故适当调整R3的值取5。1 kΩ电阻,

Q值处于一定水平,但是波形并不理想，其峰值沿着包罗线衰减。解决其的方法是适当增加电容值,减小R2值，增加R3值.但这样会增大Q值引起自激振荡，故左图是一个比较理想的方案。
同理可设计五次和七次谐波滤波电路。
1） 比例放大器、移相器与加法器
i. 移相器电路
考虑幅值的损失，应使得最终输入输出表达式为两个共轭复数的相除,使得模值比为1，而使输出相对源输出产生附加相移。通过可变电阻对输出的相移进行改变，输入输出比表达式应该是R的函数,即f（R) ，选择图所示的电路实现移项功能.
由图1。6.7，联立方程组 ①
②
解得

图1。6.7 图1.6。8

若选择参数=，则表达式化简为，其模为1。针对滤波器网络输出的不同频率的波形适当选择C的大小,ωC在调节的过程中大小在1左右变动实现相移。当=0时,相移为π；当ωC=∞时,相移为0，相移的变化范围可以满足调整的需要。
同理,如图1。6.8,有，当=0时，相移为0;当ωC=∞时,相移为—π；
在此实验中,取=10kΩ，都选用100nF的电容，电位器选用1kΩ。可以根据实际的情况来选择以上两种移项，其中第一种移相器的可移动相位角为0-180，第二种移相器的可移动相位角为—180—0。
ii. 加法器电路
加法器由简单的反相加法电路构成，其结构如图1。6.9所示。其中输入端的电位器用于调整输入波的幅度。

图1。6.9

4. 波形合成时要调整各次谐波初始相位差
验证各高次谐波与基波之间的初始相位差是否为零，方法有二：
方法一，李沙育图形法。把基波送入示波器的X输入，再分别把2,3…7次的高次谐波送入y输入，观察李沙育图形。
方法二，两波叠加法.把基波分别与二、三、…七次谐波进行叠加，观察叠加结果
注意：用此法之前必须将各高次谐波的幅值调节为基波幅值的，当各次谐波与基波之间的初始相位差不为零时，需再次调节可调移相器中的电位器，微调，，….