将军饮马问题的11个模型及例题.doc

完整word)将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4。垂线段最短.
基本模型

1。
已知:如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´,
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´〉AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.
已知:如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小)
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P,
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得:PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小,从而转化为模型1。

3.
已知:如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两
点到l的距离不相等)
要求:在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解:连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
理由：此时︱PA—PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，
连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱

4. 已知：如图,定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA—PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求;
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线,由中垂
线的性质得：PB=PB´,要使︱PA—PB︱最大,则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.

典型例题1—1
如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D’，连接CD’交x轴于点P，此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为 △CDD’的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算。
【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B坐标（0,4);令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0)．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线， ∴CD∥x轴，且CD=AO=3，
∵点D′和点D关于x轴对称，∴O为DD′的中点,
D′(0，—1）,∴OP为△CDD′的中位线，∴OP=CD=，
∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt△CDD′中，
CD′===5，即PC+PD的最小值为5。
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变
化,C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD′的解析
式，再求其与x轴的交点P的坐标。

典型例题1—2
如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，1）,点B
的坐标为﹣2),点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最
大时点P的坐标为_________,｜PA﹣PB｜的最大值是_________。
【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=﹣x对称点C，
连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣x的
交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=｜PC﹣PB｜=BC取得最大值，
再用两点之间的距离公式求此最大值。
【解答】作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=﹣x﹣,与直线y=﹣x联立解得交点坐标P为(4，﹣4）;此时｜PA﹣PB｜=|PC﹣PB｜=BC取得最大值,最大值BC=
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点。

变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时,点P的坐标为（　　）
A．（0,0） B．(1，) C．（,） D．(，)

变式训练1—2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2,
BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.

变式训练1-3
如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为（1,0）．
（1)求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使｜AM﹣MC｜的值最大，求出点M的坐标.

拓展模型

1. 已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；
要求:在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小.
解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此
时，AP+PQ最小;
理由：AP+PQ≧AQ,当且仅当AP、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短，当
AQ⊥ON时，AQ最小。

2. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；
要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小。
解:作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON
于点Q,A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，
只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1

3. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
△APQ的周长最小
解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对
称点A2，连接 A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点
P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小，最小值
即为线段A1A2的长度；
理由:由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线
时，其值最小.

4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点;
要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形
APQB的周长最小
解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线
ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q,
则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的
最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；
理由：AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA´，将
QB转化为QB´,当A´、P、Q、B´四点共线时，
PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小。

5。搭桥模型 已知：如图，直线m∥n，A、B分别为m上方和n下方的定
点,(直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小,可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
点A′，使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点
Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P,线段PQ即
为所求,此时AP+PQ+BQ最小.
理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA,
当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即
AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.

6. 已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧,长度为a
(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边）
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移,
使P、Q“接头"，转化为基本模型
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使
AA´=PQ=a，连接A´B交直线l于点Q,在l上截取
PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a
理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´,
当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。

7. 已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a
(a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点,转化为上述模型3
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l
的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边)，线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
A´´B+AB+PQ,即A´´B+AB+a

典型例题2—1
如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为　　　　．
【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度。
【解答】作点B关于AC的对称点E，再过点E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN,
其最小值即EN长；∵AB=10，BC=5，
∴AC==5，
等面积法求得AC边上的高为=2,∴BE=4，
易知△ABC∽△ENB，∴,代入数据解得EN=8．
即BM+MN的最小值为8．
【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.

典型例题2-2
如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　)
A． B． C．6 D．3
【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD。
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N,如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，
CH=OH=，∴CD=2CH=3．
即△PMN周长的最小值是3；
故选：D．
【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点。

典型例题2—3
如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点,OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A坐标为　 　，点B坐标为　 　；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标。
【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；
(2）符合“搭桥模型"的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标;
【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，
∴OD=2•tan60°=2,∴A（﹣2,2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，
∴DB=6﹣2=4,∴B（4，2）
（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，
∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，
∴四边形OPME′是平行四边形,
∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，
∴P（2,)．
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型。

典型例题2-4
如图所示，在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2，0），O（0，0）,B（0,4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．
(1）求C、D两点的坐标;
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3)在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．
【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标。
【解答】（1)由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4，∴C点的坐
标是（0，2），D点的坐标是（4，0），
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
4a-2b+c=0
由题意,得 16a+4b+c=0
c=4
解得a=—b=1,c=4，
∴所求抛物线的解析式为y=—；
（3）只需AF+CE最短，抛物线y=—的对称轴为x=1，
将点A向上平移至A1（﹣2，1）,则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点
A2（4,1）,连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式
为y=-,当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,),点F的坐标为（1,)．
【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线"；其中，作对称和平移的顺序可互换.

变式训练2—1
几何模型：
条件:如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求。（不必证明)
模型应用：

（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B(2，﹣1)，P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是　 　,此时PA+PB=　 　．
（2）如图3,正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是　 　．
（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10,∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E,F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是　 　．
（4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6，∠B=60°,点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　 　．

变式训练2—2
如图，矩形ABCD中,AD=15，AB=10,E为AB边上一点，且
DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长
的最小值是___________.

变式训练2-3
如图，已知直线l1∥l2l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距
离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4，在直线l1上有一动
点A,直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时
PA+BQ=　　．

变式训练2—4
如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3,过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1)中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方）,且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

中考真题

1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3)，B点坐标为（6，5)，则A、B两点到奶站距离之和的最小值是　 　．

2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A．（0，） B．（0，) C．（0，2） D．（0,）
3.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　)
A． B． C．5 D．

4。已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（,3)，P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6

5.如图，点A(a,3）,B(b，1)都在双曲线y=上，点C,D，分别是x轴，y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为(　　）
A． B． C． D．
6。如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（　　)
A． B． C．5 D．

7。如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=6，点D,E分别是边BC，AC上的动点,则DA+DE的最小值为　　　　．

8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120,点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　　　　．

9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（　　）
A． B． C． D．

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E,F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为(　　）
A． B． C． D．6
11。如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M,N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）
A．6 B．10 C．2 D．2

12。如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状 是　 形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是　 ．

13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1)用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2）在(1）的条件下，
①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

15。如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）,B（3,0）,C（0,3）三点．
（1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;
（2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标;
（3）在（2)问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上,动点Q（m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值．

16。如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M（4m）是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．

17。如图1，已知抛物线y=(x﹣2)(x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点,与y轴交于点C．
（1)若抛物线过点T(1，﹣），求抛物线的解析式；
（2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与 △ABC相似？若存在,求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2,在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1)，点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点,且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM的周长最小?请直接写出符合条件的点M的坐标．

18。如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0)，C（0,5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0),F（a+1，0）,P是第一象限内抛物线上的动点．
（1)求此抛物线的解析式；
（2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x，y）P的坐标公式：x=，y=．

（1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：(2)①已知点M(2，﹣1），N（﹣3,5），则线段MN长度为　　　　；
②直接写出以点A(2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：　　　　　　　　　　　　　　　　;
拓展：（3）如图3,点P(2，n）在函数y=x(x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法,并求出周长的最小值．

20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
(1）求直线y=kx+b的函数解析式;
（2）若点P（x，y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值．

21。如图①，在平面直角坐标系中,OA=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．
（1)求这条抛物线的解析式;
（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动,同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由;
（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小,并求出周长的最小值．

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