数理统计部分习题答案.doc

数理统计习题解答
第五章
1．设随机变量X和Y相互独立都服从，而和分别来自正态总体X和Y的样本。则统计量 服从__t____分布,参数为__16____。
解：由于～,而～，~,根据t分布的定义，

2、设是来自正态总体的简单随机样本。
，则当，时，统计量x服从分布。其自由度为_____。
解:统计量量x服从分布。只有当与都服从标准正态分布时，x才服从，因为，则有，，,
[] = 20a = 1,而从 。
同理:,所以，
所以
3、设是来自正态总体的简单随机样本。其中未知，则下面不是统计量的是（D）
A、 B、 C、 D、
4、设是的样本。的期望为，且，则有：(B)
A、 B、 C、 D、
5、设总体，从总体取一个容量为6的样本。设
.试决定常数C，使得随机变量CY服从分布。
解：因为，所以，，
从而 ，同理 ，
由分布的性质可知：，所以。
6、设总体x任意，期望为，方差为，若至少以95％的概率保证。问：总体样本容量应该多大？
解：因为n很大时，近似服从，由题设有

由，反查正态分布表得，，故样本容量至少取385才能满足要求。
7、利用切比雪夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在0.4到0。6之间的概率至少为0。9?如何才能更精确的计算使概率接近0.9,而抛得次数是多少？
解：设需抛钱币次数n次，又设第i次抛钱币时
则独立同分布，分布为，，，，
是样本均值,则，.由切比雪夫不等式

所以，即抛250次钱币可保证，利用中心极限定理：

由，反查正态分布表得，即，只需抛68次即可。
8、设总体为指数分布,分布密度为，求，，？
解：， ， ，,,
第六章
1． 设总体X在区间上服从均匀分布，则未知参数的矩估计量为_____。
解：X的概率密度为
从而，即：，故的矩阵估计量为.
2． 设总体，未知,已知，为使总体均值的置信度为的置信区间的长度不大于L，则样本容量n至少应为________
解：由题可知,的置信度为的置信区间为。其长度不大于L，即为，，
故填：，为取整函数。
3． 设总体，其中已知,则总体均值的置信区间长度L与置信度的关系是( A )。
（A）当缩小时，L缩短。 (B）当缩小时，L增大。
(C）当缩小时,L不变. (D)以上说法都不对.
解：由题设，已知，的置信度为的置信区间为则其区间长度为，其中为标准正态分布的上侧的分位数,当缩小时,即增大，减小，而不变.故区间长度L缩短，选（A）。
4． 设总体，其中未知,若样本容量n的置信度均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度为(D）
（A) 变长 （B)变短 （C)不变 (D) 不能确定
解：因为,则，故的置信度为的置信区间是，长度为。由于样本容量n和置信度不变。故区间长度仅与s有关，对于不同的样本观察值。S如何变化不确定，因而其长度不能确定。故选(D）。
5． 设随机变量X的概率密度为，,。是容量为n的子样，试求的极大似然估计。
解:似然函数为，对似然函数取对数，并求导数，令其等于0，可得
即 ，故得极大似然估计为 。
6、设是来自参数为的泊松分布的简单随机样本，试求的无偏估计量.
解：因x参数为的泊松分布，故 ，,

即，，用样本矩，代替相应的总体矩,,使得到的无偏估计量,,
因此，的无偏估计量。
7、 解：似然函数为

8、解:似然函数为

9、解：设每次取样结果用表示，令

似然函数为

10、解:=,令 ，
解得。
11、解：似然函数为
，
，
,
（无解），但由，
故为极大似然估计.
第七章 假设检验
1、某种产品以往的废品率为5％,采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平，则此，设题的原假设：______
备择假设：______。犯第一类错误的概率为_______。
解：由题意可知原假设：P=5％。备择假设：P<5%。犯第一类错误是指为真的情况下，把拒绝。这种错误也称拒真错误。其犯第一类错误的概率为。
2、设总体，方差未知，对假设：,：,进行假设检验，通常采取的统计量是________，服从_______分布,自由度是________.
解：通常采取的统计量是 这里 .服从t分布,自由度是n—1。
3、设总体，和均未知。统计假设取为: ：
若用t检验法进行假设检验，则在显著水平之下，拒绝域是（B)
A、 B、
C、 D、
4、在假设检验中，原假设，备择选择，则称（ B ）为犯第二类错误
A、为真，接受 B、不真，接受
C、为真,拒绝 D、不真,拒绝
5、一自动车床工零件的长度服从正态分布,车床正常时加工零件长度均值为10.5，经过一段时间生产后，要检验这车床是否正常工作正常，为此抽取该车床加工的31个零件，测得数据如下:
零件长度
10.1 10。3 10.6 11。2 11.5 11。8 12。0
频 数
1 3 7 10 6 3 1
若加工零件长度方差不变，问此车床工作是否正常？
解：检验假设，。这是一个正态总体方差未知，对的假设检验问题，当为真时，。
按，查t分布表，确定临界值,故的拒绝域为。
令n=31，计算出，,
所以。
查t分布表可知：。
因。故拒绝，即可认为该车床工作不正常。
6． 按规定，设100g的罐头番茄汁中Vc的含量不该少于21mg，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，得Vc的含量（单位：mg）为：16，22,21，20，23，21，19，15，13,23，17,20，29，18，22，16，25.已知Vc的含量服从正态分布，试以0.025的检验水平检验该批罐头Vc的含量是否合格。
解:由题意可知，原假设。.
由样本观测值算得：，，
.
，,查t分布表（本题是单侧检验），

而,按原假设，可认为该罐头Vc含量是合格的。
7． 用包装机包装洗衣粉，在正常的情况下，每袋标准重量为1000g,标准差不能超过15g，假设洗衣粉袋重服从正态分布。某天检验包装机工作情况,从包装好的袋中随机抽取10袋，测得其重（单位：g）为1020,1030,968，994，1014，998，976,982，950,1048。问按标准差来衡量这天机器工作是否正常？
解:,,选取统计量：。
对于。查临界值分布表。
经计算：，
。
进而的统计值为.
故拒绝原假设，即认为这天包装机工作不正常，应调整.
第八章 方差分析与回归分析
下表数据是退火温度对黄铜延性y反应的试验结果。Y是以延比度计算的。且设对于给定的x，y为正太变量。其方差与x无关.

300 400 500 600 700 800
Y(%）
40 50 55 60 67 70
求y对于x的线性回归方程。
解：设，则:
。

。
。
.
即：y=24。6287+0.05886x