线性代数各章学习要点3.doc

第3章 n维向量和线性方程组
向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。
本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后,应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。
无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。

3．1 n维向量及其运算
定义(n维向量）由数域F中的n个数组成的有序数组
（)
或

称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中称为向量的分量（或坐标)。分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量.
行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行.
以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
设有向量
（)，
则向量相等的定义为
=（i=1，2,…,n）
向量的加法定义为
=
数乘向量的定义为
（）
向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中为n维向量，k,l为常数）：
(1）+=+;
（2）（+）+=+(+）;
(3）存在零向量0=（)，使得+0=；
（4)存在的负向量=(）,使得+(）=0；
（5）1=；
6）k（l）=(kl) ；
（7）k（+）=k+k；
（8）（k+l)=k+l；
如果记矩阵的第j列向量为：
，（j=1,2，…,n）
则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式:

而齐次线性方程组Ax=0则可写成向量形式：

3．2 向量组的线性相关性
定义（线性组合）设一组n 维向量, 是 一组常数，则称向量

为向量的一个线性组合，并称为该线性组合的系数。
定义（线性表示）对于n维向量，，如果存在一组常数。使得
=
或
Ax=
有解，其中矩阵A=［]。
则称向量可由向量组线性表示。

定理 向量可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵A=［]的秩等于矩阵=[，］的秩。
由于非齐次线性方程组解的情况只有3 种:无解，有唯一解，有无穷解。所以,线性表示问题对应的只有3 种情况：不能表示，唯一表示，无穷多种表示法。
例如，对于向量组则不能由，线性表示。
又如，对于向量组，，，则可由,唯一的线性表示为：=+.
再如，对于向量组，，，，则有
=（1+c)+（1-c）+c （c为任意常数)
可见，可由,，线性表示,但表示法是无穷的。
定义（线性相关与线性无关)设一组n维向量,如果存在一组不全为零的常数,使得
=0
则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。也就是说，仅在时才成立，则称线性无关。
由定义知,向量组线性相关，也就是齐次线性方程组

或
Ax=0
有非零解，其中矩阵A=[］。
定理 向量组线性相关的充分必要条件是矩阵A=［]的秩小于m；线性无关的充分必要条件是矩阵A=［]的秩等于m。
以下是有关向量组线性相关、线性无关的其他一些常用性质及判别法。
定理 向量组（m>1）线性相关的充分必要条件是该组中至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表出.换言之，向量组线性无关的充分必要条件是该组中任何一向量都不能由其他m—1个，向量线性表示.
定理 设向量组线性无关，而向量组线性相关,则可由线性表出,且表示法唯一。
定理 如果向量组U的一个部分组线性相关，则向量组U线性相关（特别的含有零向量的向量组线性无关)。换言之，线性无关组的任何一个部分组必线性无关。
定理 设有r维向量组
，
给分别添加一个分量，得r+1维向量组
，

如果线性无关，则任意添加分量后所得的向量组也线性无关,换言之，若向量组线性相关,则也线性相关。
定义（等价向量租）设有向量组（I）和(II），如果（I）中每一个向量都可由（II）线性表示,则称（I）可由(II)线性表示；如果（I）和（II）可以互相线性表示，则称（I）和（II）等价。
总上，有下表:
线性相关
线性无关
存在不全为]零，使得
=0
仅当时才有
=0
向量组的部分向量组线性相关,则整
个向量组也线性相关
线性无关向量组的一部分向量组也
线性无关
m=1时，=0
m=1时，
m=2时， 与对应分量成比例
m=2时, 与对应分量不成比例
R(A)〈m
当m=n，|A|=0
R（A)=m
当m=n，|A| 0
m>n时，必线性相关

线性相关向量组减少对应位置的分
量得到的向量组仍线性相关
线性无关向量组在对应位置上增加分
量得到的向量组仍线性无关

定理 设向量组（I)：可由向量组（II）：线性表示，
（1） 若r〉s，则(I)线性相关。
（2） 若（I）线性无关，则rs。
推论1 等价的线性无关向量组所含有的向量的个数相同。
推论2 若m〉n,则ｍ个ｎ维向量必线性无关.特别的,ｎ＋１个n维向量线性相关.

3．3 向量组的极大无关组与向量组的秩
定义(向量组的极大无关组与向量组的秩）设向量组U中的向量满足：
（1）线性无关
（2）对于U中的任意向量可由线性表示。
则称为向量组U的一个极大无关组（或最大无关组);极大无关组所含向量的个数r成为向量组的秩。只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为零。向量组的秩记作r（）。
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
定理 设向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则（I)的秩不大于（II）的秩。
推论1等价的向量组的秩相等。
推论2 设，即：乘积矩阵的秩不大于每个因子矩阵的秩。
关于满秩方阵的等价条件的小结 ：设A为n 阶方阵，则下列条件相互等价：
（1） ｜A｜ 0；
（2） A可逆；
（3） r（A)=n;
（4） 齐次线性方程组Ax=0只有零解；
（5） 对任何n维列向量b ，线性方程组Ax=b有唯一解
（6） A的行（列）等价于同阶单位矩阵E。
（7） A可以写成若干个初等矩阵的乘积；
（8） A的行（列）向量组线性无关。
由以上条件中的（1）与（8)等价，提供了判定n 个n 维向量线性相关的常用方法：以这n 个n维向量组成的n 阶方阵A（A的行（或列）向量组为给定向量组）若｜A| =0，则该向量组线性相关;若｜A｜ 0，则该向量组线性无关。
求向量组的秩一般方法是：一给定的向量组组成的矩阵A（A的列（行）向量组为给定的向量组），用初等变换将A 化成阶梯形矩阵B,则B中非零行的个数就是给定的向量组的秩.
求向量组的极大无关组的一般方法是：以为列向量组构成的矩阵A，即令A=[]（如果均为行向量，则令A=[]），并用初等变换将A 化成阶梯形矩阵,设阶梯形矩阵的首非零元所在列的序号为,则为向量组的一个极大无关组 。

3．4 线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的性质：
性质1 若是方程组Ax=0的解，则也是方程组Ax=0的解.
性质2 若为方程组Ax=0的解，k 为常数，则也是方程组的解
由齐次线性方程组的解的性质知道,Ax=0的解集合S对向量的线性运算封闭，因此S构成线性空间，称S为方程组Ax=0的解空间。
定理 n 元齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩r（A)=r时，解空间S的维数为n—r。
方程组Ax=0的解空间的基又称为Ax=0的基础解系.
由上述定理知，当r（A)=r次方程组的基础解系的一般步骤如下：
第1步：用初等变换将A化成阶梯形矩阵，并求出r（A).若r(A）=n，则Ax=0没有基础解系；若r（A)=r〈n，则继续进行下面的步骤；
第2步：将A用行变换化为规范的阶梯形矩阵B。
第3步：以B为系数阵的同解方程组Bx=0并移项添项得到通解及基础解系。
非齐次线性方程组的性质如下:
性质1 设都是非齐次方程组Ax=b的解，则为对应的齐次方程组Ax=0的解。
性质2 设是Ax=b的解,为方程组Ax=0的解，则是Ax=b的解。
定理（非齐次线性方程组的解的结构定理)设为非齐次方程组Ax=b的一个特解，则Ax=b的任意解可以表示为：

其中为方程组Ax=0的解。
由上述定理可知道,如果为方程组Ax=0的基础解系，为为非齐次方程组Ax=b的一个特解,则方程组Ax=b的通解为：
x=(为任意常数，i=1，2,…，n-r）
求解n 元齐次方程组Ax=b的一般步骤如下:
第1步：用初等变换将增广矩阵阶梯形矩阵，并求出r（A)及r(）.若r（A）〈r()，则无解；若r(A)=r(）=n,则有唯一解，这时可从阶梯形方程组的最后一个方程开始由上往下回代求出这个解，也可通过将增广矩阵进行一步化成最简形矩阵而求出这个解，若r（A)=r（）=r求出Ax=b的一个特解；
第4步：写出通解：。

3．5 重点与难点
本章的重点是向量组的线性相关性、线性方程组的解的理论与求解方法，难点是向量组的线性相关性。
1． 向量组的线性相关性
向量组的线性相关与线性无关是两个基本概念，有一定的抽象性,理论多，方法多,定义多，因而他们既是本章的重点,也是难点，读者需注意以下几点:
（1） 彻底弄清楚向量线性相关和无关的定义
向量组线性相关,是指存在存在一组不全为零的常数，使得
=0
这里“不全为零"不同于“全不为零”。
向量组（m〉1)线性相关该组中至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表出.注意：“存在一个”不同于“其中每一个”。
向量组线性无关，是指若有一组常数，使得=0，则有。换句话说，所谓向量组线性无关,是指对于任意一组不全为零的常数，都有。
向量组（m〉1)线性无关该组中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示，注意这里的“任意一个”不同于“存在一个”。
（2） 正确理解有关线性相关、线性无关的性质，正确区分充分条件、必要条件及充要条件.
命题“部分组线性相关，则整体组线性相关”与命题“整体线性无关，则任何部分无关”二者是等价的。
命题“给线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量,则所得向量仍线性无关”与命题“给线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量去掉相同位置上的分量，则所得的向量组仍线性相关"互为逆命题，二者是等价的。
（3） 弄清向量组的线性相关性与齐次线性方程组及矩阵的秩的关系.
向量组线性相关齐次线性方程组有非零解矩阵A=[]的秩小于m。
向量组线性无关齐次线性方程组只有零解矩阵A=［］的秩等于m.。
（4） 掌握判别向量组的线性相关性的常用方法
如果向量的分量都已经给出，一般可由矩阵A=［]的秩来判别向量组的线性相关性。特别的，对于m个m维向量，则可由矩阵A=［］的行列式是否为零，来判别的线性相关性，即当｜A|=0时，线性相关；而当｜A｜0时，线性无关.
如果向量的分量没有具体给出，则常用以下方法判别其线性相关性：
（1） 利用定义。即从=0出发，根据已知条件或化为齐次线性方程组，或通过对该式作变换等方法，要么推出存在不全为零的使得该式子成立.此时向量组线性相关；要么推出此式仅在时才成立，此时向量组线性无关。
（2） 利用有关结论.例如：
单个向量线性相关，就是=0,一个向量线性无关，就是0;
两个向量与线性相（无）关，当且近当与的对应分量成正比（不成比例）。
多于n个的n维向量必线性相关.
部分组线性相关，则整体组线性相关；整体无关,部分无关。
可由线性表示，，且r>s，则线性相关.
（3） 利用向量组的秩。即当r（)矩阵的秩。例如，若向量组线性无关，且有矩阵A，使得
[］=[]A
则向量组线性无关矩阵A的秩等于s.
2． 线性方程组的解的理论与求解方法
线性代数主要研究对象是有限维线性问题，而线性方程组是最简单的线性问题，所以,研究线性方程组的解的理论即求解方法是线性代数的基本任务之一，应给与足够的重视.
3． 齐次线性方程组
设A为矩阵，n 元齐次线性方程组Ax=0的解的情况只有以下两种：
A的列向量组线性相关
r(A)合仍是解）,知此时Ax=0有无穷多组解.而方程组Ax=0的基础解系可用来表示这无穷多组解。
关于基础解系，必须注意以下几点:
（1） 何谓方程组的基础解系？
（2） 何时存在基础解系？（当r(A)〈n时）
（3） 存在基础解系时，基础解系含有多少个解向量？（n—r(A）个)
（4） 基础解系有什么性质？（基础解系不是唯一的,但所含向量的个数是维一的；方程组Ax=0的任何n—r（A）个线性无关得解向量的组成的相量组都是Ax=0的)基础解系；与Ax=0的基础解系等价的线性无关向量组也是该方程组的基础解系)
（5） 如何求基础解系及方程组的结构式通解?
4． 非齐次线性方程组
设A为矩阵，b为m 维非零列向量,n元非齐次线性方程组Ax=b的解的情况只有以下3种（其中为Ax=b的增广矩阵）：
无解
b不能由A的列向量组线性表出
r(A)