线线角线面角二面角的一些题目.doc

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线线角与线面角习题
一、复习目标
1。理解异面直线所成角的概念，并掌握求异面直线所成角的常用方法．
2。理解直线与平面所成角的概念,并掌握求线面角常用方法．
3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法。
二、课前预习
1。在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为 .
2。如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( )
（A）。 (B）。 (C）. （D）。
3.平面与直线所成的角为，则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 ．
4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为
(A)。30ο （B)。45ο （C).60ο （D）。90ο
5.有一个三角尺ABC，∠A=30ο， ∠C=90ο,BC是贴于桌面上，
当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值
是 ．

三、典型例题
例1。（96·全国） 如图,正方形ABCD所在平面与正方形
ABEF所在平面成60ο角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值.
备课说明:1。求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形。作法有:
①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线
或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容
易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要
有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤。

例2.如图在正方体AC1中, （1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; （2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.
备课说明：求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影，为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线。 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置。

例3。 已知直三棱住ABC—A1B1C1，AB=AC, F为棱BB1上一点，BF∶FB1=2∶1, BF=BC=. （1)若D为BC的中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，证明:EF⊥FC1； (2）试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角，为什么？证明你的结论.
备课说明:这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立，再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.

四、反馈练习
1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则
(A）A=B=C （B）A=BC (C)ABC (D) BAC.
2两条直线，与平面所成的角相等，则直线，的位置关系是
(A)平行 (B）相交 （C)异面 （D) 以上均有可能。
3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 .
4已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有 条.
5异面直线、互相垂直,与成30o角,则与所成角的范围是 .
6∠ACB=90ο在平面内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o，则PC与平面所成的角为 .

7设线段AB=，AB在平面内,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB，C、D在同侧,CA=BD=.求： （1)CD的长；
（2)CD与平面所成角正弦值。

课前预习
1 60ο 2.A 3。 [，] 4。C 5。
典型例题
例1解:∵CB∥AD
∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角。连接CF、CE设正方形ABCD的边长为，则BF=∵CB⊥AB, EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角
∴∠CBE=∠60ο ∴CE= FC= ∴cos∠CBF=
例2解:（1）设所求的角为,先证BD⊥平面ACC1A1，则sin=sin∠OC1B==.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. ∴棱锥B1—A1BC1是正三棱锥。过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H， ∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角。设A1B1=则A1B=得A1H=。故cos∠B1A1H==。所求角为
例3解:(1)连接OF，容易证明AD⊥面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影，且DF⊥FC1,
∴FC1⊥EF。(2） ∵AD⊥面BB1C1C， ∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角。在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=·=,∵AB=BC=AC=2,∴AD=.∵〉.∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角.

反馈练习
1。 D 2。 D 3. 4。 3 5。[ 60ο,90ο］ 6。 45ο
7。解：(1)作DD＇⊥于D＇,连接AD＇，BD＇.CA⊥,∴CA∥DD＇。四边形CAD＇D是直角梯形，∠CAD＇=∠D D＇A=90ο，AB，AB⊥DD＇。又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇。∴AB⊥BD＇.∵∠DBD＇是BD与所成的角，∴∠DBD＇=30ο，BD=,DD＇=，BD＇=。在△ABD＇中，AB=,BD＇=,∠ABD＇=90ο，∴AD＇==.在CAD＇D中，CD=.
（2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与所成的角,sin∠C＇D＇A=.

线面角与面面角练习
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置.若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量,求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角（要证明）.作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线,并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二、例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．
(1)求证：AC1⊥平面A1BD．
(2）求BM与平面A1BD成的角的正切值．
解： （1）连AC, ∵C1C⊥平面ABCD，
∴C1C⊥BD．
又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．
（2）设正方体的棱长为，连AD1,AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．
连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中,，
，∴．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，
使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．
（1）求证：面ABP⊥面ABC;（2）求二面角C-BP-A的余弦值．
证明（1）  由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心,
即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知,面ABP⊥面ABC．
（2）解法1  取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．
△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP—A的平面角．
又由(1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，
由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．
设，则,，．
例3．如图所示,在正三棱柱中，,截面侧面．
(1)求证：；
(2）若，求平面与平面
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图,
∵面AEC⊥面AC,∴EG⊥侧面AC．
取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．
∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，
得BF∥EG．BF和EG确定一个平面,交侧面AC于FG．
∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG,四边形BEGF是 ，BE＝FG．
∴BE∥AA，∴FG∥AA,△AAC∽△FGC．

解：（2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．

∵∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即 DA⊥AC．∵CC⊥面ACB，
由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．
∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．
说明:如果改用面积射影定理,则还有另外的解法．

三、作业：
1．已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为 （A）
A．有最小值q，有最大值 B．无最小值，有最大值。
C．有最小值q，无最大值 D．有最小值q，有最大值p-q.
2．下列命题中正确的是 (D）
A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为
45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线,则垂足间的距离是 （A）
A．30 B．20 C．15 D．12
4．设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （C）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为
6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
(Ⅰ）求证：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值。

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．
解 过A,E分别作AH⊥面BCD,EO⊥面BCD,H，O为垂足，
∴AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，
∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD,∴HB=HC=HD
∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，
连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，
，在Rt△ADH中，

8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°,AE⊥CD，AF⊥DB．
求证:（1）EF⊥DC；(2）平面DBC⊥平面AEF．

证明  如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD(三垂线定理）．
∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．
(2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面BCD．∴面AEF⊥面BCD．
（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴AEF为二面角B—DC-A的平面

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC，

二面角题目:
例1． 如图所示，已知面,,二面角的平面角为，求证：

2．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形,且，又二面角为直二面角，求二面角的大小.

例3．设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，,
求(1）AC与平面BCD所成角的大小；
(2)二面角的大小；
(3)异面直线AB和CD所成角的大小.

例4.在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小。

选用:如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
(2）与平面所成角的正切值；
(3）平面与平面所成角
解:（1）∵ ∴与所成角就是
∵平面 ∴（三垂线定理）
在中， ∴
（2）作,平面平面
∴平面，为与平面所成角
在中， ∴
（3）∵ ∴平面
又∵平面 ∴平面平面
即平面与平面所成角为