(2015)圆的有关性质练习及标准答案.docx

圆的有关性质
【知识要点】
1．圆的定义：
（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：

2.圆的相关概念
弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：

3.垂径定理及推论：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
由此得到推论：
（1） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：
(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

6．圆心角、弧、弦关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.
（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆
四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆
定理：圆内接四边形的对角互补

【基础和能力训练】
一、选择题
1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰

2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3

3. （ 2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，
弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　）
A 160° B 150° C 140° D 120°

4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A、50°　　　B、80°　C、100°　　D、130°

5.（2015上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D∠OCA＝∠OCB．

6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点P必（ ）
A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等
C．三等分弧AB D.到点B和点C的距离相等
°
°
O

7．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ ）度
A 10 B 15 C 25 D 30

8．下列语句中正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等
A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对
9．（2015湖北荆州）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　）
A． 55° B．60° C． 65° D． 70°

10．（2015•甘肃兰州,）如图，经过原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

#11．（2015•威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（　　）
A．68° B．88° C．90° D．112°

#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）．
A． B．9 C D．

二．填空
13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________.

14．(2015•江苏南昌,)如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°则∠ADC的度数为 .

15．(2015•江苏南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= _ ．

16．（2015•江苏徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为　 　 cm

17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则∠BAC等于

18．（2015•江苏泰州,）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__________°.

19. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______°.

20．(2015·贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝ 米．

21．（2015•浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 m

22．（2014•菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点
C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，

A
D
C
P
B
O
则的度数为

A
D
C
P
B
O
23．如图⊙O中，弦的延长线相交于点，如果，，那么
三 解答题
24．AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.

25.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD
求证：∠AKD=∠CKF；

26． 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，
求∠BAC的度数的多少

27．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CE；

29．（2015•浙江滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.

四、附加题
30．. (2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

30. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
(1) 求证：△DOE是等边三角形.
(2)若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
解：（1）∵△BAC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OD=OB=OE=OC，
∴△OBD和△OEC都是等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∴△ODE是等边三角形．
（2）结论（1）仍成立．
证明：连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=2∠ACD=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形．

32.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF
(2) 若AD=2，圆O的半径为3，求BC的长

证明：(1)连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC
∵C是弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CBF
∴∠CBF=∠BCF
∴BF=CF
(2) 连接OC，交BD于点M
∵C是弧BD的中点
∴OC⊥BD
则OM=1/2AD =1
∴CM =2
根据勾股定理BD=4√2
∴BM=2√2
∵CM=2
∴BC=2√3

33．已知：等边内接于⊙O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由．
（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？
解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵AP过圆心O，
∴AP平分∠CAB，AP为直径，
∴∠CAP=30°，∠ACP=90°，
∴CP=AP=×10=5（cm），
在△CAP和△CBD中
∵，
∴△CAP≌△CBD，
∴CP=CD，
∵∠CPD=∠CAB=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴CD=PC=5cm；

(2)先证△APC≌△BDC(过程同上)
∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60°

∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC
∴∠CPD=∠BCP+∠PBC
=∠BAP+∠PAC=60°
∵PC=DC
∴△PDC为等边三角形．

圆的有关性质
【知识要点】
1．圆的定义：
（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：

2.圆的相关概念
弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：

3.垂径定理及推论：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
由此得到推论：
（2） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：
(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

6．圆心角、弧、弦关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.
（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆
四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆
定理：圆内接四边形的对角互补

【基础和能力训练】
一、选择题
1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ C ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰

2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ B ）
A 6 B 5 C 4 D 3

4. （ 2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，
弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ C　）
A 160° B 150° C 140° D 120°

4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ D ）
A、50°　　　B、80°　C、100°　　D、130°

5.（2015上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ B ）
A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D∠OCA＝∠OCB．

6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点P必（ A ）
A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等
C．三等分弧AB D. 到点B和点C的距离相等
°
°
O

7．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ B）度
A 10 B 15 C 25 D 30

8．下列语句中正确的有（ C ）

①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等
A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对
9．（2015湖北荆州）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　C　）
A． 55° B．60° C． 65° D． 70°

10．（2015•兰州,）如图，经过原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=(B )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

#11．（2015•威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（　B　）
A．68° B．88° C．90° D．112°

#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ C ）．
A． B．9 C D．

二．填空
13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是___2.5或6.5cm______.

14．(2015•江苏南昌,)如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°则∠ADC的度数为 110° .

15．(2015•江苏南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= _215°．

16．（2015•江苏徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为　4　 cm

17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 60°
18．（2015•江苏泰州,）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于___130°_______°.

19. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=___60°___°.

20．(2015·贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝ 25 米．

21．（2015•浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 16 m

22．（2014•菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点
C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，

A
D
C
P
B
O
则的度数为 50°

A
D
C
P
B
O
23．如图⊙O中，弦的延长线相交于点，如果，，那么 35°

三 解答题
24．AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.

25.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD
求证：∠AKD=∠CKF；
证明：连接AD、AC．
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，
∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC；
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，=

BC
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；

26． 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，
求∠BAC的度数的多少

27．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CE；

解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
（2）证明：连接AG，
∵AB为直径，
且AB⊥CG，
∴AC=AG，
又∵AC=CF，
∴AG=CF，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．

29．（2015•浙江滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.

（2）连接OD.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°
在Rt△ABD中，BD=.

四、附加题
29. (2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

27. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
(2) 求证：△DOE是等边三角形.
(2)若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

解：（1）∵△BAC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OD=OB=OE=OC，
∴△OBD和△OEC都是等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∴△ODE是等边三角形．

（2）结论（1）仍成立．
证明：连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=2∠ACD=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形．

28.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF
(2)若CD=6，AC=8，求圆O的半径和CE的长

证明：
连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC
∵C是弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CBF
∴∠CBF=∠BCF
∴BF=CF
连接OC，交BD于点M
∵C是弧BD的中点
∴OC⊥BD
则OM=1/2AD =1
∴CM =2
根据勾股定理BD=4√2
∴BM=2√2
∵CM=2
∴BC=2√3
30．已知：等边内接于⊙O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由．
（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？
(1) ∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，
又∵在⊙O中
∠PAC=∠DBC∵AP=BD
∴△APC≌△BDC． 
∴PC=DC 又∵AP过圆心O，AB=AC，
∠BAC=60°∴∠BAP=1/2∠PAC=∠BAC=3O°
∴BAP=∠BCP=30°，
∠PBC=∠PAC=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形

  (2)先证△APC≌△BDC(过程同上)
∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60°
∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC
∴∠CPD=∠BCP+∠PBC
=∠BAP+∠PAC=60°
∵PC=DC
∴△PDC为等边三角形．

31．如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O中弧AB上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
证明：
（1）∵CA=CB，
∴弧CA=弧CB，
∠CDE=∠CAB
又∵CE=CD，CA=CB，
∴∠ACB=∠ECD,
∠ECA=∠DCB，
又∵，CE=CD,CA=CB，
∴△CAE≌△CBD（SAS）
∴AE=BD,
(2)由（1）AE=BD,∴AD+BD=AD+AE=DE
∠ACB=∠ECD=90°，即为等腰RT△CED
∴AD+BD=AD+AE=DE
∴

1.如图，已知CA=CB=CD,过三点A,C,D的⊙o交AB于点F.求证：CF平分角BCD
证明：连接AD，
∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD．
∵∠D=∠CFA，
∴∠CAD=∠CFA．

∵∠CFA=∠B+∠FCB，
∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．
∵CA=CB，
∴∠CAF=∠B，
∴∠FAD=∠FCB，
∵∠FAD=∠FCD，
∴∠FCB=∠FCD，
∴CF平分∠BCD．

2.如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC
求证：（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD

令∠CFD=x,则∠BAD=∠BFC=2x
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°-2x
又AB=AD，有图中∠1=∠2即有∠1=∠2=90°-x
∴△CDF中，∠CFD+∠1=x+(90°-x)=90°
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF
(2)过F做FG垂直BC
因为∠ACB=∠ADB
又∠BFC=∠BAD
所以∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB
则FB=FC
所以FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=1/2∠BAD=∠DFC
证明三角形FGC全等于三角形DFC（∠GFC=∠DFC,FC=FC,∠ACB=∠ACD）
所以CD=GC=1/2BC
BC=2CD

31、如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，
求GA的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CE平分
∠DCO，交⊙O于E，弧AE=弧EB
求证： CD⊥AB

24．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

 25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CE；

(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．

26．如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O中弧AB上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：

证明：（1）因为CA=CB，
所以弧CA=弧CB，所以∠CDE=∠CAB
又因为CE=CD，CA=CB，
∠ACB=∠ECD,∠ECA=∠DCB，
又因为，CE=CD,CA=CB，
所以△CAE全等于△CBD（SAS）
所以AE=BD,
(2)由（1）AE=BD,所以AD+BD=AD+AE=DE
∠ACB=∠ECD=90°，即为等腰RT△CED
AD+BD=AD+AEDE=根号2CD

27．已知：等边内接于⊙O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由．
（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？

(2) ∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，
又∵在⊙O中
∠PAC=∠DBC∵AP=BD ∴△APC≌△BDC． 
∴PC=DC 又∵AP过圆心O，AB=AC，
∠BAC=60°∴∠BAP=1/2∠PAC=∠BAC=3O°
∴BAP=∠BCP=30°，
∠PBC=∠PAC=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形
． 
(2)先证△APC≌△BDC(过程同上)
∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60°
∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC
∴∠CPD=∠BCP+∠PBC=∠BAP+∠PAC=60°
∵PC=DC
∴△PDC为等边三角形．

四、附加题
28.如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．

2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

31、如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，
求GA的长．

（1）解：连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．

解答：
（1）证明：
连接OA、OD，
∵D为弧BE的中点，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA为半径，
∴AC是⊙O切线；

（2）解：∵⊙O半径是r，
当F在半径OE上时，
∴OD=r，OF=8﹣r，
在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2，
r=，r=（舍去）；
当F在半径OB上时，
∴OD=r，OF=r﹣8，
在Rt△DOF中，r2+（r﹣8）2=（）2，
r=，r=舍去）；
即⊙O的半径r为．
（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=AF=1，
∴AD=DF=，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2
∴AG=2．

C
A
B

在中，分别以.为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

解：如图
阴影部分面积=阴影1+阴影3+阴影5
大半圆的面积=阴影1+空白2+阴影3=2π
小半圆的面积=阴影3+空白4+阴影5=0.5π
三角形的面积=空白2+阴影3+空白4=4
所以有
阴影部分面积=大半圆的面积+小半圆的面积-三角形的面积=1.5π-4

# 24. 如图，AB是圆O的直径AB=2,OC是圆O半径OC垂直AB点D在弧AC上，弧AD=2弧CD,P是OC上的动点，
则AP+PD最小值是

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