(1502)黄金分割专项练习30题(有标准答案).doc

黄金分割专项练习30题（有答案）

1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．

（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）

3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．
（1）尺规作图并保留作图痕迹；
（2）写出你的作法；
（3）证明：腰与底之比为黄金比．

5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；
（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．

6．如图，线段AB的长度为1．
（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；
（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；
（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；
上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．

8．在△ABC中，AB=AC2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．

9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．

11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．

12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．

13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．

14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．

15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？

16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？

17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．

18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．

19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．

20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　　　　　；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）

22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．

23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．

25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．

27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．

（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接 EF并延长交 BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：CM与AB之间的数量关系是　　　　　　．

28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）

29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．

30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

黄金分割专项练习30题参考答案:
1．（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，
∴AD2=CD•AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD•AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为　
2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，
当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=101，
整理得x2﹣20x+101=0，
因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得20﹣x=x，
解得x=10（﹣1），
则20﹣x=10（3﹣），
所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．
3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1　
4．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，

（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；
②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．
③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；
④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．
（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，
=．

5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，
则AP=2×=﹣1，
或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；

（2）如图点P是线段AB的一个黄金分割点．

6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，
∵AC2=BC•AB，
∴x2=1×（1﹣x），
整理得x2+x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去），
所以线段AC的长度为；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
∵AD2=CD•AC，
∴x2=l×（l﹣x），
∴x1=，x2=（舍去），
∴线段AD的长度AC；
（3）同理得到线段AE的长度AD；
上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点

7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴，
∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点

8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
∵AB=AC，
∴=，
∵AB=AC=2，BC=﹣1，
∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），
解得AD=，
AD：AC=（）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．
∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，
又∵∠ADF=90°，
∴四边形AEFD是正方形．
BE=，
∴，
∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．
∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

10．解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB===，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，
HB=AB﹣AH=3﹣；
∴AH2=（）2=6﹣2，
AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，
∴AH2=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．　
11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．　
12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，
∴点D是AB的黄金分割点
而点C是AB的黄金分割点，
∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，
∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，
∴==或==．　
13．解：矩形ABFE是黄金矩形．
∵ADBC，DE=AB，
∴==﹣1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．

14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴AD=AB=10﹣10，
∵EC+CD=AC+CD=AD，
∴EC+CD=（10﹣10）cm．　
15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．　
16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，
DM=AD﹣AM=3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于=，
∴点M是AD的黄金分割点．　
17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP×AB，
又∵S1=AP2，S2=PB×AB，
∴S1=S2．
18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，
∴△BCF∽△EAB，
∴，即 ，
把AD=，AB=+1代入得，=，
解得：CF=2．
故答案为：2．　
19．解：矩形EFDC是黄金矩形，
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点．
∴，
∴，
∴矩形CDFE是黄金矩形．　
20．解：
（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；

（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；

（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，
设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．

（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．

21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：x≈7.5cm．
故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．　
22．解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
∴AH2=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．

23．证明：设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
又∵B′E=BE=1，
∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，
∴AB″
∴点B″是线段AB的黄金分割点．

24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
∵EF=BE=1，
∴AF=AE﹣EF=﹣1，
∴AM=AF=﹣1，
∴AM：AB=（﹣1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．　
25．解：（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；

（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
∴，
∵BC=2，∴AC=﹣1．
∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，
∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．
ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P3．

26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=BC=a．
在Rt△DNC中，．
又∵NE=ND，
∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．
∴．
故矩形DCEF为黄金矩形．

27．解：（1）

（2）CM=AB（4分）
28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．
在Rt△BCF中，BF==，
则A′F=BF﹣BA′=﹣1．
设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即，
解得x=，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．

29． 解：（1）如图所示；

（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黄金三角形．

（3）设BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2=0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．

（4）．
理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°﹣72°=108°，
∴∠ACE=∠B1A1C1．
∵A1B1=AB，
∴AC=CE=A1B1=A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE=B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．　
30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．

（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）

（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

（9分）

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