初3第4讲圆专题1.doc

名师堂屈老师数学 传递 唤醒 激励。 春季班专用教材（4）
初三（下）数学
第四讲 《圆的证明与计算》专题解析
圆的证明与计算是中考的一类重要的考题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：
1.圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是证明比例式或等积式成立，或证明三角形相似；第3问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、典型基本图型：
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
1、
2、

（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：
①
②⊿ADC∽⊿ACB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：

图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）
（2）

（3）
（4）
图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）
（2）若DE切⊙O，则：① ；
②D、O、B、E四点共圆
③
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：

① ;②

图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，
交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：
（1）
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①
② ；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）

（2）如图2，连AE、CO，则有： (与基本图形2重合)
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。
基本结论有：

（1） ；
（2） ；
（3）
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，① ② ；
③ ;
（2）如图2，若∠BAC=60°，则： .

图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，
CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：
（1）
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)
（2） （3）
（4）若D是OB的中点，则： ；

四、范例讲解：
例1、（2011贵州安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB的中点；

⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，cosB =
，求DE的长．

．

例2、（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．

【巩固训练】
1、（2011杭州模拟）
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
A
B
C
O
P
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．

2、（2011四川宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长
．
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