27.1圆的认识训练.doc

华师大版数学九年级下册第27章27．1圆的认识3．圆周角
同步练习
一、选择题
1．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
答案：D
解析：解答：如图，∵∠AOC=160°，

∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选：D．
分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．
2．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）
A．80° B．90° C．100° D．无法确定

答案：B
解析：解答： ∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
分析：由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．
3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（　　）
A．15° B．18° C．20° D．28°

答案：B
解析：解答：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，

∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠BCO=（180°-∠BOC）=×（180°-144°）=18°．
故选B．
分析：连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．
4．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°

答案：D
解析：解答：∵BC是⊙O的直径，
∴∠A=90°．
故选D．
分析：利用直径所对的圆周角为直角判断即可．

5．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（　　）
A．68° B．88° C．90° D．112°

答案：B
解析：解答：如图，∵AB=AC=AD，

∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故选B．
分析：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，结合已知条件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解决问题．
6．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（　　）
A．60° B．48° C．30° D．24°

答案：D
解析：解答： ∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠BAC=∠BOD=×48°=24°．
故选D．
分析：先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解．
7．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°

答案：C
解析：解答：作OD⊥AB，如图，
∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∵∠E+∠F=180°，
∴∠F=120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
故选C．

分析：作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
8． 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）

A．80° B．100° C．110° D．130°

答案：D
解析：解答：连接OC，如图所示，

∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A=∠1，
∴∠A=130°．
故选：D．
分析：连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．
9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）
A．25° B．50° C．60° D．30°

答案：A
解析：解答： ∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，
∴∠BAC=25°，
∵AC∥OB，
∴∠BAC=∠B=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=25°，
故选：A．
分析：由圆周角定理求得∠BAC=25°，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25°，由等边对等角得出∠OAB=∠B=25°，即可求得答案．
10．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（　　）
A．32° B．38° C．52° D．66°

答案：B
解析：解答： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-∠ABD=38°；
∴∠BCD=∠A=38°．
故选：B．
分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
11．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°

答案：D
解析：解答： ∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
分析：由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．
12．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°

答案：C
解析：解答：连接OB，

∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°，
由OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∴∠BAO=（180°-50°）=65°．
故选C．
分析：连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
13． 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°

答案：D
解析：解答： ∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°-∠BAD
=180°-50°
=130°
故选：D．
分析：首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°

答案：D
解析：解答： ∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°-45°-45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
分析：先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°

答案：A
解析：解答：∵∠DOB=140°，
∴∠AOD=40°，
∴∠ACD=∠AOD=20°，
故选：A．
分析：根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．
二、填空题
16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= ．

答案：40°
解析：解答：∵∠AOC=80°，
∴∠B=∠AOC=40°．
故答案为：40°
分析：直接根据圆周角定理求解．
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．

答案：100°
解析：解答：∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-130°=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
故答案为：100．
分析：先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°-∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．
18． 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为 ．

答案：50°
解析：解答：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°．
故答案为：50°．
分析：根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．
19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22．5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧
的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是 ．

答案：①②④
解析：解答：连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22．5°，故①正确；
∵∠ABE=90°-∠EBC-∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22．5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案是：①②④．
分析：根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
20． 如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB= 度．

答案：150°
解析：解答： ∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BAC+∠ABC=30°，
∴∠ACB=150°，
故答案为：150
分析：根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．
三、解答题
21．在⊙O中直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

答案：解答：（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ=；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ=，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=．
解析：分析：（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=．
22.如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=20°，求弦AB所对的圆周角的度数．

答案：解答：∵AO=BO，
∴∠OBA=∠OAB=20°，
∴∠AOB=180°-20°-20°=140°，
∴弦AB所对的圆周角的度数是：140°÷2=70°；
∵弦AB所对的优弧的度数为：360°-140°=220°，
∴弦AB所对的圆周角的度数是：220°÷2=110°；
综上，可得弦AB所对的圆周角的度数是70°或110°．
解析：分析：首先根据AO=BO，可得∠OBA=∠OAB=20°，然后根据三角形的内角和定理，判断出∠AOB=180°-20°-20°=140°，最后根据圆周角定理，判断出弦AB所对的圆周角是多少即可．
23．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．

（1）求证：BD=CD；
（2）求CE的长．
答案：解答：连结AD，如图，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：在Rt△ADC中，∵AC=13，CD=BC=5，
∴AD==12，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴CE•AB=AD•BC，
∴CE=．

解析：分析： （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，而AB=AC，则根据等腰三角形的性质可得BD=CD；
（2）先利用勾股定理计算出AD=12，然后利用面积法计算CE的长．
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点FOE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

解析：分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；
（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．

答案：解答：（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
解析：分析：（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．