1、高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2) ≤1
解:
(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
2
-4
-5
根据穿根法如图
不等
2、式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.
(2) 变形为≥0
2
2
1
1
3
1
根据穿根法如图
不等式解集为
{x|x<或≤x≤1或x>2}.
【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：(1)原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．
3、
(2)原不等式等价于
(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．
【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．
数轴标根法”又称“数轴穿根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为
正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号
4、解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开
5、始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。
【典型例题】
例1、解不等式
(1)2x3-x2-15x＞0；
(2) (x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．
例2、解下列不等式：
⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0； ⑵ (x+2)(x2+x+1)>0；
⑶ (x+2)2(x+1)<0； （4）(x+2)2(x+1)0；
（5） (x2-1)(x2-5x-6)> 0
例3、解下列不等式：
⑴(x2
6、1)(x-1)(x2-x-2)<0； ⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)0；
⑶(x-1)2(x2-x-2)0；
例4、解不等式：
例5、解不等式：
例6、解不等式：
例7、解不等式：
例8、解不等式：（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）
例9、解下列不等式。
⑴x+2+>7+； ⑵1；
⑷0。
【巩固练习】
1、解下列不等式：
⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0；
⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ；
⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0
⑷(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；
⑸x+1
⑻0；
2：解不等式：
1、 2、
3、 4、
5、 6、
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